Pozdrav! Ako znamo da je suprotan element [inlmath]-x[/inlmath] broju [inlmath]x[/inlmath] definisan preko [inlmath]x+(-x)=0[/inlmath], onda možemo umesto [inlmath]x[/inlmath] tu da napišemo [inlmath]-x[/inlmath], pa imamo
[dispmath]-x+\bigl(-(-x)\bigr)=0\tag1[/dispmath] Iskoristimo jednakost [inlmath]x=x[/inlmath] i saberimo je sa [inlmath](1)[/inlmath], pa ćemo dobiti:
[dispmath]x+(−x)+\bigl(−(−x)\bigr)=x+0\iff0+\bigl(-(-x)\bigr)=x+0\iff-(-x)=x[/dispmath] Tu smo jasno koristili asocijativnost, pa "združili" [inlmath]x+(-x)[/inlmath] i primenili [inlmath]x+(-x)=0[/inlmath], kao i to da je [inlmath]0[/inlmath] neutralni element za sabiranje.
U drugom primeru ponovo iskoristimo [inlmath]x+(-x)=0[/inlmath], prateći i to da je:
- [inlmath]1[/inlmath] neutralni element za množenje;
- [inlmath]0[/inlmath] neutralni element za sabiranje.
Tada imamo (uz primene distributivnosti i asocijativnosti):
[dispmath]x+(-x)=0\iff x\cdot1+(-x)=0\iff x\cdot(0+1)+(-x)=0\iff\\
\iff x\cdot0+x\cdot1+(-x)=0\iff x\cdot0+x+(-x)=0\iff x\cdot0=0[/dispmath] Ako malo razmisliš lako možeš da dođeš do konačnog [inlmath]x\cdot0=0\cdot0=0[/inlmath]