MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF – 1. jul 2003.
14. zadatak

14. U jednakokraki trougao [inlmath]ABC[/inlmath] ([inlmath]AB=AC=3\text{ cm},\;BC=2\text{ cm}[/inlmath]) upisan je krug koji dodiruje krake [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath] redom u tackama [inlmath]D[/inlmath] i [inlmath]E[/inlmath]. Duzina duzi [inlmath]DE[/inlmath] jednaka je (u [inlmath]\text{cm}[/inlmath]):
Resenje je [inlmath]\frac{4}{3}[/inlmath]

Trazim samo pocetnu ideju, pa ako opet bude bilo problema javicu se.
Hvala!

Uoči sličnost trouglova [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle ADE[/inlmath]. Dužinu [inlmath]AD[/inlmath] odnosno [inlmath]AE[/inlmath] lako odrediš, tako što prvo nađeš dužinu [inlmath]BD[/inlmath], odnosno [inlmath]CE[/inlmath]...

[inlmath]s=\frac{3+3+2}{2}=4;\;P^2=4\cdot1\cdot1\cdot2;\;P=2\sqrt2;\;P=rs;\;2\sqrt2=r\cdot4;\;r=\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath]
[dispmath]2\sqrt2=\frac{2h}{2};\;h=2\sqrt2;\;AO=2\sqrt2-\frac{\sqrt2}{2};\;AO=\frac{s\sqrt2}{2}[/dispmath] [inlmath]OE=r=\frac{\sqrt2}{2},\;AO=\frac{s\sqrt2}{2}[/inlmath], [inlmath]OEA[/inlmath] je pravougli trougao pa je odatle [inlmath]AE=2[/inlmath]... [inlmath]2:3=DE:2,\;DE=\frac{4}{3}[/inlmath]

jelicka je napisao:[dispmath]AO=\frac{{\color{red}s}\sqrt2}{2}[/dispmath]

Pretpostavljam da je ovo greška u kucanju, treba da bude [inlmath]AO=\frac{{\color{red}3}\sqrt2}{2}[/inlmath].

Da, rezultat je tačan, a postoji i mnogo lakši način. Tačku dodira kružnice s osnovom [inlmath]BC[/inlmath] obeležimo sa [inlmath]F[/inlmath]. Tada je
[dispmath]BF=\frac{1}{2}BC=1\\
\triangle BDO\cong\triangle BFO\quad\Longrightarrow\quad BD=BF=1\\
AD=AB-BD=3-1=2\\
AD:DE=AB:BC\quad\Longrightarrow\quad2:DE=3:2\quad\Longrightarrow\quad\enclose{box}{DE=\frac{4}{3}}[/dispmath]

Da, greska je u kucanju, a dole sam ponovo kopirala i nisam primetila

A sto se tice postupka, ja ove slicnosti jako tesko uocavam :/ ne ide mi to