MATEMANIJA

Ako su [inlmath]t_a[/inlmath] i [inlmath]t_b[/inlmath] dužine težišnih duži koje odgovaraju redom katetama [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] pravouglog trougla onda je (tacan odgovor je [inlmath]0.5<\frac{t_a}{t_b}<2[/inlmath]). Kako se stize do toga?

Nacrtaj skicu. Na osnovu skice, napiši izraze za težišne duži [inlmath]t_a[/inlmath] i [inlmath]t_b[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], koristeći Pitagorinu teoremu.
Zatim to uvrsti u [inlmath]\frac{t_a}{t_b}[/inlmath] i, posle malo sređivanja, trebalo bi da dobiješ
[dispmath]\frac{t_a}{t_b}=\sqrt{\frac{1+4\left(\frac{b}{a}\right)^2}{4+\left(\frac{b}{a}\right)^2}}[/dispmath]
Sad ćemo uvesti smenu [inlmath]\frac{b}{a}=t[/inlmath] i taj izraz će postati
[dispmath]\frac{t_a}{t_b}=\sqrt{\frac{1+4t^2}{4+t^2}},\quad 0<t<+\infty[/dispmath]
i dalje ga transformišemo na sledeći način:
[dispmath]\frac{t_a}{t_b}=\sqrt{\frac{16+4t^2-15}{4+t^2}}=\sqrt{\frac{4\left(4+t^2\right)-15}{4+t^2}}=\sqrt{4-\frac{15}{4+t^2}}[/dispmath]
Vidimo da će taj izraz biti minimalan onda kada je [inlmath]t[/inlmath] minimalno, a maksimalan onda kada je [inlmath]t[/inlmath] maksimalno. Ostalo ti je samo da uvrstiš u taj izraz minimalnu i maksimalnu vrednost [inlmath]t[/inlmath], znajući da je [inlmath]0<t<+\infty[/inlmath] i odatle ćeš naći u kojim se granicama mora nalaziti [inlmath]\frac{t_a}{t_b}[/inlmath].

A mislite na Pitagorinu teoremu za ceo trougao? Gde mi imamo ugao od [inlmath]90[/inlmath] stepeni? Tezisne duzi nisu normalne na odgovarajucu stranicu, zar ne?

Ne, ne mislimo na Pitagorinu teoremu za ceo trougao. Nacrtaj skicu (ako već nisi) i videćeš da svaka težišna duž deli pravougli trougao na dva trougla, od kojih je jedan tupougli, a drugi pravougli. E, Pitagorinu teoremu treba da primeniš na taj drugi, pravougli trougao – težišna duž će biti njegova hipotenuza.

Miladin Jovic je napisao:Tezisne duzi nisu normalne na odgovarajucu stranicu, zar ne?

Nisu, ako trougao nije jednakokraki. Ako jeste, tada je težišna duž koja odgovara osnovici jednakokrakog trougla normalna na osnovicu.

Dakle, iz tih pravouglih trouglova koje čine težina duž, pola jedne stranice i cela druga dobijaš sledeće dve jednakosti:
[dispmath]{t_a}^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2\\
{t_b}^2=\left(\frac{b}{2}\right)^2+a^2[/dispmath]
Odnos dužina težišnih duži:
[dispmath]\frac{{t_a}^2}{{t_b}^2}=\frac{\left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2}{\left(\frac{b}{2}\right)^2+a^2}[/dispmath][dispmath]\frac{t_a}{t_b}=\sqrt{\frac{\left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2}{\left(\frac{b}{2}\right)^2+a^2}}[/dispmath]
Podeli gornju i donju stranu potkorene vrednosti sa [inlmath]a^2[/inlmath], pomnoži i brojilac i imenilac sa [inlmath]4[/inlmath] i dobićeš obrazac od kojeg Daniel kreće u svom prvom odgovoru.

Dobio sam tu nejednacinu, zamenio sam [inlmath]t[/inlmath] sa minimalnom vrednoscu, to je nula. A koja je maksimalna vrednost [inlmath]t[/inlmath] kad je [inlmath]0<t<+\infty[/inlmath]?

Kad [inlmath]t\to\infty[/inlmath] onda [inlmath]\frac{15}{4+t^2}\to 0[/inlmath], pa onda [inlmath]\sqrt{4-\frac{15}{4+t^2}}\to\sqrt{4}=2[/inlmath].

Miladin Jovic je napisao:Dobio sam tu nejednacinu, zamenio sam [inlmath]t[/inlmath] sa minimalnom vrednoscu, to je nula. A koja je maksimalna vrednost [inlmath]t[/inlmath] kad je [inlmath]0<t<+\infty[/inlmath]?

Zapravo, ako ćemo pravilno govoriti, [inlmath]t[/inlmath] nema ni minimalnu ni maksimalnu vrednost (i ja sam se tu bio loše izrazio u svom postu), već, budući da imamo znake strogih nejednakosti, [inlmath]0<t<+\infty[/inlmath], u pitanju su vrednosti koje nisu minimalna i maksimalna vrednost [inlmath]t[/inlmath], već su to vrednosti između kojih se nalazi vrednost [inlmath]t[/inlmath]. Svejedno, uvrstiš i jednu i drugu od tih vrednosti u taj izraz umesto [inlmath]t[/inlmath], kao što je Milovan i učinio za [inlmath]t\to +\infty[/inlmath], samo pri tome paziš da ti ostane znak stroge nejednakosti.