Pozdrav, duže vreme imam problema sa ovim zadatkom:

Ako je [inlmath]xy+yz+zx+1[/inlmath] i ako su [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] pozitivni realni brojevi, odrediti minimum izraza [inlmath]10x^2+10y^2+z^2[/inlmath].
Tačno rešenje je [inlmath]4[/inlmath].

Mislim da treba da se upotrebi Koši-Švarc, ali nisam siguran u kom obliku i kako.

Da li u postavci zadatka treba da piše [inlmath]xy+yz+zx=1[/inlmath]?

Da, izvinjavam se, pogrešio sam. [inlmath]xy+yz+zx=1[/inlmath] treba da piše.

Ne znam da li je zadatak sa faksa ili iz srednje škole.
Ako je sa faksa mogao bi da iz uslova [inlmath]xz+yz+zx=1[/inlmath] izraziš [inlmath]z[/inlmath]. Zamenom u dati izraz dobijamo funkciju
[dispmath]f\left(x,y\right)=10x^2+10y^2+\left(\frac{1-xy}{x+y}\right)^2[/dispmath] a zatim preko parcijalnih izvoda rešiš problem. Može, ali nije ni kratko ni jednostavno.

Ako je iz srednje škole, deluje kao "takmičarski" zadatak. Jasno da je:
[dispmath]4\left(x-y\right)^2\ge0\;\Longrightarrow\;4x^2+4y^2\ge8xy\\
\left(4y-z\right)^2\ge0\;\Longrightarrow\;16y^2+z^2\ge8yz\\
\left(4x-z\right)^2\ge0\;\Longrightarrow\;16x^2+z^2\ge8xz[/dispmath] Sabiranjem ovih nejednakosti i korišćenjem uslova zadatka:
[dispmath]20x^2+20y^2+2z^2\ge8\left(xy+yz+zx\right)=8\;/:2\\
10x^2+10y^2+z^2\ge4[/dispmath] Jednakost dobijamo ako je [inlmath]x-y=0\;\land\;4x-z=0[/inlmath], a zamenom u tu jednakost dobija se: [inlmath]x=\frac{1}{3}\;\land\;y=\frac{1}{3}\;\land\;z=\frac{4}{3}[/inlmath].