Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEKTORI

Vektorski proizvod dva zbira vektora

[inlmath]\vec a\cdot\vec b=\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|\cdot\cos\angle\left(\vec a,\vec b\right)[/inlmath]

Vektorski proizvod dva zbira vektora

Postod BojanRodic » Četvrtak, 25. Mart 2021, 14:57

Juče sam pomagao drugarici sa matematikom, tačnije sa vektorima, a naišli smo na problem koji nikako nisam mogao da se setim kako se rešava.

Ne sećam se tačno zadatka,
[dispmath]|\vec a|=2\\
|\vec b|=3\\
\angle(\vec a,\vec b)=\frac{\pi}{6}\\
\vec p=2\vec a+\vec b\\
\vec q=\vec a-3\vec b[/dispmath] Recimo da je ovo bio zadatak. Trazi se vektorski proizvod:
[dispmath]\vec p\times\vec q[/dispmath] U rešenju je prikazano da se odradi vektorski proizvod, nakon što se [inlmath]\vec p[/inlmath] i [inlmath]\vec q[/inlmath] zamene za zbirovima, tamo da bude:
[dispmath](2\vec a+\vec b)\times(\vec a-3\vec b)[/dispmath] I nikako ne mogu da se setim kako se to resava. Hvala unapred na pomoći!
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Vektorski proizvod dva zbira vektora

Postod Acim » Četvrtak, 25. Mart 2021, 16:17

Pozdrav,
Vektorski proizvod 2 vektora glasi: [inlmath]\left|a\times b\right|=\:\left|a\right|\cdot\left|b\right|\sin\left(a,b\right)[/inlmath], pri čemu moraš voditi računa o antikomutativnosti (npr ako dobiješ [inlmath]ba[/inlmath] onda im moraš zameniti mesta i treba da bude [inlmath]ab[/inlmath] jer ti je prvo dat ugao [inlmath]a[/inlmath] pa onda [inlmath]b[/inlmath].

Trebalo bi da izgleda ovako:
[dispmath]\left|a\times b\right|=\:\left|\left(2\vec a+\vec b\right)\times\left(\vec a-3\vec b\right)\right|[/dispmath] Dalje dobijamo;
[dispmath]\left|2a^2-6ab-ab-3b^2\right|[/dispmath] Odavde odmah odbaci [inlmath]2a^2[/inlmath] i [inlmath]3b^2[/inlmath] jer je proizvod 2 ista vektora jednak [inlmath]0[/inlmath].

Dalje dobijamo [inlmath]\left|-7ab\right|[/inlmath], i sada primenimo vektorski proizvod;
[inlmath]7\cdot2\cdot3\cdot\sin\frac{\pi}{6}[/inlmath], što je jednako [inlmath]21[/inlmath].

Nadam se da mi je rešenje zadatka tačno, izvinjavam se unapred ako nije, slobodno neka mi neko nagovesti na grešku ako je ima.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 87
Zahvalio se: 43 puta
Pohvaljen: 9 puta

Re: Vektorski proizvod dva zbira vektora

Postod Daniel » Četvrtak, 25. Mart 2021, 19:11

Tačno je rešenje, ali moram korigovati nekoliko stvari oko zapisa i terminologije. :)

Idemo redom,
BojanRodic je napisao:Trazi se vektorski proizvod:
[dispmath]\vec p\times\vec q[/dispmath]

Neće biti da se traži vektorski proizvod [inlmath]\vec p\times\vec q[/inlmath], jer je njega iz raspoloživih podataka nemoguće odrediti, budući da nam [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath] nisu poznati kao vektori, već su nam samo poznati njihovi intenziteti. Ali, to je sasvim dovoljno da možemo naći intenzitet vektorskog proizvoda (što je Acim i radio). Dakle, ne možemo odrediti pravac i smer vektorskog proizvoda [inlmath]\vec p\times\vec q[/inlmath], već samo njegov intenzitet [inlmath]\left|\vec p\times\vec q\right|[/inlmath].

Acim je napisao:Vektorski proizvod 2 vektora glasi: [inlmath]\left|a\times b\right|=\:\left|a\right|\cdot\left|b\right|\sin\left(a,b\right)[/inlmath],

Kao što napisah, ovo nije vektorski proizvod već intenzitet vektorskog proizvoda (pri čemu bi formula bila sasvim korektno zapisana ako bi se vektori obeležili strelicama i ako bi umesto [inlmath]\sin\left(\vec a,\vec b\right)[/inlmath] stajalo [inlmath]\sin\angle\left(\vec a,\vec b\right)[/inlmath]).
Formula za vektorski proizvod glasila bi [inlmath]\vec a\times\vec b=\:\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|\sin\angle\left(\vec a,\vec b\right)\cdot\vec i[/inlmath], gde je [inlmath]\vec i[/inlmath] jedinični vektor koji je normalan na vektore [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath], a smer mu se određuje pravilom desnog zavrtnja od [inlmath]\vec a[/inlmath] do [inlmath]\vec b[/inlmath]. Budući da nam vektori [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath] nisu poznati (već su nam samo poznati njihovi intenziteti), to je pravac i smer vektora [inlmath]\vec i[/inlmath] nemoguće odrediti, a samim tim je nemoguće odrediti i pravac i smer vektorskog proizvoda [inlmath]\vec a\times\vec b[/inlmath], već samo njegov intenzitet.

