Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA OSTALE OBLASTI ANALIZE

Arhimedovo svojstvo

Sve što spada u matematićku analizu a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Arhimedovo svojstvo

Postod StefanosDrag » Nedelja, 12. Septembar 2021, 06:33

Ćao svima!
Pokušavam da dokažem sledeću tvrdnju:
[dispmath]A=\bigcap\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{n},0\right)=\emptyset[/dispmath] (Originalan zadatak glasi: Prove that [inlmath]A=\bigcap\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{n},0\right)=\emptyset[/inlmath]. This demonstrates that the nested interval property is not necessarily true if the nested intervals are not closed.)

Pretpostavljam da treba da dokažem da se neki realan broj [inlmath]x[/inlmath] ne nalazi u [inlmath]A[/inlmath].
Zatim sam rešenje odlučio da podelim u nekoliko slučajeva.

Prvi slučaj: Kada je [inlmath]x=0[/inlmath], onda [inlmath]x\notin A[/inlmath], zato što interval ne uključuje [inlmath]0[/inlmath].
Drugi slučaj: Kada je [inlmath]x>0[/inlmath], onda možemo da iskoristimo Arhimedovo svojstvo, te znamo da za neki prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] važi da je [inlmath]\frac{1}{n}<x[/inlmath]. Međutim, pošto je [inlmath]-\frac{1}{n}<0<\frac{1}{n}[/inlmath] za svaki prirodan broj [inlmath]n[/inlmath], onda zaključujemo da [inlmath]x\notin A[/inlmath]
Treći slučaj: Kada je [inlmath]x<0[/inlmath]. Nisam siguran kako da rešim ovaj slučaj. Pokušavao sam da ,,izvučem" neku informaciju iz Arhimedovog svojstva, ali bezuspešno....
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 22 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Arhimedovo svojstvo

Postod ubavic » Nedelja, 12. Septembar 2021, 14:27

StefanosDrag je napisao:Pretpostavljam da treba da dokažem da se neki realan broj [inlmath]x[/inlmath] ne nalazi u [inlmath]A.[/inlmath]

Hm, ovako rečeno zvuči malo problematično. Preciznije je reći: potrebno je pokazati da svaki realan broj [inlmath]x[/inlmath] ne pripada skupu [inlmath]A[/inlmath] (verovatno si i ti na ovo mislio).

Skup [inlmath]A[/inlmath] je presek beskonačne familije skupova oblika [inlmath](-\frac{1}{n}, 0)[/inlmath] gde je [inlmath]n \in\mathbb N[/inlmath]. Da bi neki broj [inlmath]x[/inlmath] pripadao ovom preseku, potrebno je i dovoljno da pripada svakom od navedenih intervala (razmisli zašto ovo važi!). Sada možemo da posmatramo dva slučaja
  • [inlmath]x \ge 0[/inlmath]. Pozitivan broj [inlmath]x[/inlmath] se ne nalazi ni u jednom navedenom intervalu, prema tome ne nalazi se ni u [inlmath]A[/inlmath].
  • [inlmath]x < 0[/inlmath]. Uzmimo [inlmath]y = -x[/inlmath]. Broj [inlmath]y[/inlmath] je strogo pozitivan broj pa po Arhimedovom svojstvu (realnog polja) postoji prirodan broj [inlmath]m[/inlmath] takav da je [inlmath]\frac 1 m < y[/inlmath]. Međutim, to znači da je [inlmath]- \frac 1 m > -y = x[/inlmath]. Prema tome, broj [inlmath]x[/inlmath] se ne nalazi u intervalu [inlmath](-\frac 1 m, 0)[/inlmath] a samim tim ni u skupu [inlmath]A[/inlmath].
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 583
Zahvalio se: 375 puta
Pohvaljen: 579 puta


Povratak na OSTALE OBLASTI ANALIZE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 16. Oktobar 2021, 22:27 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs