od Daniel » Ponedeljak, 07. April 2014, 22:11
Zato što stranice trougla predstavljaju tangente na upisanu kružnicu.
A poluprečnik kružnice koji spaja centar te kružnice i tangentu na tu kružnicu – normalan je na tu tangentu.
Ako treba dokaz da je tangenta normalna na poluprečnik kružnice koji sadrži tačku dodira kružnice s tangentom – pretpostavimo suprotno, tj. da tangenta nije normalna na taj poluprečnik, što znači da je tangenta normalna na pravac nekog drugog poluprečnika te kružnice, tj. nekog poluprečnika koji ne sadrži tačku dodira kružnice s tangentom. Tačka preseka tangente i pravca tog nekog drugog poluprečnika (obeležimo je sa [inlmath]A[/inlmath]) biće van kružnice, pošto su sve tačke tangente van kružnice, izuzev one jedne u kojoj dodiruje kružnicu. Tačku dodira tangente i kružnice obeležimo sa [inlmath]B[/inlmath], a centar kružnice sa [inlmath]O[/inlmath]. Pošto je ugao [inlmath]\angle OAB[/inlmath] prav, sledi da je trougao [inlmath]\triangle OAB[/inlmath] pravougli, sa katetama [inlmath]OA[/inlmath] i [inlmath]AB[/inlmath] i hipotenuzom [inlmath]OB[/inlmath]. Pošto svaka od kateta mora biti kraća od hipotenuze, sledi i da je [inlmath]OA[/inlmath] kraće od [inlmath]OB[/inlmath], što bi značilo, pošto tačka [inlmath]B[/inlmath] pripada kružnici, da tačka [inlmath]A[/inlmath] mora biti unutar kružnice, a već smo zaključili da je tačka [inlmath]A[/inlmath] izvan kružnice. Kontradikcija.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain