-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Fare za post:
Daniel
Reputacija: 4.55%
od Fare » Petak, 22. Oktobar 2021, 23:50
Ne znam da li je zadatak sa faksa ili iz srednje škole.
Ako je sa faksa mogao bi da iz uslova [inlmath]xz+yz+zx=1[/inlmath] izraziš [inlmath]z[/inlmath]. Zamenom u dati izraz dobijamo funkciju
[dispmath]f\left(x,y\right)=10x^2+10y^2+\left(\frac{1-xy}{x+y}\right)^2[/dispmath] a zatim preko parcijalnih izvoda rešiš problem. Može, ali nije ni kratko ni jednostavno.
Ako je iz srednje škole, deluje kao "takmičarski" zadatak. Jasno da je:
[dispmath]4\left(x-y\right)^2\ge0\;\Longrightarrow\;4x^2+4y^2\ge8xy\\
\left(4y-z\right)^2\ge0\;\Longrightarrow\;16y^2+z^2\ge8yz\\
\left(4x-z\right)^2\ge0\;\Longrightarrow\;16x^2+z^2\ge8xz[/dispmath] Sabiranjem ovih nejednakosti i korišćenjem uslova zadatka:
[dispmath]20x^2+20y^2+2z^2\ge8\left(xy+yz+zx\right)=8\;/:2\\
10x^2+10y^2+z^2\ge4[/dispmath] Jednakost dobijamo ako je [inlmath]x-y=0\;\land\;4x-z=0[/inlmath], a zamenom u tu jednakost dobija se: [inlmath]x=\frac{1}{3}\;\land\;y=\frac{1}{3}\;\land\;z=\frac{4}{3}[/inlmath].