MATEMANIJA

U pravu kupu poluprecnika osnove [inlmath]r[/inlmath] i visine [inlmath]H=r\sqrt 2[/inlmath] (izvinite zbog nekoriscenja latexa, kucam sa telefona) upisana je kocka tako da osnova [inlmath]ABCD[/inlmath] pripada osnovi kupe, a ostala temena omotacu. Odrediti odnos zapremine kupe i kocke.

Ja sam mislio ovako, da ta temena osnova kupe predstavlja zapravo opisanu kruznicu oko osnove kocke tj. kvadrata, pa bi poluprecnik kupe bio polovini dijagonale. Ali u resenju nije tako.u

Miladin Jovic je napisao:(izvinite zbog nekoriscenja latexa, kucam sa telefona)

Ispravljeno.

Da bismo mogli naći odnos zapremina kupe i kocke, potrebno je, logično, da odredimo zapreminu kupe i zapreminu kocke. Za zapreminu kupe imamo sve podatke, dok nam je za zapreminu kocke potrebna dužina njene ivice [inlmath]a[/inlmath]. Dužina ivice kocke [inlmath]a[/inlmath] lako se može odrediti sa slike preseka kupe,


ako se uoči sličnost pravouglog trougla pri vrhu kupe (s katetama [inlmath]H-a[/inlmath] i [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath]) s pravouglim trouglom čije su katete [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath].

Treba da dobiješ [inlmath]a=2r\left(\sqrt 2-1\right)[/inlmath], a zatim lako nađeš zapremine i, na kraju, njihov odnos...

U resenju pise da je [dispmath]a=\frac{H}{2}=\frac{r}{\sqrt2}[/dispmath]

Sliku sam nacrtao tako da bude u srazmeri sa zadatim podacima. A sa nje se jasno vidi da [inlmath]a[/inlmath] ne može biti [inlmath]\frac{H}{2}[/inlmath].

Ili nisi dobro prepisao zadatak, ili su oni pod [inlmath]a[/inlmath] označili nešto drugo a ne ivicu kocke, ili je u njihovom rešenju greška.

Proverio sam, tekst zadatka je tacan. Evo slika skice koju su razmatrali i resenje. Ovo je mozda glupo pitanje, ali postavicu ga, jer ko pita ne skita. Kada kazemo da osnova (u ovom slucaju kocke)pripada osnovi kupe, da li to znaci da temena [inlmath]A,B,C,D[/inlmath] mozemo postaviti i na kruznicu? (Da li osnova kupe podrazumeva samo oblast unutar kruznice ili sve? )

Skica:


Tekst resenja (zadatak 4)

Ipak je moja greška, smetno sam s uma da na skici preseka treba da se vidi dijagonala osnove kocke, a ne ivica (jer kocka dodiruje omotač kupe temenima, a ne ivicama). Sorry zbog zabune. Evo korigovane skice:


Dalje je sve ista priča kako i u mom prethodnom postupku. Uočiš sličnost pravouglog trougla pri vrhu piramide kojem su katete [inlmath]H-a[/inlmath] i [inlmath]\frac{a\sqrt 2}{2}[/inlmath], s pravouglim trouglom kojem su katete [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath].

U tvom rešenju su radili malko drugačije – preko sličnosti jednakokrakog trougla pri vrhu piramide kojem je osnova [inlmath]a\sqrt 2[/inlmath] a visina [inlmath]H-a[/inlmath], s jednakokrakim trouglom kojem je osnova [inlmath]2r[/inlmath] a visina [inlmath]H[/inlmath]. Ali, dođe na isto.

A ovo nisam razumeo:

Miladin Jovic je napisao:Ovo je mozda glupo pitanje, ali postavicu ga, jer ko pita ne skita. Kada kazemo da osnova (u ovom slucaju kocke)pripada osnovi kupe, da li to znaci da temena [inlmath]A,B,C,D[/inlmath] mozemo postaviti i na kruznicu?

Pitanje nije glupo, samo je (bar meni) nerazumljivo. Na koju kružnicu? Ako misliš na krug koji predstavlja osnovu kupe, u ovom slučaju se četiri temena kocke nalaze unutar tog kruga.

Miladin Jovic je napisao:(Da li osnova kupe podrazumeva samo oblast unutar kruznice ili sve? )

Opet, koje kružnice? Osnova kupe je krug, a to znači – kružnica plus površina unutar nje.

Pitanje nije glupo, samo je (bar meni) nerazumljivo. Na koju kružnicu? Ako misliš na krug koji predstavlja osnovu kupe, u ovom slučaju se četiri temena kocke nalaze unutar tog kruga.

Hteo sam da pitam da li mi temena [inlmath]A,B,C,D[/inlmath] mozemo da postavimo na kruznicu osnove kupe, a ne unutar kruga.

Opet, koje kružnice? Osnova kupe je krug, a to znači – kružnica plus površina unutar nje.

Ovde sam hteo da pitam da li je osnova kupe kruznica plus povrsina unutar nje. Ali vec sam dobio odgovor.

Hvala za zadatak, pokusacu da shvatim.

Miladin Jovic je napisao:Hteo sam da pitam da li mi temena [inlmath]A,B,C,D[/inlmath] mozemo da postavimo na kruznicu osnove kupe, a ne unutar kruga.

Ne, ako je kocka upisana u kupu, onda temena osnove kocke ne možemo staviti na samu kružnicu osnove kupe, jer bi se onda temena gornje strane kocke morala nalaziti izvan kupe, budući da se kupa sužava prema svom vrhu.

Možda će biti jasnije sa ove slike:


Znači, gornja temena dodiruju omotač kupe, a donja temena se moraju nalaziti unutar kružnice osnove kupe.