Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEKTORI

Kolinearnost vektora

[inlmath]\vec a\cdot\vec b=\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|\cdot\cos\angle\left(\vec a,\vec b\right)[/inlmath]

Kolinearnost vektora

Postod Acim » Sreda, 22. Septembar 2021, 17:56

Zdravo,
Zadatak glasi: Za date vektore [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath] diskutovati njihovu kolinearnost.
Dati su vektori: [inlmath]\vec a=\left(\alpha,1,\alpha\right)[/inlmath] i [inlmath]\vec b=\left(1,\alpha,\alpha\right)[/inlmath]
Rešenje je [inlmath]\alpha=1[/inlmath]

Da bi vektori bili kolinearni, potrebno je da budu jednaki nula vektoru [inlmath](0,0,0)[/inlmath] i prvo računamo njihov vektorski proizvod;
[dispmath]\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
\alpha & 1 & \alpha\\
1 & \alpha & \alpha
\end{vmatrix}[/dispmath] Odgovarajućim načinom rešavanja, stigao sam do dela:
[dispmath]\left(\alpha-\alpha^2,\:\alpha-\alpha^2,\:\alpha^2-1\right)=\left(0,\:0,\:0\right)[/dispmath] [inlmath]\alpha-\alpha^2[/inlmath] mi jeste viška, ali u suštini, sva tri sistema treba da budu jednaka [inlmath]0[/inlmath];
[inlmath]\alpha-\alpha^2=0[/inlmath], odakle nam je [inlmath]\alpha=0[/inlmath] i [inlmath]\alpha=1[/inlmath] i imamo da nam je
[dispmath]\alpha^2=1[/dispmath] tj. [inlmath]\alpha=1[/inlmath] ili [inlmath]\alpha=-1[/inlmath].

E sad, zbog čega je jedino tačno rešenje [inlmath]1[/inlmath], a ne i [inlmath]0,-1[/inlmath]? Na koji bih računski način mogao da tačno odredim tačnu vrednost?
Hvala unapred.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 225
Zahvalio se: 124 puta
Pohvaljen: 52 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Kolinearnost vektora

Postod miletrans » Sreda, 22. Septembar 2021, 21:42

Acim je napisao:Da bi vektori bili kolinearni, potrebno je da budu jednaki nula vektoru

Ne treba vektori da budu jednaki nula vektoru nego njihov vektorski proizvod. Pošto si tačno nastavio da rešavaš zadatak, pretpostavljam da je greška terminološke prirode, ali čisto da napomenemo.

Acim je napisao:[dispmath]\left(\alpha-\alpha^2,\:\alpha-\alpha^2,\:\alpha^2-1\right)=\left(0,\:0,\:0\right)[/dispmath]

U ovom redu ti je ključ zašto [inlmath]\alpha=0[/inlmath] nije rešenje. Dobio bi da je traženi vektorski proizvod [inlmath](0,0,-1)[/inlmath]. Slično važi i za [inlmath]\alpha=-1[/inlmath].
Globalni moderator
 
Postovi: 507
Zahvalio se: 51 puta
Pohvaljen: 593 puta

Re: Kolinearnost vektora

Postod Acim » Sreda, 22. Septembar 2021, 23:13

Hvala puno, shvatio sam u potpunosti.

miletrans je napisao:Ne treba vektori da budu jednaki nula vektoru nego njihov vektorski proizvod. Pošto si tačno nastavio da rešavaš zadatak, pretpostavljam da je greška terminološke prirode, ali čisto da napomenemo.

Da, da, na to sam mislio. :)
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 225
Zahvalio se: 124 puta
Pohvaljen: 52 puta

  • +1

Re: Kolinearnost vektora

Postod Daniel » Četvrtak, 23. Septembar 2021, 14:04

Ima još jedna greška terminološke prirode,
Acim je napisao:sva tri sistema treba da budu jednaka [inlmath]0[/inlmath];

Naravno da ovde nemamo tri sistema, već imamo jedan sistem od tri jednačine.
I, naravno da ne može ni sistem da bude jednak [inlmath]0[/inlmath], niti može jednačina da bude jednaka [inlmath]0[/inlmath], već je ispravno reći da je izraz na levoj strani jednačine jednak nuli (pošto na desnoj strani jednačine imamo nulu).

Acim je napisao:[inlmath]\alpha-\alpha^2=0[/inlmath], odakle nam je [inlmath]\alpha=0[/inlmath] i [inlmath]\alpha=1[/inlmath] i imamo da nam je
[dispmath]\alpha^2=1[/dispmath] tj. [inlmath]\alpha=1[/inlmath] ili [inlmath]\alpha=-1[/inlmath].

E sad, zbog čega je jedino tačno rešenje [inlmath]1[/inlmath], a ne i [inlmath]0,-1[/inlmath]?

Pod rešenjem sistema jednačina podrazumevamo ono rešenje koje zadovoljava sve jednačine sistema. Znači, ne ono koje zadovoljava samo neke, već ono koje zadovoljava sve jednačine. Dakle:
  • Da bi jednačina [inlmath]\alpha-\alpha^2=0[/inlmath] bila zadovoljena, [inlmath]\alpha[/inlmath] treba da bude [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath];
  • Da bi jednačina [inlmath]\alpha^2=1[/inlmath] bila zadovoljena, [inlmath]\alpha[/inlmath] treba da bude [inlmath]-1[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath].
Znači – za [inlmath]\alpha=0[/inlmath] biće zadovoljena prva jednačina ali ne i druga; za [inlmath]\alpha=-1[/inlmath] biće zadovoljena druga jednačina ali ne i prva; jedino za [inlmath]\alpha=1[/inlmath] biće zadovoljene obe jednačine, te je to i rešenje sistema.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 8826
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4882 puta
Pohvaljen: 4725 puta


Povratak na VEKTORI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 23. Oktobar 2021, 00:24 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs