hvala puno svima, shvatio sam. Jos me zanima da li smijem primjeniti AG nejednakost na izraz npr. [inlmath]-x^2-x^4[/inlmath] posto se "minus" pojavljuje

hvala svima na objasnjenju, jos me zanima kako je Onomatopeja dosao preko AG nejednakosti da je [inlmath](a+b)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)[/inlmath] vece ili jednako od [inlmath]a^2b^2(a+b)[/inlmath]

Dovoljno je pokazati da je [inlmath]a^3b+ab^3\le a^4+b^4[/inlmath], sto mozemo dobiti kao
[dispmath]a^3b+ab^3\le\frac{a^4+a^2b^2}{2}+\frac{a^2b^2+b^4}{2}=\frac{a^4+b^4}{2}+a^2b^2\le\frac{a^4+b^4}{2}+\frac{a^4+b^4}{2}=a^4+b^4,[/dispmath] gde smo tri puta koristili aritmeticko-geometrijsku nejednakost.

I za tvoj prvi post sa ove strane: da, mozes tu koristiti AG nejednakost, tako sto bi na primer prvo izvukao minus (ako ti tu nesto i koristi AG nejednakost).

Dodao bih i ovaj način preko AG nejednakosti.
[dispmath]a^5+b^5=\left(a+b\right)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)\\
\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}[/dispmath]
Treba da dokažemo [inlmath]a^2b^2\left(a+b\right)\le\left(a+b\right)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)[/inlmath]
Kako su [inlmath]a,b>0[/inlmath]
Dobijamo [inlmath]a^2b^2\le a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4[/inlmath]
Sada kad ovo uvrstimo u AG nejednakost dobijamo
[dispmath]x_1=a^4\\
x_2=b^4\\
\Rightarrow\;\frac{a^4+b^4}{2}\ge{a^2b^2}[/dispmath]
Ako bismo dokazali da je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\ge\frac{a^4+b^4}{2}[/inlmath] onda bismo istovremeno dokazali početnu nejednakost.
Da bi ovaj korak razumeli, najbolje ga je opisati na sledeći način: Ako imamo [inlmath]x\ge y[/inlmath] , a traži nam se da dokažemo [inlmath]z\ge y[/inlmath], onda bismo mogli ako nam je [inlmath]x[/inlmath] pogodnije od [inlmath]y[/inlmath] , da dokažemo [inlmath]z\ge x[/inlmath] , odakle proizilazi [inlmath]z\ge y[/inlmath]
[dispmath]2a^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3+2b^4\ge a^4+b^4\\
a^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3+b^4\ge0\\
a^4+2a^2b^2+b^4\ge2a^3b+2ab^3\\
\left(a^2+b^2\right)^2\ge2ab\left(a^2+b^2\right)\\
a^2+b^2\ge2ab\\
\Rightarrow\;\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab[/dispmath]
A ovo se takođe zasniva na AG nejednakosti s toga sledi da je i početna nejednakost tačna.

Super je ceo postupak, samo bih imao jedan mali komentar,

Herien Wolf je napisao:[dispmath]a^2+b^2\ge2ab\\
\Rightarrow\;\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab[/dispmath]

dokazivati ovo preko AG nejednakosti, to je po meni, kako bi to Desideri rekao, kao „topom ubijati komarce“.
Imamo [inlmath]a^2+b^2\ge2ab[/inlmath], prebacimo [inlmath]2ab[/inlmath] na levu stranu, dobijemo [inlmath]a^2+b^2-2ab\ge0[/inlmath], to jest [inlmath](a-b)^2\ge0[/inlmath], a za kvadrat binoma znamo da mora biti veći ili jednak od nule.

A kako se inace dokazuje AG nejednakost za dva sabirka? Upravo tako.

U svakom slucaju ne mislim da je preterivanje, jer se AG vec jednom koristila ranije, te ako smo vec upoznati sa tom jednakoscu, zasto jednostavno ne primetiti i da je ovo sad ponovo jedan slucaj AG nejednakosti? (ovo nije bilo pitanje)

Uostalom, tezina celog zadatka je na uocavanju veze [inlmath]a^5+b^5\ge(a+b)a^2b^2[/inlmath] (tj. da ce nam to biti od neke koristi), a sam dokaz ove nejednakosti u odnosu na samo uocavanje je trivijalan.

hvala svima, konacno mogu prekriziti zadatak

Onomatopeja je napisao:A kako se inace dokazuje AG nejednakost za dva sabirka? Upravo tako.

Pa, baš zato. Ako smo pri dokazivanju AG-nejednakosti koristili nejednakost [inlmath]a^2+b^2\ge2ab[/inlmath], a sada nejednakost [inlmath]a^2+b^2\ge2ab[/inlmath] dokazujemo preko AG-nejednakosti, hm... nije li to, kako bi se narodski reklo, „vrćenje ukrug“?

postoje li ikakvi "koraci" pri dokazivanju ovih nejednacina ili samo logicki mogu gledati sta mi je najlakse za uraditi da bih dokazao nejednakost

Da ne otvaram novu temu odlucio sam pitat ovdje Kada dokazujem nejednakost za sve realne brojeve u kojem se pojavljuju tri promjenljive [inlmath]a,b,c[/inlmath]. Da li je dovoljno dokazati da nejednakost vazi za sve pozitivne [inlmath]a,b,c[/inlmath] i da nejednakost vazi za sve negativne [inlmath]a,b,c[/inlmath] Lp