Najbolje je razumeti suštinu na konkretnim primerima kao što si ti pokušao:
Relacijama (kao što samo ime kaže) se definiše neki odnos među elementima nekih skupova.
Na primer, relacija [inlmath]\lt[/inlmath] (
manje) na skupu [inlmath]\mathbb R[/inlmath] nam govori o nekom poretku u skupu realnih brojeva. Jednakost ([inlmath]=[/inlmath]) je još jedna relacija na [inlmath]\mathbb R[/inlmath] koja nam govori kada su dva broja jednaka. Slične su i relacije [inlmath]\gt[/inlmath], [inlmath]\le[/inlmath], [inlmath]\ge[/inlmath] i [inlmath]\ne[/inlmath] (za sve navedene relacije postoje analogne relacije na skupovima [inlmath]\mathbb N[/inlmath], [inlmath]\mathbb Z[/inlmath] i [inlmath]\mathbb Q[/inlmath], ali ja sam samo dao konkretan primer za [inlmath]\mathbb R[/inlmath]).
U geometriji imamo neke druge relacije. Na primer binarna relacija [inlmath]\parallel[/inlmath] nam govori kada su dve prave paralelne, dok nam [inlmath]\bot[/inlmath] govori kada su dve prave normalne. To su binarne relacije definisane na skupu svih pravih u prostoru. I u geometriji imamo relaciju jednakosti (naravno, za svaku klasu geometrijskih objekata po jednu relaciju; jednakost prava nije isto što i jednakost tačaka ili jednakost trouglova).
U teoriji skupova, [inlmath]\in[/inlmath] i [inlmath]\subset[/inlmath] se mogu shvatiti kao relacije (uz malu dodatnu opreznost o kojoj neću sada..). Ovo rešava
drugo pitanje koji si postavio
Kakve sad veze relacije imaju za Dekartovim proizvodima. Pa pojam Dekartovog proizvoda je samo iskorišćen da bi se strogo formalno definisao pojam relacije. Da bi bilo jasno, posmatrajmo relaciju [inlmath]\le[/inlmath] na [inlmath]\mathbb N[/inlmath]. Skup [inlmath]\mathbb N \times \mathbb N[/inlmath] čine svi uređeni parovi prirodnih brojeva tj.
[dispmath]\mathbb N \times \mathbb N = \left\{ \begin{matrix} (1, 1), & (1, 2), & (1,3), & (1,4), & \dots \\ (2, 1), & (2, 2), & (2,3), & (2,4), & \dots \\ (3, 1), & (3, 2), & (3,3), & (3,4), & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \end{matrix} \right\}.[/dispmath]
Relacija [inlmath]\lt[/inlmath] je samo jedan podskup ovog skupa:
[dispmath]\lt = \left\{ \begin{matrix} (1, 2), & (1,3), & (1,4), & \dots \\ & (2,3), & (2,4), & \dots \\ & & (3,4), & \dots \\ & & & \ddots \end{matrix} \right\}.[/dispmath]
Kao što si i napisao [inlmath]m \lt n[/inlmath] po definiciji znači da [inlmath](m,n)\in \lt[/inlmath].
Sve navedene relacije su bile podskupovi od [inlmath]X\times X[/inlmath] za neki skup [inlmath]X[/inlmath]. Najbitniji primeri relacija koje su podskupovi od [inlmath]X\times Y[/inlmath], za neke skupove [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath], jesu
funkcije. Funkcije su relacije takve da je
svaki element iz domena u relaciji
sa tačno jednim elementom iz kodomena. Domen i kodomen su respektivno prvi i drugi skup u izrazu [inlmath]X\times Y[/inlmath]. Činjenicu da je funkcija [inlmath]f[/inlmath] poskup od [inlmath]X\times Y[/inlmath] označavamo sa [inlmath]f \colon X \rightarrow Y[/inlmath], a činjenicu da je [inlmath]\left(x,y\right)\in f[/inlmath] ne označavamo sa [inlmath]x f y[/inlmath] (kao što je to slučaj kod ostalih relacija) nego sa [inlmath]f(x)=y[/inlmath].
Za primer funkcije, uzećemo funkciju kvadriranja na skupu prirodnih brojeva [inlmath]f\colon \mathbb N \rightarrow \mathbb N[/inlmath] definisanu sa [inlmath]f(n)=n^2[/inlmath] (u ovom primeru i domen i kodomen su istiu skupovi). Sledi da je
[dispmath]f=\left\{\left(1,1\right),\left(2,4\right),\left(3,9\right), \left(4,16\right), \dots\right\}\subset \mathbb N \times \mathbb N[/dispmath]
Sada dolazimo do operacija. Binarne operacije su funkcije koje uređenim parovima prirdružuju neki element, tj. binarne operacije su funkcije tipa [inlmath]X\times Y \rightarrow Z[/inlmath], za neke skupove [inlmath]X,Y[/inlmath] i [inlmath]Z[/inlmath] (primetimo da to znači da su takve funkcije neki podkupovi skupa [inlmath]\left(X\times Y\right)\times Z = X \times Y \times Z[/inlmath]). Ako je [inlmath]B[/inlmath] jedna binarna operacija, tada činjenicu da je [inlmath]B(x,y)=z[/inlmath] često označavamo sa [inlmath]x B y = z[/inlmath] (ovo je izvor zabune)
Primer jedne binarne operacije, jeste operacija sabiranja na skupu prirodnih brojeva [inlmath]+\colon \mathbb N \times \mathbb N \rightarrow \mathbb N[/inlmath]. Kako su operacije funkcije, a funkcije relacije, a relacije pak skupovi, vidimo da je [dispmath]+ = \left\{ \begin{matrix} (1, 1,2), & (1, 2, 3), & (1,3, 4), & (1,4,5), & \dots \\ (2, 1,3), & (2, 2,4), & (2,3,5), & (2,4.6), & \dots \\ (3, 1,4), & (3, 2,5), & (3,3,6), & (3,4,7), & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \end{matrix} \right\}.[/dispmath]
Kao što sam napisao, činjenicu da je [inlmath]+(m,n)=s[/inlmath] zapisujemo kao [inlmath]m+n=s[/inlmath] (gledano u terminima teorije skupova to znači da [inlmath](m,n,s)\in +[/inlmath]).
Nadam se da će ovaj post malo razjasniti neke pojmove :)
Moram da istaknem da nisi dobro prepisao definiciju iz udžbenika. Ništa se ne zaključuje u definiciji, već se samo definišu novi pojmovi.