Prvi niz možeš zapisati u obliku
[dispmath]\begin{bmatrix}
f_{n+1}\\
g_{n+1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
f_n\\
g_n
\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}
f_n\\
g_n
\end{bmatrix}.[/dispmath] Zbog toga je
[dispmath]\begin{bmatrix}
f_n\\
g_n
\end{bmatrix}=A^n\begin{bmatrix}
f_0\\
g_0
\end{bmatrix}.[/dispmath] Sada se problem svodi na traženje stepena matrice [inlmath]A[/inlmath], što se može uraditi metodama linearne algebre (suština je da se matrica [inlmath]A[/inlmath] svede na dijagonalnu ili barem trougaonu). Sličan postupak je objašnjen
ovde.
Za drugi niz možeš definisati funkciju
[dispmath]f(x)=\frac{1-4x}{1-6x},[/dispmath] i potražiti privih nekoliko kompozicija [inlmath]f,f\circ f,f\circ f\circ f,\dots[/inlmath]. Tada možeš primetiti da je
[dispmath]f^n(x)=\frac{\alpha_nx+\beta_n}{\gamma_nx+\delta_n}[/dispmath] gde su [inlmath]\alpha_n[/inlmath], [inlmath]\beta_n[/inlmath], [inlmath]\gamma_n[/inlmath] i [inlmath]\delta_n[/inlmath] nizovi definisani rekurentno sa
[dispmath]\begin{matrix}
\alpha_1=-4,\qquad & \alpha_{n+1}=2\alpha_n+2,\\
\beta_1=1,\qquad & \beta_{n+1}=2\beta_n+1,\\
\gamma_1=-6,\qquad & \gamma_{n+1}=2\gamma_n+6,\\
\delta_1=1,\qquad & \delta_{n+1}=2\delta_n+3.
\end{matrix}[/dispmath] Ovo možeš dokazati indukcijom. Dalje je potrebno naći eksplicitne izraze za rekurentne nizove [inlmath]\alpha_n[/inlmath], [inlmath]\beta_n[/inlmath], [inlmath]\gamma_n[/inlmath] i [inlmath]\delta_n[/inlmath]. Taj postupak je objašnjen u postu koji sam gore linkovao.
Međutim, može se zadatak malo elegantnije uraditi. Funkcija [inlmath]f[/inlmath] pripada klasi takozvanih
Mebijusovih transformacija. Mebijusove transformacije su automorfizmi kompleksne projektivne prave [inlmath]\mathsf{P}^1\mathbb{C}[/inlmath]. Grupa svih Mebijusovih transformacija je zapravo projektivna linearna grupa [inlmath]\mathsf{PGL}_2\mathbb{C}[/inlmath], a množenje u ovoj grupi je zapravo množenje matrica. Zbog toga za Mebijusovu transformaciju
[dispmath]f(x)=\frac{Ax+B}{Cx+D},[/dispmath] važi
[dispmath]f^n(x)=\frac{A_nx+B_n}{C_nx+D_n}[/dispmath] gde je
[dispmath]\begin{bmatrix}
A_n & B_n\\
C_n & D_n
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
A & B\\
C & D
\end{bmatrix}^n.[/dispmath] Uostalom, videćeš da se prethodno opisan postupak slaže sa ovim komentarom (ali sada je malo jasnije šta se dešava).