Moze li mi iko pomoci sa ovim zadatkom, nisam nikako racunski, a ni logicki uspio da ga rijesim. Zadatak glasi Ako za realne brojeve [inlmath]x,y,z[/inlmath] vrijedi [inlmath]x^2+y^2+z^2=2[/inlmath] dokazati da vrijedi nejednakost
[dispmath]x+y+z\le xyz+2[/dispmath]
Index stranica ‹ MATEMATIČKA ANALIZA ‹ OSTALE OBLASTI ANALIZE
Dokazivanje nejednakosti
Pregled za štampanje • Pregled za štampanje svih postova u temi • 28 Posta
• Stranica 3 od 3 • 1, 2, 3
Re: Dokazivanje nejednakosti
od elektricar » Petak, 25. Novembar 2016, 22:22
- Postovi: 25
- Zahvalio se: 17 puta
- Pohvaljen: 0 puta
Re: Dokazivanje nejednakosti
od Onomatopeja » Petak, 25. Novembar 2016, 23:41
Primenom Koši-Švarcove nejednakosti i uslova [inlmath]x^2+y^2+z^2=2[/inlmath], dobijamo
[dispmath]x+y+z-xyz=x(1-yz)+(y+z)\cdot1\le\sqrt{(x^2+{(y+z)}^2)({(1-yz)}^2+1^2)}=\sqrt{(2+2yz)(2-2yz+y^2z^2)}.[/dispmath] Odatle primetimo da je dovoljno pokazati nejednakost [inlmath]\sqrt{(1+yz)(2-2yz+y^2z^2)}\le\sqrt2[/inlmath] kako bismo pokazali trazenu nejednakost iz zadatka, a prethodna nejednakost je ekvivalentna sa [inlmath](1+yz)(2-2yz+y^2z^2)\le2[/inlmath], odnosno [inlmath]y^2z^2(1-yz)\ge0[/inlmath], sto je ispunjeno jer vazi [inlmath]yz\le1[/inlmath]. Naime, kako je [inlmath]x^2\ge0[/inlmath], to je [inlmath]y^2+z^2\le2[/inlmath], a samim tim iz AG nejednakosti dobijamo i [inlmath]yz\le1[/inlmath].
Odakle je inace ovaj zadatak?
[dispmath]x+y+z-xyz=x(1-yz)+(y+z)\cdot1\le\sqrt{(x^2+{(y+z)}^2)({(1-yz)}^2+1^2)}=\sqrt{(2+2yz)(2-2yz+y^2z^2)}.[/dispmath] Odatle primetimo da je dovoljno pokazati nejednakost [inlmath]\sqrt{(1+yz)(2-2yz+y^2z^2)}\le\sqrt2[/inlmath] kako bismo pokazali trazenu nejednakost iz zadatka, a prethodna nejednakost je ekvivalentna sa [inlmath](1+yz)(2-2yz+y^2z^2)\le2[/inlmath], odnosno [inlmath]y^2z^2(1-yz)\ge0[/inlmath], sto je ispunjeno jer vazi [inlmath]yz\le1[/inlmath]. Naime, kako je [inlmath]x^2\ge0[/inlmath], to je [inlmath]y^2+z^2\le2[/inlmath], a samim tim iz AG nejednakosti dobijamo i [inlmath]yz\le1[/inlmath].
Odakle je inace ovaj zadatak?
Re: Dokazivanje nejednakosti
od elektricar » Subota, 26. Novembar 2016, 18:07
hvala puno na lijepom objasnjenju, zadatak je iz zbirke za prvi razred gimnazije Adem Huskic, na kojem bi se nivou trebao nalaziti ovaj zadatak po vama (mislim na takmicarske nivoe)
- Postovi: 25
- Zahvalio se: 17 puta
- Pohvaljen: 0 puta
Re: Dokazivanje nejednakosti
od desideri » Nedelja, 27. Novembar 2016, 17:31
Ovo može da se reši ako se zna i jednačina sfere u analitičkoj geometriji:
[dispmath]x^2+y^2+z^2=r^2[/dispmath]
No to verovatno ne radite u gimnaziji, ja ovo pišem zbog ostalih korisnika.
[dispmath]x^2+y^2+z^2=r^2[/dispmath]
No to verovatno ne radite u gimnaziji, ja ovo pišem zbog ostalih korisnika.
Re: Dokazivanje nejednakosti
od Daniel » Utorak, 29. Novembar 2016, 21:05
Ta formula je i mene odmah asocirala na jednačinu sfere, ali osim zaključka da [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] pripadaju intervalu [inlmath]\Bigl[-\sqrt2,\sqrt2\Bigr][/inlmath], nisam uspeo da uočim ništa što bi pomoglo da se jednačina sfere iskoristi.
Bi li izložio neku osnovnu ideju za taj način dokazivanja?
Bi li izložio neku osnovnu ideju za taj način dokazivanja?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Dokazivanje nejednakosti
od Onomatopeja » Sreda, 30. Novembar 2016, 18:00
Moguce da je desideri mislio da se taj uslov zapise preko sfernih koordinata, pa da se onda nejednacina svede na nejednacinu sa dve promenljive (u zavisnosti od dva ugla). Mozda to i dovodi do lakseg/brzeg resenja, nisam pokusavao (ako uopste dobijamo nesto tom parametrizacijom). A mozda i nisi mislio na to desideri?
@elektricar: Ne bih znao, nisam nikada isao na takmicenja iz matematike. Verovatno moze proci za republicko, mozda i za vise.
@elektricar: Ne bih znao, nisam nikada isao na takmicenja iz matematike. Verovatno moze proci za republicko, mozda i za vise.
Re: Dokazivanje nejednakosti
od Nikolija Obradović » Četvrtak, 01. Februar 2024, 20:29
Onomatopeja je napisao:Ako bi pokazao da je [inlmath]a^5+b^5\ge(a+b)a^2b^2[/inlmath], tada bismo imali i [inlmath]\displaystyle\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\le\frac{c}{a+b+c}[/inlmath] (pri uslovu [inlmath]abc=1[/inlmath]). Odatle je tvrdjenje zadatka trivijalno. Da bi pokazao prvu spomenutu nejednakost iskoristi rastavljanje [inlmath]a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)[/inlmath], kao i aritmeticko-geometrijsku nejednakost.
Može li mi neko objasniti zašto baš moram pokazati da je [inlmath]a^5+b^5\ge(a+b)\cdot a^2\cdot b^2[/inlmath]?
- Postovi: 9
- Zahvalio se: 5 puta
- Pohvaljen: 0 puta
Re: Dokazivanje nejednakosti
od Daniel » Četvrtak, 22. Februar 2024, 22:17
Odgovor na tvoje pitanje nalazi se upravo u delu koji si citirala.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
28 Posta
• Stranica 3 od 3 • 1, 2, 3
Povratak na OSTALE OBLASTI ANALIZE
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju