MATEMANIJA

Da li neko moze da mi pojasni kako se dolazi do formula za [inlmath]d_1[/inlmath] i [inlmath]d_1[/inlmath] kod tetivnog i tangentnog cetvorougla,nasao sam na netu nesto ali je tome posvecena cela oblast jedne knjige a meni treba cisto nesto logicno da ne pamtim formule napamet.

Možeš li dati malo više informacija? OK, traže se dijagonale, četvorougao je (pretpostavljam) nepravilan, tj. posmatra se najopštiji slučaj, ali, šta je dato od elemenata tog četvorougla? Šta je dato od stranica, šta je dato od uglova, da li je dat poluprečnik upisane odnosno opisane kružnice, da li je data neka od visina iz nekog temena na neku od stranica...? Svakakve kombinacije su tu u igri, nemoguće je ovako uopšteno dati neki odgovor.

Ove definicje sam nasao

Tetivni cetvorougao:da bi se mola opistai kruznica oko cetvorougla uslov je [inlmath]\alpha+\gamma=\beta+\delta=180[/inlmath] (nasparmni uglovi) i tada vazi [inlmath]d_1=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}[/inlmath] i [inlmath]d_2=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{(bc+ad)}}[/inlmath] i [inlmath]P=\frac{d_1d_2}{2}\sin\phi,\;\sin\phi[/inlmath] je ugao izdmeju diagonala

Tangenti :da bi se mogla upisati kruznica u cetverouga mora da vazi :[inlmath]a+c=b+d[/inlmath] i [inlmath]P=(a+c)r[/inlmath] ili [inlmath]P=(b+d)r,\;O=2(a+c),\;O=2(b+d)[/inlmath]

Odd one out je napisao:Tetivni cetvorougao:da bi se mola opistai kruznica oko cetvorougla uslov je [inlmath]\alpha+\gamma=\beta+\delta=180[/inlmath] (nasparmni uglovi) i tada vazi [inlmath]d_1=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}[/inlmath] i [inlmath]d_2=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{(bc+ad)}}[/inlmath] i [inlmath]P=\frac{d_1d_2}{2}\sin\phi,\;\sin\phi[/inlmath] je ugao izdmeju diagonala

Ugao kod temena [inlmath]A[/inlmath] i ugao kod temena [inlmath]C[/inlmath] su suplementni, jer se nalaze s različitih strana iste tetive.

Primenom kosinusne teoreme na trougao [inlmath]\triangle BAD[/inlmath]:
[dispmath]d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\quad\left(1\right)[/dispmath]
Primenom kosinusne teoreme na trougao [inlmath]\triangle BCD[/inlmath]:
[dispmath]d_1^2=c^2+d^2-2cd\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=c^2+d^2+2cd\cos\alpha\quad\left(2\right)[/dispmath]
Izjednačavanjem [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(2\right)[/inlmath]:
[dispmath]a^2+b^2-2ab\cos\alpha=c^2+d^2+2cd\cos\alpha[/dispmath][dispmath]2ab\cos\alpha+2cd\cos\alpha=a^2+b^2-c^2-d^2[/dispmath][dispmath]2\left(ab+cd\right)\cos\alpha=a^2+b^2-c^2-d^2[/dispmath][dispmath]\cos\alpha=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2\left(ab+cd\right)}[/dispmath]
Sada to uvrstimo u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] ili u [inlmath]\left(2\right)[/inlmath]. Recimo, u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:
[dispmath]d_1^2=a^2+b^2-\cancel 2ab\cdot\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{\cancel 2\left(ab+cd\right)}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(ab+cd\right)-ab\left(a^2+b^2\right)+ab\left(c^2+d^2\right)}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{\cancel{ab\left(a^2+b^2\right)}+cd\left(a^2+b^2\right)-\cancel{ab\left(a^2+b^2\right)}+ab\left(c^2+d^2\right)}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{cd\left(a^2+b^2\right)+ab\left(c^2+d^2\right)}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{a^2cd+b^2cd+abc^2+abd^2}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{ac\left(ad+bc\right)+bd\left(bc+ad\right)}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{\left(ac+bd\right)\left(ad+bc\right)}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{d_1=\sqrt{\frac{\left(ac+bd\right)\left(ad+bc\right)}{ab+cd}}}[/dispmath]
Potpuno analogno se izvodi i formula za dijagonalu [inlmath]d_2[/inlmath] – primeniš kosinusnu teoremu na trouglove [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle ADC[/inlmath] itd.

---

Formula [inlmath]P=\frac{d_1d_2}{2}\sin\varphi[/inlmath] važi kod svih četvorouglova, ne samo kod tetivnih.


Površina četvorougla [inlmath]ABCD[/inlmath] jednaka je zbiru površine trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i površine trougla [inlmath]\triangle ACD[/inlmath].

