Ćao svima!
Pokušavam da dokažem sledeću tvrdnju:
[dispmath]A=\bigcap\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{n},0\right)=\emptyset[/dispmath] (Originalan zadatak glasi: Prove that [inlmath]A=\bigcap\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{n},0\right)=\emptyset[/inlmath]. This demonstrates that the nested interval property is not necessarily true if the nested intervals are not closed.)
Pretpostavljam da treba da dokažem da se neki realan broj [inlmath]x[/inlmath] ne nalazi u [inlmath]A[/inlmath].
Zatim sam rešenje odlučio da podelim u nekoliko slučajeva.
Prvi slučaj: Kada je [inlmath]x=0[/inlmath], onda [inlmath]x\notin A[/inlmath], zato što interval ne uključuje [inlmath]0[/inlmath].
Drugi slučaj: Kada je [inlmath]x>0[/inlmath], onda možemo da iskoristimo Arhimedovo svojstvo, te znamo da za neki prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] važi da je [inlmath]\frac{1}{n}<x[/inlmath]. Međutim, pošto je [inlmath]-\frac{1}{n}<0<\frac{1}{n}[/inlmath] za svaki prirodan broj [inlmath]n[/inlmath], onda zaključujemo da [inlmath]x\notin A[/inlmath]
Treći slučaj: Kada je [inlmath]x<0[/inlmath]. Nisam siguran kako da rešim ovaj slučaj. Pokušavao sam da ,,izvučem" neku informaciju iz Arhimedovog svojstva, ali bezuspešno....