MATEMANIJA

Pozdrav svima, nov sam na forumu.
Spremam matematiku za prijemni na FON-u ove godine, imam 18 oblasti i vezbam iz FON-ove zbirke za prijemni "MATEMATIKA na tehnickim i prirodno matematickim fakultetima" od 2014. godine.

Sve je dobro islo dok nisam dosao do ove oblasti. Nemam jos uvek za privatne, pa sve moram sam da spremam. Zanima me uopsteno, koje formule moram da znam, i sta je sustina zadataka? Koliko sam shvatio iz zadataka proslih godina na prijemnim, u zadacima se retko trazi konkretno racunanje neke stranice, povrsine i slicno, stvar je vise u pronalazenju razmera, docrtavanju kako bi dosao do nekog rezultata tacnije izraza. Npr. trazi se povrsina necega ali ne konkretan broj nego samo izraz preko nepoznatih, ili preko stranica i to se smatra tacnim odgovorom... Ova oblast mi nikako ne ide jer nemam nekoga da mi objasni sta je sustina ovih zadataka i kako da ja znam sta trebam uraditi kada dobijem jedan takav. Kada procitam resenje-objasnjenje, ja shvatam to u potpunosti, ali nebi nikada dosao sam na neku takvu ideju jer su stvarno komplikovane. Isto tako ima dosta formula i tesko mi je nekada shvatiti preko koje treba nesto da se nadje i slicno.. Siguran sam da ima neko objasnjenje zasto oni dolaze do bas tih ideja do kojih dolaze i da bi ja mogao isto tako.

Svaka pomoc mi je dobro dosla!
Hvala unapred

Prvo, dobro došô na Matemaniju.

Na osnovu nekog mog iskustva od prošle godine, kada je dosta naših članova spremalo prijemne, neki od njih i za FON, stekao sam utisak da se, kad je geometrija u pitanju, ne insistira toliko na pamćenju nekih užasno komplikovanih i dugačkih formula, nego da se više traži da umete da prepoznate slučajeve gde treba primeniti koju od onih jednostavnijih formula, tj. traži se snalaženje. Naravno, podrazumeva se da znate formule za obim i površinu geometrijskih likova, za površinu i zapreminu geometrijskih tela, Pitagorinu teoremu... Za neke zadatke iz geometrije je potrebno ponešto znanja i iz trigonometrije (npr. sinusna ili kosinusna teorema...)

Vrlo je teško nešto reći ovako uopšteno, kad nemamo neki konkretan zadatak za koji bismo mogli reći na koji način se radi, zašto se radi baš na taj način a ne na neki drugi, kao i na koji način smo došli baš do te ideje do koje smo došli. Ali, u principu, zlatno pravilo je što više zadataka provežbati, jer vežbanjem velikog broja zadataka s vremenom stičeš rutinu i osećaj za koje slučajeve treba upotrebiti koji metod rešavanja.

Ako hoćeš, stavi neki konkretan zadatak, pa ćemo ti na njegovom primeru moći nešto konkretnije i odgovoriti.

Hvala na objasnjenju

Evo primera za koja nemam objasnjenja u zbirci:

1) Ako je povrsina trougla [inlmath]P=\frac{15\sqrt3}{4}[/inlmath], poluprecnik opisanog kruga [inlmath]R=\frac{7\sqrt 3}{3}[/inlmath], a najmanja stranica [inlmath]a=3[/inlmath], tada je njegova najveca stranica?

2) Ukoliko se kod konveksnog mnogoulga broj stranica poveca za [inlmath]2[/inlmath], broj dijagonala ce se povecati za [inlmath]65[/inlmath]. Tada broj stranica mnogougla pripada intervalu? (i tu su ponudjeni intervali, ali nije bitno, bitno mi je samo kako doci do resenja)

Izvinjavam se na pisanju izraza recima nov sam ovde pa se jos uvek ne snalazim bas

U redu je, prebacio sam formule u Latex, sad su čitljivije. Ipak, verujem da ćeš uskoro i sâm ući u štos, jer se Latex brzo savlada, osim toga, postoji i uputstvo, a tu smo, na kraju krajeva, i mi, ako zatreba neka pomoć.

Maka je napisao:1) Ako je povrsina torugla [inlmath]P=\frac{15\sqrt3}{4}[/inlmath], poluprecnik opisanog kruga [inlmath]R=\frac{7\sqrt 3}{3}[/inlmath], a najmanja stranica [inlmath]a=3[/inlmath], tada je njegova najveca stranica?

