Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA OSTALE OBLASTI ANALIZE

Minimalna vrednost izraza

Sve što spada u matematićku analizu a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Minimalna vrednost izraza

Postod ognjentesic » Ponedeljak, 08. Mart 2021, 23:39

Pozdrav, duže vreme imam problema sa ovim zadatkom:

Ako je [inlmath]xy+yz+zx+1[/inlmath] i ako su [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] pozitivni realni brojevi, odrediti minimum izraza [inlmath]10x^2+10y^2+z^2[/inlmath].
Tačno rešenje je [inlmath]4[/inlmath].

Mislim da treba da se upotrebi Koši-Švarc, ali nisam siguran u kom obliku i kako.
 
Postovi: 26
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Minimalna vrednost izraza

Postod primus » Utorak, 09. Mart 2021, 05:57

Da li u postavci zadatka treba da piše [inlmath]xy+yz+zx=1[/inlmath]?
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Minimalna vrednost izraza

Postod ognjentesic » Utorak, 09. Mart 2021, 10:56

Da, izvinjavam se, pogrešio sam. [inlmath]xy+yz+zx=1[/inlmath] treba da piše.
 
Postovi: 26
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Minimalna vrednost izraza

Postod Fare » Petak, 22. Oktobar 2021, 22:50

Ne znam da li je zadatak sa faksa ili iz srednje škole.
Ako je sa faksa mogao bi da iz uslova [inlmath]xz+yz+zx=1[/inlmath] izraziš [inlmath]z[/inlmath]. Zamenom u dati izraz dobijamo funkciju
[dispmath]f\left(x,y\right)=10x^2+10y^2+\left(\frac{1-xy}{x+y}\right)^2[/dispmath] a zatim preko parcijalnih izvoda rešiš problem. Može, ali nije ni kratko ni jednostavno.

Ako je iz srednje škole, deluje kao "takmičarski" zadatak. Jasno da je:
[dispmath]4\left(x-y\right)^2\ge0\;\Longrightarrow\;4x^2+4y^2\ge8xy\\
\left(4y-z\right)^2\ge0\;\Longrightarrow\;16y^2+z^2\ge8yz\\
\left(4x-z\right)^2\ge0\;\Longrightarrow\;16x^2+z^2\ge8xz[/dispmath] Sabiranjem ovih nejednakosti i korišćenjem uslova zadatka:
[dispmath]20x^2+20y^2+2z^2\ge8\left(xy+yz+zx\right)=8\;/:2\\
10x^2+10y^2+z^2\ge4[/dispmath] Jednakost dobijamo ako je [inlmath]x-y=0\;\land\;4x-z=0[/inlmath], a zamenom u tu jednakost dobija se: [inlmath]x=\frac{1}{3}\;\land\;y=\frac{1}{3}\;\land\;z=\frac{4}{3}[/inlmath].
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 110
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 143 puta


Povratak na OSTALE OBLASTI ANALIZE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nikolija Obradović i 28 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 18:34 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs