-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
ubavic za post:
Orfeus
Reputacija: 4.55%
od ubavic » Utorak, 29. Januar 2019, 12:19
Da, u ovom zadatku je dovoljno dokazati da je skup putno povezan. Prvo ću ti dati jednu definiciju: Skup [inlmath]S\subset \mathbf{R}^n[/inlmath] je konveksan ako za sve [inlmath]x, y\in S[/inlmath] važi [inlmath][x,y]\subset S[/inlmath].
Da bi završio zadatak dokaži naredna tri tvrđenja:
1. Disk je konveksan skup.
2. Presek dva konveksna skupa je konveksan skup.
3. Svaki konveksan skup je putno povezan.
Iz 1. i 2. sledi da je skup [inlmath]A[/inlmath] iz tvog zadatka konveksan, pa po 3. sledi da je i putno povezan, a samim tim i povezan. Tri tvrđenja koja sam naveo su sasvim jednostavna, i ako shvatiš definiciju konveksnog skupa videćeš da su dokazi trivijalni.
Dve napomene (za tebe, ali i za ostale koji će ovaj post čitati):
1. Konveksnost skupa je mnogo jače svojstvo od putne povezanosti (to je zato što je za putnu povezanost dovoljan put, koji ne mora biti i segment, odnosno duž). Nećeš moći svaki zadatak uraditi na ovu foru.
2. U opštem slučaju povezani skupovi ne moraju biti i putno povezani, ali otvoreni skupovi prostora [inlmath]\mathbf{R}^n[/inlmath] su povezani ako i samo ako su putno povezani.