MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF – 30. jun 2008.
13. zadatak

U krugu poluprecnika [inlmath]2\text{ cm}[/inlmath] duzina tetive kojoj odgovara periferijski ugao od [inlmath]15^\circ[/inlmath], iznosi (u [inlmath]\text{cm}[/inlmath]):
Resenje: [inlmath]\sqrt6-\sqrt2[/inlmath]

Ako je periferijski ugao [inlmath]15^\circ[/inlmath], znamo da njemu odgovara centralni ugao od [inlmath]30^\circ[/inlmath].
Sto znaci da imamo jednakokraki trougao, koji cine tetiva i poluprecnik.
Ako je centralni ugao [inlmath]30^\circ[/inlmath], povucemo visinu na tetivu, i dobijamo 2 ugla od [inlmath]15^\circ[/inlmath]...
[dispmath]\sin15^\circ =\frac{\text{naspramna kateta}}{\text{hipotenuza}}[/dispmath] u ovom slucaju naspramnoj kateti odgovara polovina tetive, a hipotenuzi poluprecnik [inlmath]r[/inlmath]:
[dispmath]\sin15^\circ=\frac{\frac{t}{2}}{2}\\
t=4\sin15^\circ[/dispmath] Sinus [inlmath]15^\circ[/inlmath] se lako izracuna preko
[dispmath]\sin(45^\circ-30^\circ)=\cdots=\frac{\left(\sqrt6-\sqrt2\right)}{4}[/dispmath] I dobije se tacno resenje...
Moje pitanje je gde gresim ako pokusam da uradim preko kosinusne teoreme?
[dispmath]t^2=2r^2-2r^2\cos30^\circ\\
t^2=8-8\frac{\sqrt3}{2}\\
t^2=8-4\sqrt3[/dispmath] Sta god da radim sa ovim poslednjim redom ne mogu da dobijem tacno resenje?

Pa, na dobrom si putu.
[dispmath]t^2=4\left(2-\sqrt3\right)\\
t=2\sqrt{2-\sqrt3}[/dispmath] Sada treba izraz [inlmath]2-\sqrt3[/inlmath] da predstavimo kao kvadrat nekog binoma, kako bismo, zatim, mogli da skratimo kvadrat i koren.
[dispmath]2-\sqrt3=\left(a+b\right)^2\\
2-\sqrt3=a^2+b^2+2ab[/dispmath] Pretpostavimo da su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] koreni celih brojeva, tako da [inlmath]a^2+b^2[/inlmath] može biti samo ceo broj:
[dispmath]a^2+b^2=2\\
2ab=-\sqrt3[/dispmath][dispmath]\Longrightarrow\quad b=-\frac{\sqrt3}{2a}\\
a^2+\left(-\frac{\sqrt3}{2a}\right)^2=2\\
\left.a^2+\frac{3}{4a^2}=2\quad\right/\cdot4a^2\\
4\left(a^2\right)^2-8a^2+3=0\\
\left(a^2\right)_{1,2}=\frac{2\pm1}{2}[/dispmath] Svejedno je koju ćemo od ove dve vrednosti uzeti za [inlmath]a^2[/inlmath], jer, ako za [inlmath]a^2[/inlmath] uzmemo jednu vrednost, za [inlmath]b^2[/inlmath] ćemo kasnije dobiti tu drugu vrednost. Recimo da je [inlmath]a^2=\frac{1}{2}[/inlmath]:
[dispmath]a=\pm\frac{\sqrt2}{2}\\
b=-\frac{\sqrt3}{2a}=-\frac{\sqrt3}{\cancel2\left(\pm\frac{\sqrt2}{\cancel2}\right)}=\mp\frac{\sqrt3}{\sqrt2}=\mp\frac{\sqrt6}{2}[/dispmath] Ovaj znak [inlmath]\mp[/inlmath] znači to, da ako smo za [inlmath]a[/inlmath] uzeli [inlmath]+\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], tada za [inlmath]b[/inlmath] moramo uzeti [inlmath]-\frac{\sqrt6}{2}[/inlmath]. I obratno, ako smo za [inlmath]a[/inlmath] uzeli [inlmath]-\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], tada za [inlmath]b[/inlmath] moramo uzeti [inlmath]+\frac{\sqrt6}{2}[/inlmath]. Pošto će [inlmath]a+b[/inlmath] kasnije biti kvadrirano, potpuno je svejedno koji će od ta dva sabirka, [inlmath]a[/inlmath] ili [inlmath]b[/inlmath], biti s plusom, a koji s minusom. Bitno je samo to, da jedan od njih bude s plusom, a drugi s minusom.
Dakle, neka je
[dispmath]a=\frac{\sqrt2}{2},\;b=-\frac{\sqrt6}{2}[/dispmath] Prema tome, [inlmath]2-\sqrt3[/inlmath] možemo napisati kao [inlmath]\left(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt6}{2}\right)^2[/inlmath], tj. kao [inlmath]\frac{1}{4}\left(\sqrt2-\sqrt6\right)^2[/inlmath].
Provera:
[dispmath]\frac{1}{4}\left(\sqrt2-\sqrt6\right)^2=\frac{1}{4}\left(2-2\sqrt2\sqrt6+6\right)=\frac{1}{4}\left(8-2\sqrt{12}\right)=\frac{1}{4}\left(8-2\cdot2\sqrt3\right)=2-\sqrt3[/dispmath] I ostalo je još da odredimo dužinu tetive [inlmath]t[/inlmath]:
[dispmath]t=2\sqrt{2-\sqrt3}\\
t=2\sqrt{\frac{1}{4}\left(\sqrt2-\sqrt6\right)^2}=\cancel2\cdot\frac{1}{\cancel2}\sqrt{\left(\sqrt2-\sqrt6\right)^2}=\sqrt{\left(\sqrt2-\sqrt6\right)^2}[/dispmath] Kvadrat i koren, kad se krate, daju apsolutnu vrednost:
[dispmath]t=\left|\sqrt2-\sqrt6\right|\\
\enclose{box}{t=\sqrt6-\sqrt2}[/dispmath]

Hvala puno! Ipak je jednostavniji prvi nacin, i cini mi se brzi

Ako to dobiješ na prijemnom uz ponuđene odgovore možeš i preko kosinusne teoreme da radiš. Ne moraš se truditi da potkorenu veličnu prikažeš kao kvadrat, već jednostavno kvadriraj ponuđena rešenja i uporedi sa vrednošću [inlmath]t^2[/inlmath] koju si dobio.

Jocaynwa je napisao:[dispmath]t^2=8-4\sqrt3[/dispmath]

Ovo se može srediti i na sledeći način:
[dispmath]t=\sqrt{2\left(4-2\sqrt3\right)}=\sqrt{2\left(\sqrt 3-1\right)^2}=\sqrt2\cdot\left|\sqrt3-1\right|=\sqrt6-\sqrt2[/dispmath] Inače, vrednost [inlmath]\sqrt{2-\sqrt3}[/inlmath] se može izračunati i bez Lagranžovog indentiteta:
[dispmath]\sqrt{2-\sqrt3}=\sqrt\frac{4-2\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}[/dispmath]