Pošto su dati površina trougla i poluprečnik opisane kružnice, to nas nekako navodi na upotrebu one formule za površinu trougla u kojoj figuriše poluprečnik opisane kružnice, a koja glasi
[dispmath]P_\triangle=\frac{abc}{4R}[/dispmath]
Uvrstimo poznate vrednosti:
[dispmath]\frac{15\sqrt 3}{4}=\frac{3bc}{4\cdot\frac{7\sqrt 3}{3}}[/dispmath]
i, posle svih skraćivanja,
[dispmath]\underline{bc=35}[/dispmath]
To nam je jedna jednačina s dve nepoznate. Da bismo mogli odrediti koliko su [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath], logično, potrebna nam je i druga jednačina u kojoj [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] figurišu.

Druga formula u kojoj figuriše poluprečnik opisane kružnice je – sinusna teorema:
[dispmath]\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R[/dispmath]
Pošto nam je, osim poluprečnika opisane kružnice, poznata stranica [inlmath]a[/inlmath], možemo odrediti koliki je [inlmath]\sin\alpha[/inlmath]:
[dispmath]\frac{a}{\sin\alpha}=2R[/dispmath]
[dispmath]\frac{3}{\sin\alpha}=\frac{14\sqrt 3}{3}\quad\Rightarrow\quad\sin\alpha=\frac{3}{\frac{14\sqrt 3}{3}}=\frac{3\sqrt 3}{14}[/dispmath]
E sad, zašto nam je sinus potreban? Zato što ćemo drugu jednačinu u kojoj figurišu [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] naći iz kosinusne teoreme, koja glasi
[dispmath]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha[/dispmath]
U njoj nam je [inlmath]a[/inlmath] pozato, poznat nam je čak i proizvod [inlmath]bc[/inlmath], a [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] možemo lako naći kada znamo koliko je [inlmath]\sin\alpha[/inlmath]:
[dispmath]\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}[/dispmath]
(U principu bi ispred korena trebalo pisati [inlmath]\pm[/inlmath], ali ovde ne moramo, jer znamo da je [inlmath]a[/inlmath] najmanja stranica u trouglu, prema tome, njoj naspramni ugao, [inlmath]\alpha[/inlmath], mora biti oštar, a kosinus oštrog ugla može biti samo pozitivan.)
Uvrstimo poznatu vrednost sinusa:
[dispmath]\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{3\sqrt 3}{14}\right)}=\cdots =\frac{13}{14}[/dispmath]
i sad i tu vrednost, kao i ostale poznate vrednosti, uvrstimo u formulu za kosinusnu teoremu:
[dispmath]3^2=b^2+c^2-2\cdot 35\cdot\frac{13}{14}[/dispmath]
i, posle sređivanja, dobijemo
[dispmath]\underline{b^2+c^2=74}[/dispmath]
Znači, sad imamo sistem od dve jednačine s dve nepoznate,
[dispmath]bc=35\\
b^2+c^2=74[/dispmath]
čijim se rešavanjem (uz odbacivanje negativnih rešenja) dobiju rešenja [inlmath]\left(b,c\right)=\left(5,7\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(b,c\right)=\left(7,5\right)[/inlmath]. Pošto pitanje glasi kolika je najveća stranica, odgovor je, dakle, [inlmath]7[/inlmath].

Maka je napisao:2) Ukoliko se kod konveksnog mnogoulga broj stranica poveca za [inlmath]2[/inlmath], broj dijagonala ce se povecati za [inlmath]65[/inlmath]. Tada broj stranica mnogougla pripada intervalu? (i tu su ponudjeni intervali, ali nije bitno, bitno mi je samo kako doci do resenja)

Ovo je bar lako, napišeš formulu za broj dijagonala mnogougla, [inlmath]D[/inlmath], u zavisnosti od broja njegovih stranica, [inlmath]N[/inlmath]:
[dispmath]D=\frac{1}{2}N\left(N-3\right)[/dispmath]
i onda postaviš jednačine:
[dispmath]N_2=N_1+2\\
D_2=D_1+65[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\frac{1}{2}N_2\left(N_2-3\right)=\frac{1}{2}N_1\left(N_1-3\right)+65[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\frac{1}{2}\left(N_1+2\right)\left(N_1+2-3\right)=\frac{1}{2}N_1\left(N_1-3\right)+65[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\enclose{box}{N_1=33}[/dispmath]

Hvala vam puno! Sad mi je jasnije dosta.

Ako naletim na jos koje (meni teske) zadatke, obraticu se.

Hvala jos jednom