Vektor jačine električnog polja
Poslato: Četvrtak, 29. Oktobar 2020, 21:20
Pozdrav,
E ovako imam problem sa zadacima iz osnova elektrotehnike, u pitanju je određivanje vektora jačine električnog polja. Nadam se da mi neće niko zamjeriti što zadatak nije konkretno iz matematike.
Zadatak glasi:
Veoma dugačka kružna kontura poluprečnika [inlmath]a[/inlmath] ravnomjerno je naelektrisana naelektrisanjem podužne gustine [inlmath]Q'[/inlmath]. Sredina je vazduh. Izvesti izraz za vektor jačine električnog polja na osi konture normalnoj na ravan konture.
E sada, ja imam rješenje ali mi nije baš jasno, pa ako bi mi neko mogao pomoći u otklanjanju nedoumica koje imam.
[dispmath]\mathrm dE=\frac{\mathrm dQ}{4\pi\varepsilon_0r^2}\\
\mathrm dE_x=\mathrm dE\cdot\sin\alpha\\
\mathrm dE_z=\mathrm dE\cdot\cos\alpha\\
\mathrm dQ=Q'\cdot\mathrm dl\\
\sin\alpha=\frac{a}{r}\\
\cos\alpha=\frac{z}{r}\\
\mathrm dE_z=\frac{Q'\cdot\mathrm dl}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot\frac{z}{r}=\frac{Q'\cdot\mathrm dl\cdot z}{4\pi\varepsilon_0r^3}\\
E_z=\int_l\mathrm dE_z=\frac{Q'\cdot z}{4\pi\varepsilon_0r^3}\int_l\mathrm dl=\frac{Q'\cdot z\cdot{\color{red}2\pi a}}{4\pi\varepsilon_0r^3}=\frac{Q'\cdot z\cdot a}{2\varepsilon_0r^3}=\frac{Q'\cdot z\cdot a}{2\varepsilon_0\left(z^2+a^2\right)^\frac{3}{2}}[/dispmath] Konkretno ne razumijem kako se ovo [inlmath]\color{red}2\pi a[/inlmath] dobija ovdje.
Nastavljam dalje:
Ako sa [inlmath]Q[/inlmath] označimo ukupno naelektrisanje [inlmath]Q=Q'\cdot2\pi a[/inlmath] imamo:
[dispmath]E_z=\frac{Q\cdot z}{4\pi\varepsilon_0\left(z^2+a^2\right)^\frac{3}{2}}[/dispmath] Sada treba odrediti i [inlmath]E_x[/inlmath] na sličan način kao i [inlmath]E_z[/inlmath], [inlmath]E_x[/inlmath] bi trebalo da je jednako [inlmath]0[/inlmath], ali nikako to ne uspjevam pokazati.
Za [inlmath]E_x[/inlmath] sam probao ovako:
[dispmath]\mathrm dE_x=\frac{Q'\cdot\mathrm dl}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot\frac{a}{r}=\frac{Q'\cdot\mathrm dl\cdot a}{4\pi\varepsilon_0r^3}\\
E_x=\int_l\mathrm dE_x=\frac{Q'\cdot a}{4\pi\varepsilon_0r^3}\int_l\mathrm dl[/dispmath] I sada ne znam sta dalje trebam uraditi.
Hvala unaprijed!
E ovako imam problem sa zadacima iz osnova elektrotehnike, u pitanju je određivanje vektora jačine električnog polja. Nadam se da mi neće niko zamjeriti što zadatak nije konkretno iz matematike.
Zadatak glasi:
Veoma dugačka kružna kontura poluprečnika [inlmath]a[/inlmath] ravnomjerno je naelektrisana naelektrisanjem podužne gustine [inlmath]Q'[/inlmath]. Sredina je vazduh. Izvesti izraz za vektor jačine električnog polja na osi konture normalnoj na ravan konture.
E sada, ja imam rješenje ali mi nije baš jasno, pa ako bi mi neko mogao pomoći u otklanjanju nedoumica koje imam.
[dispmath]\mathrm dE=\frac{\mathrm dQ}{4\pi\varepsilon_0r^2}\\
\mathrm dE_x=\mathrm dE\cdot\sin\alpha\\
\mathrm dE_z=\mathrm dE\cdot\cos\alpha\\
\mathrm dQ=Q'\cdot\mathrm dl\\
\sin\alpha=\frac{a}{r}\\
\cos\alpha=\frac{z}{r}\\
\mathrm dE_z=\frac{Q'\cdot\mathrm dl}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot\frac{z}{r}=\frac{Q'\cdot\mathrm dl\cdot z}{4\pi\varepsilon_0r^3}\\
E_z=\int_l\mathrm dE_z=\frac{Q'\cdot z}{4\pi\varepsilon_0r^3}\int_l\mathrm dl=\frac{Q'\cdot z\cdot{\color{red}2\pi a}}{4\pi\varepsilon_0r^3}=\frac{Q'\cdot z\cdot a}{2\varepsilon_0r^3}=\frac{Q'\cdot z\cdot a}{2\varepsilon_0\left(z^2+a^2\right)^\frac{3}{2}}[/dispmath] Konkretno ne razumijem kako se ovo [inlmath]\color{red}2\pi a[/inlmath] dobija ovdje.
Nastavljam dalje:
Ako sa [inlmath]Q[/inlmath] označimo ukupno naelektrisanje [inlmath]Q=Q'\cdot2\pi a[/inlmath] imamo:
[dispmath]E_z=\frac{Q\cdot z}{4\pi\varepsilon_0\left(z^2+a^2\right)^\frac{3}{2}}[/dispmath] Sada treba odrediti i [inlmath]E_x[/inlmath] na sličan način kao i [inlmath]E_z[/inlmath], [inlmath]E_x[/inlmath] bi trebalo da je jednako [inlmath]0[/inlmath], ali nikako to ne uspjevam pokazati.
Za [inlmath]E_x[/inlmath] sam probao ovako:
[dispmath]\mathrm dE_x=\frac{Q'\cdot\mathrm dl}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot\frac{a}{r}=\frac{Q'\cdot\mathrm dl\cdot a}{4\pi\varepsilon_0r^3}\\
E_x=\int_l\mathrm dE_x=\frac{Q'\cdot a}{4\pi\varepsilon_0r^3}\int_l\mathrm dl[/dispmath] I sada ne znam sta dalje trebam uraditi.
Hvala unaprijed!