P.S. Nisam siguran u koju temu tačno da smestim ovaj zadatak jer ima deo i iz analitičke geometrije i iz Langranžovog uslova, tako da se unapred izvinjavam.

Odrediti tačku sa površi [inlmath]z^2=x^2+y^2[/inlmath] koja ima sve koordinate pozitivne i najbliža je tački [inlmath](4,2,0)[/inlmath].

E sad, ja sam dobio tu neku tačku, ali bih rekao da je pogrešno jer ne zadovoljava uslov i jer se pojavljuje [inlmath]0[/inlmath] kao koordinata, koja nije ni pozitivan ni negativan broj.

Neka je tačka [inlmath]A[/inlmath] tačka sa koordinatama [inlmath](4,2,0)[/inlmath] i neka je tačka [inlmath]B(x_1,y_1,z_1)[/inlmath] tačka koja je najbliža tački [inlmath]A[/inlmath]
Odavde sam primenio formulu za rastojanje između 2 tačke: [inlmath]|AB|=\sqrt{(x-4)^2+(y-2)^2+z^2}[/inlmath].

Neka nam je to sad neka funkcija [inlmath]f(x,y,z)[/inlmath].
Sad, Langranžov uslov:
[dispmath]f(x,y,z)=(x-4)^2+(y-2)^2+z^2+\lambda\left(z^2-x^2-y^2\right)[/dispmath] Parcijalni izvodi po [inlmath]x,y,z,\lambda[/inlmath] redom su: [inlmath]2x-8-2\lambda x,\enspace2y-4-2\lambda y,\enspace2z+2\lambda z,\enspace z^2-x^2-y^2[/inlmath].
Sada sistem:
[dispmath]z^2-x^2-y^2=0\\
x-\lambda x=4\\
y-\lambda y=2\\
z+\:\lambda z=0[/dispmath] Iz poslednje jednačine iz sistema dobijam da mi je [inlmath]z=0[/inlmath] i [inlmath]\lambda=-1[/inlmath]. Kada uvrstim u prethodne, dobijam da mi je [inlmath]x=2[/inlmath] i [inlmath]y=1[/inlmath]. Međutim, kada to zamenim u početni uslov, dobijam [inlmath]0^2-4-1\ne0[/inlmath].

Acim je napisao:Iz poslednje jednačine iz sistema dobijam da mi je [inlmath]z=0[/inlmath] i [inlmath]\lambda=-1[/inlmath].

Iz poslednje jednačine je [inlmath]z=0[/inlmath] ili [inlmath]\lambda=−1[/inlmath]. Zbog uslova zadatka [inlmath]x,y,z>0[/inlmath], ostaje da je [inlmath]\lambda=−1[/inlmath]. ...
Da, ovu temu treba premestiti.

Fare je napisao:Da, ovu temu treba premestiti.

Premešteno.

Fare je napisao:Iz poslednje jednačine je [inlmath]z=0[/inlmath] ili [inlmath]\lambda=−1[/inlmath]. Zbog uslova zadatka [inlmath]x,y,z>0[/inlmath], ostaje da je [inlmath]\lambda=−1[/inlmath]. ...

Moja greška.
Ubacivanjem [inlmath]\lambda=-1[/inlmath] sada redom dobijam: [inlmath]x=2,\:y=1,\:z=\sqrt5[/inlmath]. Znači, onda bi ispravno bilo da je to tačka: [inlmath]B\left(2,1,\sqrt5\right)[/inlmath]? Takođe, imam utisak kao da nisam uradio ceo zadatak, zbog ovog dela zadatka "tako da je najbliža tački", pretpostavljam da izvod treba da se odradi, ali nisam siguran.

Dve tačke, jer je [inlmath]z=±\sqrt{5}[/inlmath], tj. [inlmath]B_{1}\left(2,1,\sqrt{5}\right)[/inlmath] i [inlmath]B_{2}\left(2,1,-\sqrt{5}\right)[/inlmath]. Da su to tražene tačke uveri se pomoću totalnog diferencijala drugog reda funkcije i uslova [inlmath]d^2 f\left(x_{0},y_{0},z_{0},\lambda_{0}\right)>0[/inlmath]