Dobro vece Nadam se da moze pomoc oko dokazivanja ove nejednakosti. Dobila sam samo uputu da se primijeni Jensenova nejednakost ,ali ne znam kako da to uradim.
[dispmath]x_i,\;i\in\mathbb{N}\quad x_1+x_2+\cdots+x_n=1\\
\alpha>0\\
\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)^\alpha+\cdots+\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right)^\alpha\ge n\cdot\left(\frac{n^2+1}{n}\right)^\alpha[/dispmath]

Da bi se prikazao dati LaTeX kod potrebno je jos da ga uokviris InlineMath tagovima. Pogledaj u Pravilniku deo oko LaTeX-a, tu je linkovana tema sa uputstvom za upotrebu LaTeX-a na ovom forumu.

Sto se tice samog problema, primeti da je problem ekvivalentan sa [inlmath]\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\Bigl(x_i+\frac{1}{x_i}\Bigr)^{\!\alpha}\ge\Bigl(n+\frac{1}{n}\Bigr)^{\!\alpha},[/inlmath] a nama Jensenova nejednakost za konveksne funkcije kaze [inlmath]\varphi\bigl(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\bigr)\le\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\varphi(x_i).[/inlmath] Mislim da sad nije tesko pokazati trazenu nejednakost jer je jedino preostalo da se prepozna sta je kod nas funkcija [inlmath]\varphi[/inlmath], da se iskoristi dati uslov iz zadatka, kao i da se proveri da su ispunjeni uslovi za primenu Jensenove nejednakosti.