Acim je napisao:pri čemu moraš voditi računa o antikomutativnosti (npr ako dobiješ [inlmath]ba[/inlmath] onda im moraš zameniti mesta i treba da bude [inlmath]ab[/inlmath] jer ti je prvo dat ugao [inlmath]a[/inlmath] pa onda [inlmath]b[/inlmath].

Da ne bude zabune – ovde se misli na vektorske proizvode [inlmath]\vec a\times\vec b[/inlmath] i [inlmath]\vec b\times\vec a[/inlmath]. Za vektorski proizvod važi antikomutativnost, tj. [inlmath]\vec a\times\vec b=-\vec b\times\vec a[/inlmath].
Kad se napiše samo [inlmath]\vec a\vec b[/inlmath] ili [inlmath]\vec b\vec a[/inlmath] (bez oznake operacije [inlmath]\times[/inlmath]), tada se podrazumeva skalarni proizvod ([inlmath]\vec a\cdot\vec b[/inlmath] ili [inlmath]\vec b\cdot\vec a[/inlmath]), a kod skalarnog proizvoda važi komutativnost: [inlmath]\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a[/inlmath]

Acim je napisao:Trebalo bi da izgleda ovako:
[dispmath]\left|a\times b\right|=\:\left|\left(2\vec a+\vec b\right)\times\left(\vec a-3\vec b\right)\right|[/dispmath] Dalje dobijamo;
[dispmath]\left|2a^2-6ab-ab-3b^2\right|[/dispmath]

Dakle, primenjujemo distributivnost vektorskog množenja u odnosu na sabiranje, isto kao što bismo npr. na algebarski izraz [inlmath](a+b)(c+d)[/inlmath] primenili distributivnost algebarskog množenja u odnosu na algebarsko sabiranje i dobili [inlmath]ac+ad+bc+bd[/inlmath].
Dakle, ispravo zapisano, ovde bismo dobili
[dispmath]\left|2\vec a\times\vec a-6\vec a\times\vec b+\vec b\times\vec a-3\vec b\times\vec b\right|=\\
\left|2\vec a\times\vec a-6\vec a\times\vec b-\vec a\times\vec b-3\vec b\times\vec b\right|=\\
\left|2\vec a\times\vec a-7\vec a\times\vec b-3\vec b\times\vec b\right|[/dispmath]
Acim je napisao:Odavde odmah odbaci [inlmath]2a^2[/inlmath] i [inlmath]3b^2[/inlmath] jer je proizvod 2 ista vektora jednak [inlmath]0[/inlmath].

Ista napomena kao i gore – odbacujemo [inlmath]2\vec a\times\vec a[/inlmath] i [inlmath]3\vec b\times\vec b[/inlmath], jer vektorski proizvod bilo kog vektora sa samim sobom daje nula-vektor. Zapisi [inlmath]2\vec a^2[/inlmath] i [inlmath]3\vec b^2[/inlmath] predstavljali bi skalarne proizvode [inlmath]2\vec a\cdot\vec a[/inlmath] i [inlmath]3\vec b\cdot\vec b[/inlmath], i oni ne bi bili jednaki nuli, jer skalarni proizvod vektora sa samim sobom ne daje nulu (izuzev kad je u pitanju nula-vektor).

Acim je napisao:Dalje dobijamo [inlmath]\left|-7ab\right|[/inlmath], i sada primenimo vektorski proizvod;
[inlmath]7\cdot2\cdot3\cdot\sin\frac{\pi}{6}[/inlmath], što je jednako [inlmath]21[/inlmath].

Naravno, pošto je u pitanju intenzitet koji mora biti nenegativan, minus možemo zanemariti, a sedmicu kao skalar možemo izvući ispred zagrade za intenzitet, tako da [inlmath]\left|-7\vec a\times\vec b\right|[/inlmath] pišemo samo kao [inlmath]7\left|\vec a\times\vec b\right|[/inlmath], a ovo dalje lako izračunamo uvrštavanjem poznatih vrednosti u formulu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8630
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4653 puta
Pohvaljen: 4596 puta

Re: Vektorski proizvod dva zbira vektora

Postod Acim » Četvrtak, 25. Mart 2021, 19:35

Hvala na detaljnom objašnjenju. Taman da i ja usputno naučim nešto novo :D
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 87
Zahvalio se: 43 puta
Pohvaljen: 9 puta


Povratak na VEKTORI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 19. April 2021, 05:20 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs