Stranica 1 od 1

Maklorenov polinom (arcsin, arccos)

PostPoslato: Ponedeljak, 09. Maj 2022, 22:36
od Acim
Razviti u Maklorenov polinom funkciju 3. stepena [inlmath]h(x)=\arcsin x-\arccos x[/inlmath].

Kod ovog zadatka mi samo nije jasan deo kada određujemo [inlmath]f(0)[/inlmath], jer, [inlmath]\arcsin[/inlmath] je [inlmath]0[/inlmath] kada ima vrednost [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\pi[/inlmath], dok je [inlmath]\arccos[/inlmath] [inlmath]0[/inlmath] kada je [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath]. Koju vrednost izabrati od ove dve, ili bi to bilo svejedno u ovom slučaju?

Re: Maklorenov polinom (arcsin, arccos)

PostPoslato: Utorak, 10. Maj 2022, 22:56
od Daniel
Acim je napisao:Razviti u Maklorenov polinom funkciju 3. stepena [inlmath]h(x)=\arcsin x-\arccos x[/inlmath].

Ne bih rekao da tekst ovako glasi. Verovatno glasi da datu funkciju treba razviti u Maklorenov polinom 3. stepena.

Acim je napisao:jer, [inlmath]\arcsin[/inlmath] je [inlmath]0[/inlmath] kada ima vrednost [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\pi[/inlmath], dok je [inlmath]\arccos[/inlmath] [inlmath]0[/inlmath] kada je [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath].

Pomešao si [inlmath]\arcsin[/inlmath] i [inlmath]\arccos[/inlmath] sa sinusom odnosno kosinusom. Jer, sinus je [inlmath]0[/inlmath] kad njegov argument ima vrednost [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]\pi[/inlmath] (i, uopšte, [inlmath]k\pi[/inlmath]), a kosinus je [inlmath]0[/inlmath] kad njegov argument ima vrednost [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath] (i, uopšte, [inlmath]\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath]).

Acim je napisao:Koju vrednost izabrati od ove dve, ili bi to bilo svejedno u ovom slučaju?

Nije i ne može biti svejedno, jer kada bi arkus sinus ili arkus kosinus za jednu istu vrednost argumenta imao dve ili više različitih vrednosti, onda to ne bi bila funkcija. Tebe verovatno zbunjuje to što arkus sinus i arkus kosinus posmatraš kao inverzne funkcije sinusa odnosno kosinusa. Ali, pošto sinus i kosinus nisu injektivne, one ne mogu imati inverznu funkciju, tako da arkus sinus i arkus kosinus nisu njihove inverzne funkcije. E sad, pošto deo sinusne funkcije koji se nalazi na intervalu [inlmath]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right][/inlmath] jeste injektivna funkcija, arkus sinus je definisan kao inverzna funkcije dela sinusne funkcije na intervalu [inlmath]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right][/inlmath]. Na sličan način, pošto deo kosinusne funkcije koji se nalazi na intervalu [inlmath][0,\pi][/inlmath] jeste injektivna funkcija, arkus kosinus je definisan kao inverzna funkcija dela kosinusne funkcije na intervalu [inlmath][0,\pi][/inlmath].
Pogledaj ovaj post, i to ograničenost arkus sinusa i ograničenost arkus kosinusa, a zatim, u okviru istog posta, i grafik funkcija arkus sinus i arkus kosinus. Mislim da će ti biti jasnije...