Hvala

Međutim, može li se prva derivacija (a samim time i druga malo pojednostavniti)? vidio sam od nekih kolega, da su uz [inlmath]\frac{2}{3}[/inlmath] u prvoj derivaciji izlučili i [inlmath]x[/inlmath] na nešto... ?

Može da se [inlmath]x^\frac{1}{3}[/inlmath] i [inlmath]\left(1-x\right)^\frac{1}{3}[/inlmath] iz imenioca izvuče ispred zagrade:
[dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{2}{3}\left[\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}}-\frac{x^\frac{2}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\right][/dispmath][dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{2}{3x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\left[\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}{x^\frac{1}{3}}-\frac{x^\frac{2}{3}x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\right][/dispmath][dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{2}{3x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\left[\left(1-x\right)-x\right][/dispmath][dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{2\left(1-2x\right)}{3x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}[/dispmath]
Ne znam da li si na to mislio? Takođe, nisam siguran ni da će ovo nešto bitnije uprostiti nalaženje 2. izvoda.

Možeš li tačno napisati to što si video kod svojih kolega, ovako možemo samo da nagađamo da li je to to...?

Morat ću točno provjeriti o čemu se tu radi, pa ću se vratiti na to.

Evo sljedećeg pitanja, naime zapeo sam na intervalima monotonosti, ostalo se sredi više manje lako. Imam još nekoliko nedoumica, pa evo:

Zadatak je:
[dispmath]f(x)=\frac{2x^3}{x^2-4}[/dispmath]
Ukratko:

Domena: Svi realni brojevi osim [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath].

Parnost: Neparna funkcija

Nul-točke: [inlmath]x=0[/inlmath]

Asimptote:
V.A. [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath]
K.A. pravac [inlmath]y=2x[/inlmath]

Prvi izvod:
[inlmath]f'(x)=\frac{2x^2\left(x^2-12\right)}{\left(x^2-4\right)^2}[/inlmath]

Sada da točno razjasnimo:

1. [inlmath]2x^2[/inlmath] i nazivnik nam nisu "kandidati" za određivanje ekstrema? Da li je to zato što, kada bi uvrstili bilo koji broj umjesto x-a, bismo dobili broj koji je veći od nule, ili zbog nečeg drugog? Koliko shvaćam, kandidati su samo oni izrazi kod kojih bismo dobili [inlmath]=0[/inlmath] ili [inlmath]<0[/inlmath]? Ako možeš što jednostavnijim, laičkim jezikom objasniti

2. Dakle, kandidat za ekstreme je [inlmath]\left(x^2-12\right)[/inlmath]. Rješavanjem toga uredno dobijemo [inlmath]2\sqrt{3}[/inlmath] i [inlmath]- 2\sqrt{3}[/inlmath] i uvrštavanjem tih brojeva u početnu funkciju dobijemo [inlmath]\pm 6\sqrt{3}[/inlmath]. Što je min, a što max, možemo iščitati (valjda?) iz drugog izvoda, međutim.

3. Naš profesor traži da to iščitamo iz intervala monotonosti, tj. iz one tabele. E sada, kada idem raditi tabelu, što su mi sve kandidati za unos parametara iz prvog izvoda? Očito je da to više nije samo [inlmath]\left(x^2-12\right)[/inlmath], nego što sve? Znam da zamaram, ali ako ti molim te ne bi bio problem napraviti tu tabelu, da vidim točno gdje griješim. U nju sam unio točke koje se dobiju iz [inlmath]x^2-12[/inlmath] i [inlmath]x^2-4[/inlmath].
Dobijem da funkcija
raste od [inlmath]\left<-\infty,2\sqrt{3}\right>[/inlmath],
zatim od [inlmath]\left<2\sqrt{3},-2\right>[/inlmath] pada.
E sada, od [inlmath]\left<-2,2\right>[/inlmath] funkcija mi raste jer imam dva minusa (što daje plus), međutim ona i u tom intervalu treba padati. Dakle, negdje griješim.
Od [inlmath]\left<2,2\sqrt{3}\right>[/inlmath] mi opet pada (imam [inlmath]-[/inlmath] i [inlmath]+[/inlmath])
i [inlmath]\left<2\sqrt{3},+\infty\right>[/inlmath] opet raste.

Infleksiju sam ispravno odredio.

