MATEMANIJA

Treba mi pomoc oko jednog zadatka kod koga se treba konstruisati pravougli trougao a poznato je [inlmath]2s[/inlmath] (obim trougla [inlmath]a+b+c[/inlmath]) i visina koja odgovara hipotenuzi [inlmath]h_c[/inlmath].

A da li su date vrednosti tj. koliko iznosi [inlmath]2s[/inlmath] i visina [inlmath]h_c[/inlmath]?

@Miladin, u zadacima s konstrukcijom retko kad se daju konkretne brojne vrednosti. Obično se kaže – dato je to i to – pa se podrazumeva da sâm sebi proizvoljno nacrtaš date dužine i uglove, ali da onda konstruišeš geometrijsku figuru s tačno tim merama koje si prethodno nacrtao.

@sargarepa, dobro došao/la na forum, ali pošto ovaj forum ima striktna pravila, molim te da ih pročitaš, radi budućih postova.

Što se konstrukcije tiče – krećemo tako što konstruišemo prav ugao i njegovo teme obeležimo sa [inlmath]C[/inlmath]. To je, naravno, jedno od temena trougla. Sada na kracima tog pravog ugla odaberemo tačke [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath], svaku na jednom od krakova, takve da je [inlmath]CM=CN=s[/inlmath], gde [inlmath]s[/inlmath] predstavlja dati poluobim trougla. Konstruišemo, zatim, tačku [inlmath]O[/inlmath], takvu da četvorougao [inlmath]CNOM[/inlmath] bude kvadrat, a zatim iz tačke [inlmath]O[/inlmath] konstruišemo kružnicu poluprečnika [inlmath]s[/inlmath]. Ta kružnica će, naravno, dodirivati krake pravog ugla [inlmath]\angle MCN[/inlmath] u tačkama [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath]:


E sad, zašto smo ovako radili? Sa sledeće slike možemo uočiti to, da koju god tačku na luku [inlmath]\overset{\frown}{MN}[/inlmath] odaberemo (obeležimo je sa [inlmath]R[/inlmath]), pri čemu tangenta na luk [inlmath]\overset{\frown}{MN}[/inlmath] u tački [inlmath]R[/inlmath] (obeležena crveno) seče krake pravog ugla u tačkama [inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]Q[/inlmath], obim trougla [inlmath]\triangle PQC[/inlmath] će uvek biti [inlmath]2s[/inlmath]:


To se može pokazati na sledeći način: Iz podudarnosti trouglova [inlmath]\triangle PMO[/inlmath] i [inlmath]\triangle PRO[/inlmath] sledi [inlmath]PM=PR[/inlmath], a iz podudarnosti trouglova [inlmath]\triangle QNO[/inlmath] i [inlmath]\triangle QRO[/inlmath] sledi [inlmath]QN=QR[/inlmath]. Dalje imamo:
[dispmath]CM+CN=s+s=2s[/dispmath][dispmath]\left.\begin{array}{l}
CM=CP+PM=CP+PR\\
CN=CQ+QN=CQ+QR
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad 2s=CM+CN=CP+\underbrace{PR+QR}_{PQ}+CQ=CP+PQ+CQ[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\underline{CP+PQ+CQ=2s}[/dispmath]
Dakle, ovakvih tangenti koje formiraju trougao obima [inlmath]2s[/inlmath] ima beskonačno mnogo. Međutim, pošto još imamo i zadatu visinu na hipotenuzu [inlmath]h_c[/inlmath], tangentu treba postaviti tako da od tačke [inlmath]C[/inlmath] bude udaljena za rastojanje [inlmath]h_c[/inlmath]. Zbog toga, konstruišemo kružnicu poluprečnika [inlmath]h_c[/inlmath] s centrom u tački [inlmath]C[/inlmath] (na slici obeležena zeleno):


Na kraju samo konstruišemo zajedničku tangentu ove dve kružnice (plave i zelene) i presečne tačke te tangente s kracima ugla biće temena [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] trougla. (Ako ne znaš postupak konstruisanja zajedničke tangente dve kružnice, molim te da to pitanje postaviš u zasebnoj temi.) Zajedničku tangentu na dve kružnice moguće je povući na dva načina, ali bi se u oba slučaja dobili pravougli trougli koji su međusobno podudarni, doduše, jedan u odnosu na drugi bi bili lik u ogledalu.

Hvala puno, mnogo ste mi pomogli