Površina trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]:
[dispmath]P_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot h_1[/dispmath][dispmath]\sin\varphi=\frac{h_1}{BM}\quad\Rightarrow\quad h_1=BM\sin\varphi[/dispmath][dispmath]P_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BM\sin\varphi[/dispmath]
Površina trougla [inlmath]\triangle ADC[/inlmath]:
[dispmath]P_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot h_2[/dispmath][dispmath]\sin\varphi=\frac{h_2}{DM}\quad\Rightarrow\quad h_2=DM\sin\varphi[/dispmath][dispmath]P_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot DM\sin\varphi[/dispmath]
[dispmath]P_{ABCD}=P_{\triangle ABC}+P_{\triangle ADC}[/dispmath][dispmath]P_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BM\sin\varphi+\frac{1}{2}AC\cdot DM\sin\varphi[/dispmath][dispmath]P_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot\underbrace{\left(BM+DM\right)}_{BD}\sin\varphi[/dispmath][dispmath]P_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\varphi[/dispmath]
Kako je [inlmath]AC=d_1[/inlmath] i [inlmath]BD=d_2[/inlmath], izraz za površinu četvorougla je:
[dispmath]\enclose{box}{P_{ABCD}=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\varphi}[/dispmath]

Odd one out je napisao:Tangenti :da bi se mogla upisati kruznica u cetverouga mora da vazi :[inlmath]a+c=b+d[/inlmath] i [inlmath]P=(a+c)r[/inlmath] ili [inlmath]P=(b+d)r,\;O=2(a+c),\;O=2(b+d)[/inlmath]

Na osnovu SSU možemo zaključiti da su međusobno podudarni sledeći trouglovi: [inlmath]\triangle APO[/inlmath] i [inlmath]\triangle ASO[/inlmath], [inlmath]\triangle BPO[/inlmath] i [inlmath]\triangle BQO[/inlmath], [inlmath]\triangle CQO[/inlmath] i [inlmath]\triangle CRO[/inlmath], kao i [inlmath]\triangle DRO[/inlmath] i [inlmath]\triangle DSO[/inlmath]. Iz njihovih podudarnosti izvodimo zaključke o međusobnoj jednakosti određenih stranica, i to:
[dispmath]\triangle APO\cong\triangle ASO\quad\Rightarrow\quad AP=AS\\
\triangle BPO\cong\triangle BQO\quad\Rightarrow\quad BP=BQ\\
\triangle CQO\cong\triangle CRO\quad\Rightarrow\quad CQ=CR\\
\triangle DRO\cong\triangle DSO\quad\Rightarrow\quad DR=DS[/dispmath]
Odatle sledi:
[dispmath]a+c=AB+CD=AP+BP+CR+DR=AS+BQ+CQ+DS=\\
=\underbrace{DS+AS}_{DA}+\underbrace{BQ+CQ}_{BC}=BC+DA=b+d[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\enclose{box}{a+c=b+d}[/dispmath]

---

Površina tangentnog četvorougla [inlmath]ABCD[/inlmath] jednaka je zbiru površina trouglova [inlmath]\triangle AOB[/inlmath], [inlmath]\triangle BOC[/inlmath], [inlmath]\triangle COD[/inlmath] i [inlmath]\triangle DOA[/inlmath]:
[dispmath]P_{ABCD}=P_{\triangle AOB}+P_{\triangle BOC}+P_{\triangle COD}+P_{\triangle DOA}[/dispmath][dispmath]P_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AB\cdot OP=\frac{1}{2}AB\cdot r\\
P_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}BC\cdot OQ=\frac{1}{2}BC\cdot r\\
P_{\triangle COD}=\frac{1}{2}CD\cdot OR=\frac{1}{2}CD\cdot r\\
P_{\triangle DOA}=\frac{1}{2}DA\cdot OS=\frac{1}{2}DA\cdot r[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad P_{ABCD}=\frac{1}{2}AB\cdot r+\frac{1}{2}BC\cdot r+\frac{1}{2}CD\cdot r+\frac{1}{2}DA\cdot r[/dispmath][dispmath]P_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(AB+BC+CD+DA\right)\cdot r[/dispmath][dispmath]P_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(a+b+c+d\right)\cdot r[/dispmath][dispmath]P_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(a+c+\underbrace{b+d}_{a+c}\right)\cdot r[/dispmath][dispmath]P_{ABCD}=\frac{1}{\cancel 2}\cdot\cancel 2\left(a+c\right)\cdot r[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{P_{ABCD}=\left(a+c\right)\cdot r}[/dispmath]
Kako je [inlmath]a+c=b+d[/inlmath], tako je, takođe:
[dispmath]\enclose{box}{P_{ABCD}=\left(b+d\right)\cdot r}[/dispmath]

---

Obim tangentnog četvorougla:
[dispmath]O=a+b+c+d[/dispmath][dispmath]O=a+c+\underbrace{b+d}_{a+c}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{O=2\left(a+c\right)}[/dispmath]
Kako je [inlmath]a+c=b+d[/inlmath], tako je, takođe:
[dispmath]\enclose{box}{O=2\left(b+d\right)}[/dispmath]

svaka cast,sad mi je sve jasno ,hvala puno

Evo kada već ima tema da ne otvaram novu temu bezveze.Jasno mi je sve vezano za tangentni četvorougao.A za tetivni nisam mogao da nađem objašnjenje žašto mora zbir nasuprotnih uglova biti [inlmath]180^\circ[/inlmath]? Mislim žašto je to uslov da se opiše kružnica oko njega?Ja sam probavao nešto izvesti preko sličnosti ali nije mi se dalo.

Evo uspio sam dokazati preko centralnog i periferijskog ugla.Jednostavno je. Ne znam ni ja što mi se to činilo komplikovanim..

Ili, jednostavno uočiš da su to periferijski uglovi s raznih strana iste tetive, a oni su međusobno suplementni (tj. zbir im je [inlmath]180^\circ[/inlmath]).

Upravo tako sam i radio.Mislim dokaz mi se svodi da dokažem da su ti uglovi suplementni.