Pozdrav, ne razumem neke stvari oko metričkih prostora.

Šta znam: Metrički prostor je, po definiciji, prostor koji ima funkciju metrike [inlmath]d\colon X\times X\to\mathbb{R}^+[/inlmath] koja uzima dve promenljive i izražava rastojanje između njih sa [inlmath]d(x,y)\geq0[/inlmath].

Aksiome:
1. [inlmath]\forall x\in X, d(x,x)=0[/inlmath]
2. [inlmath]\forall x\forall y\in X,\;x\neq y,\;d(x,y)>0[/inlmath] - nenegativnost
3. [inlmath]\forall x\forall y\in X,\;d(x,y)=d(y,x)[/inlmath] - simetričnost
4. [inlmath]\forall x\forall y\forall z\in X,\;d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)[/inlmath] - nejednakost trougla

Primer metrike: [inlmath]d(x,y)=\begin{cases}
0 & \text{if }x=y,\\
1 & \text{if }x\neq y.
\end{cases}[/inlmath]

Stvari koje ne znam su kompletnost, kompaktnost i povezanost.
Takođe, u primeru:
[inlmath]\gamma\colon[0,1]\to D,\;\gamma(0)=z_1,\;\gamma(1)=z_2[/inlmath] (gde je [inlmath]D[/inlmath] metrički prostor, a [inlmath]z_1[/inlmath] i [inlmath]z_2[/inlmath] su tačke), pominje se "gustina metrike u [inlmath]D[/inlmath]" [inlmath]\varphi(z)[/inlmath],

[inlmath]\varphi\colon D\to[0,+\infty)[/inlmath],
[inlmath]\varphi(\gamma)=\int_\gamma\varphi(z)|\mathrm dz|[/inlmath]
takođe se pominje i "geodezijska linija" [inlmath]\varphi=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\mathrm dx[/inlmath]

Granična vrednost nizova u metričkom prostoru deluje intuitivno. Termini kompletnost i kompaktnost su mi poznati iz drugih oblasti, ali gustina metrike, pojava integrala i geodezijska linija me u potpunosti zbunjuju.