Kolinearnost vektora

PostPoslato: Sreda, 22. Septembar 2021, 16:56
od Acim
Zdravo,
Zadatak glasi: Za date vektore [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath] diskutovati njihovu kolinearnost.
Dati su vektori: [inlmath]\vec a=\left(\alpha,1,\alpha\right)[/inlmath] i [inlmath]\vec b=\left(1,\alpha,\alpha\right)[/inlmath]
Rešenje je [inlmath]\alpha=1[/inlmath]

Da bi vektori bili kolinearni, potrebno je da budu jednaki nula vektoru [inlmath](0,0,0)[/inlmath] i prvo računamo njihov vektorski proizvod;
[dispmath]\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
\alpha & 1 & \alpha\\
1 & \alpha & \alpha
\end{vmatrix}[/dispmath] Odgovarajućim načinom rešavanja, stigao sam do dela:
[dispmath]\left(\alpha-\alpha^2,\:\alpha-\alpha^2,\:\alpha^2-1\right)=\left(0,\:0,\:0\right)[/dispmath] [inlmath]\alpha-\alpha^2[/inlmath] mi jeste viška, ali u suštini, sva tri sistema treba da budu jednaka [inlmath]0[/inlmath];
[inlmath]\alpha-\alpha^2=0[/inlmath], odakle nam je [inlmath]\alpha=0[/inlmath] i [inlmath]\alpha=1[/inlmath] i imamo da nam je
[dispmath]\alpha^2=1[/dispmath] tj. [inlmath]\alpha=1[/inlmath] ili [inlmath]\alpha=-1[/inlmath].

E sad, zbog čega je jedino tačno rešenje [inlmath]1[/inlmath], a ne i [inlmath]0,-1[/inlmath]? Na koji bih računski način mogao da tačno odredim tačnu vrednost?
Hvala unapred.

Re: Kolinearnost vektora

PostPoslato: Sreda, 22. Septembar 2021, 20:42
od miletrans
Acim je napisao:Da bi vektori bili kolinearni, potrebno je da budu jednaki nula vektoru

Ne treba vektori da budu jednaki nula vektoru nego njihov vektorski proizvod. Pošto si tačno nastavio da rešavaš zadatak, pretpostavljam da je greška terminološke prirode, ali čisto da napomenemo.

Acim je napisao:[dispmath]\left(\alpha-\alpha^2,\:\alpha-\alpha^2,\:\alpha^2-1\right)=\left(0,\:0,\:0\right)[/dispmath]

U ovom redu ti je ključ zašto [inlmath]\alpha=0[/inlmath] nije rešenje. Dobio bi da je traženi vektorski proizvod [inlmath](0,0,-1)[/inlmath]. Slično važi i za [inlmath]\alpha=-1[/inlmath].

Re: Kolinearnost vektora

PostPoslato: Sreda, 22. Septembar 2021, 22:13
od Acim
Hvala puno, shvatio sam u potpunosti.

miletrans je napisao:Ne treba vektori da budu jednaki nula vektoru nego njihov vektorski proizvod. Pošto si tačno nastavio da rešavaš zadatak, pretpostavljam da je greška terminološke prirode, ali čisto da napomenemo.

Da, da, na to sam mislio. :)

Re: Kolinearnost vektora

PostPoslato: Četvrtak, 23. Septembar 2021, 13:04
od Daniel
Ima još jedna greška terminološke prirode,
Acim je napisao:sva tri sistema treba da budu jednaka [inlmath]0[/inlmath];

Naravno da ovde nemamo tri sistema, već imamo jedan sistem od tri jednačine.
I, naravno da ne može ni sistem da bude jednak [inlmath]0[/inlmath], niti može jednačina da bude jednaka [inlmath]0[/inlmath], već je ispravno reći da je izraz na levoj strani jednačine jednak nuli (pošto na desnoj strani jednačine imamo nulu).

Acim je napisao:[inlmath]\alpha-\alpha^2=0[/inlmath], odakle nam je [inlmath]\alpha=0[/inlmath] i [inlmath]\alpha=1[/inlmath] i imamo da nam je
[dispmath]\alpha^2=1[/dispmath] tj. [inlmath]\alpha=1[/inlmath] ili [inlmath]\alpha=-1[/inlmath].

E sad, zbog čega je jedino tačno rešenje [inlmath]1[/inlmath], a ne i [inlmath]0,-1[/inlmath]?

Pod rešenjem sistema jednačina podrazumevamo ono rešenje koje zadovoljava sve jednačine sistema. Znači, ne ono koje zadovoljava samo neke, već ono koje zadovoljava sve jednačine. Dakle:
  • Da bi jednačina [inlmath]\alpha-\alpha^2=0[/inlmath] bila zadovoljena, [inlmath]\alpha[/inlmath] treba da bude [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath];
  • Da bi jednačina [inlmath]\alpha^2=1[/inlmath] bila zadovoljena, [inlmath]\alpha[/inlmath] treba da bude [inlmath]-1[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath].
Znači – za [inlmath]\alpha=0[/inlmath] biće zadovoljena prva jednačina ali ne i druga; za [inlmath]\alpha=-1[/inlmath] biće zadovoljena druga jednačina ali ne i prva; jedino za [inlmath]\alpha=1[/inlmath] biće zadovoljene obe jednačine, te je to i rešenje sistema.