MATEMANIJA

Ovo je zadatak vezan za stereometriju ali da ne gomilam teme bespotrebno.
Ovako glasi:
Cetvorotemena piramida [inlmath]\Pi[/inlmath] presecena je nekom ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] na dva dela [inlmath]\Gamma[/inlmath] i [inlmath]\Delta[/inlmath]. Ako [inlmath]\alpha[/inlmath] sece tri ivice od [inlmath]\Pi[/inlmath] koje polaze iz istog temena u srazmeri [inlmath]1:2,\;1:2,\;2:1[/inlmath], onda je odnos zapremina [inlmath]\Gamma[/inlmath] i [inlmath]\Delta[/inlmath] jednak?

Ipak sam prebacio ovo u posebnu temu – stereometrija baš nikako ne ide u temu o planimetriji.

Imam utisak da nisi pročitao Pravilnik foruma – vreme bi bilo da to učiniš, jer je njime regulisan i odabir teme pri postavljanju zadataka, a i način na koji se sami zadaci postavljaju – potrebno je da, pored zadatka, napišeš i bilo kakvu svoju ideju ili razmišljanje o tome kako bi se zadatak mogao rešiti.

Ono što si sigurno mogao, to je da nacrtaš skicu. Evo, učinio sam to ipak ja:


Na slici sam izabrao položaj piramide [inlmath]\Pi[/inlmath] takav da ove dve stranice koje su presečene u odnosu [inlmath]1:2[/inlmath] budu na donjoj strani, tj. osnovi. Presek piramide [inlmath]\Pi[/inlmath] s ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] označen je zeleno. Naravno, taj presek je trougao.

Ravan [inlmath]\alpha[/inlmath] će piramidu [inlmath]\Pi[/inlmath] preseći na dva dela, od kojih jedan predstavlja takođe piramidu.

Možemo uočiti to, da ravan [inlmath]\alpha[/inlmath] deli osnovu piramide [inlmath]\Pi[/inlmath] na dva dela, od kojih je jedan deo trougao koji je sličan s trouglom koji predstavlja osnovu: osnovica tog manjeg trougla iznosi [inlmath]\frac{2}{3}a[/inlmath], a njegova visina iznosi [inlmath]\frac{2}{3}h[/inlmath], gde su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]h[/inlmath] redom osnovica i visina trougla u osnovi piramide [inlmath]\Pi[/inlmath], kao što je na slici i obeleženo. Iz toga nađeš površinu tog manjeg trougla u zavisnosti od površine osnove piramide [inlmath]\Pi[/inlmath].

Nisam hteo da prenatrpavam sliku detaljima, ali na isti način zatim, preko sličnosti trouglova, pronađeš kolika će biti visina manje piramide u zavisnosti od visine piramide [inlmath]\Pi[/inlmath]. Koristeći formulu za zapreminu piramide, [inlmath]V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\cdot h}{2}\cdot H[/inlmath], gde je [inlmath]H[/inlmath] visina piramide, odrediš zapreminu manje piramide u zavisnosti od zapremine piramide [inlmath]\Pi[/inlmath]. Kad si to uradio, time ti je zadatak praktično rešen – nađeš zatim zapreminu onog drugog dela oduzimanjem zapremine manje piramide od zapremine piramide [inlmath]\Pi[/inlmath]. A kad imaš izraze za zapremine [inlmath]\Gamma[/inlmath] i [inlmath]\Delta[/inlmath], samo ih podeliš i dobićeš njihov odnos...

Da li visine manje piramide i vece mogu da se dobiju primenom ovog obrasca:
[dispmath]\frac{B}{B_1}=\frac{H^2}{H_1^2}[/dispmath]
[inlmath]B[/inlmath] je povrsina osnove cele piramide, [inlmath]B_1[/inlmath] osnove manje piramide.
[dispmath]B=\frac{a\cdot h}{2}\\
B_1=\frac{4}{9}\cdot B[/dispmath]
Pa imamo da je [inlmath]H_1=\frac{2}{3}\cdot H[/inlmath]

Odnos [inlmath]\frac{B}{B_1}[/inlmath] si ispravno odredio, ali [inlmath]\frac{B}{B_1}=\frac{H^2}{H_1^2}[/inlmath] u ovom slučaju na važi, jer veća i manja piramida nisu međusobno slične.

Koji su to slicni trouglovi koji ce nam dati odnose visina?

To su trouglovi koji sadrže njihove vrhove, podnožja njihovih visina, kao i ivicu, odnosno deo ivice, koja je podeljena u odnosu [inlmath]2:1[/inlmath].

Pročitao sam još jednom tekst zadatka i moram da ukažem na grešku u svojim slikama. Pošto se u tekstu kaže

Maka je napisao:koje polaze iz istog temena u srazmeri [inlmath]1:2,\;1:2,\;2:1[/inlmath]

to bi značilo da se odnos u kojem su ivice podeljene gleda u smeru od njihovog zajedničkog temena, a ne prema njihovom zajedničkom temenu, kako sam ja crtao. Evo korigovane slike:


I onda se dobije da je zapremina manje piramide dvaput manja od one njene zapremine koja bi se dobila na osnovu onih prethodno nacrtanih slika.

Ali, kad se razume postupak za onaj prethodni slučaj koji sam priložio, lako će se izvesti postupak i za ovaj slučaj. Princip je sasvim isti.

Sorry zbog zabune i zbog navođenja na pogrešan postupak, ali možda ni to nije bilo uzalud – ovako smo bar raspravili oba slučaja i uočili razlike u dobijenim rezultatima kad se posmatraju te dve situacije.