Nadam se da je jasno ono što mi je nejasno

eseper je napisao:1. [inlmath]2x^2[/inlmath] i nazivnik nam nisu "kandidati" za određivanje ekstrema? Da li je to zato što, kada bi uvrstili bilo koji broj umjesto x-a, bismo dobili broj koji je veći od nule, ili zbog nečeg drugog? Koliko shvaćam, kandidati su samo oni izrazi kod kojih bismo dobili [inlmath]=0[/inlmath] ili [inlmath]<0[/inlmath]? Ako možeš što jednostavnijim, laičkim jezikom objasniti

[inlmath]2x^2[/inlmath] je uvek pozitivno (ili nula), jer je to neka vrednost dignuta na kvadrat. Isto važi i za nazivnik, [inlmath]\left(x^2-4\right)^2[/inlmath]. Pošto su uvek nenegativni, nisu nam „zanimljivi“ (je l' ovo dovoljno narodski? ) Znači, znak prvog izvoda će biti isti kao i znak faktora [inlmath]\left(x^2-12\right)[/inlmath]. Kada je [inlmath]\left(x^2-12\right)[/inlmath] pozitivan, prvi izvod će biti pozitivan i obratno.
Ne razumem šta ti je ono [inlmath]x-a[/inlmath]? U izrazu nigde ne figuriše nikakav parametar [inlmath]a[/inlmath].

eseper je napisao:2. Dakle, kandidat za ekstreme je [inlmath]\left(x^2-12\right)[/inlmath]. Rješavanjem toga uredno dobijemo [inlmath]2\sqrt{3}[/inlmath] i [inlmath]- 2\sqrt{3}[/inlmath] i uvrštavanjem tih brojeva u početnu funkciju dobijemo [inlmath]\pm 6\sqrt{3}[/inlmath]. Što je min, a što max, možemo iščitati (valjda?) iz drugog izvoda, međutim.

3. Naš profesor traži da to iščitamo iz intervala monotonosti, tj. iz one tabele. E sada, kada idem raditi tabelu, što su mi sve kandidati za unos parametara iz prvog izvoda? Očito je da to više nije samo [inlmath]\left(x^2-12\right)[/inlmath], nego što sve? Znam da zamaram, ali ako ti molim te ne bi bio problem napraviti tu tabelu, da vidim točno gdje griješim. U nju sam unio točke koje se dobiju iz [inlmath]x^2-12[/inlmath] i [inlmath]x^2-4[/inlmath].

E, pa ne treba ti [inlmath]x^2-4[/inlmath], jer nam u prvom izvodu figuriše taj izraz ali kvadriran, pa kao što rekoh, on će uvek biti pozitivan (nenegativan, tačnije) i neće uticati na znak izvoda. Znači, još jednom, određivanje znaka prvog izvoda svodimo samo na određivanje znaka faktora [inlmath]x^2-12[/inlmath].
Faktor [inlmath]x^2-12[/inlmath] predstavlja kvadratnu funkciju, a znamo kako izgleda oblik kvadratne funkcije, tj. parabole. Njene nule smo već odredili, [inlmath]-2\sqrt 3[/inlmath] i [inlmath]2\sqrt 3[/inlmath], [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena će biti [inlmath]x=0[/inlmath], to se lako odredi. Za tabelu je dovoljno da unesemo ove tri [inlmath]x[/inlmath]-koordinate, zatim koordinate dve tačke koje su između svake od nula i temena, kao i koordinate dve tačke koje su izvan intervala određenog nulama funkcije:

[dispmath]\phantom{000000}x\phantom{000000}[/dispmath]	[dispmath]\phantom{0}-4\phantom{0}[/dispmath]	[dispmath]\phantom{0}-2\sqrt 3\phantom{0}[/dispmath]	[dispmath]-1[/dispmath]	[dispmath]0[/dispmath]	[dispmath]1[/dispmath]	[dispmath]\phantom{0}2\sqrt 3\phantom{0}[/dispmath]	[dispmath]\phantom{00}4\phantom{00}[/dispmath]
[dispmath]{y=x^2-12}[/dispmath]	[dispmath]4[/dispmath]	[dispmath]0[/dispmath]	[dispmath]\phantom{0}-11\phantom{0}[/dispmath]	[dispmath]\phantom{0}-12\phantom{0}[/dispmath]	[dispmath]\phantom{0}-11\phantom{0}[/dispmath]	[dispmath]0[/dispmath]	[dispmath]4[/dispmath]

I iz ove tabele se sasvim lepo vidi da će prvi izvod biti veći od nule u intervalu [inlmath]\left(-\infty,-2\sqrt 3\right)[/inlmath] (tj. u tom intervalu će funkcija rasti), zatim će u intervalu [inlmath]\left(-2\sqrt 3,2\sqrt 3\right)[/inlmath] opadati, jer je tada prvi izvod negativan, da bi opet krenula da raste u intervalu [inlmath]\left(2\sqrt 3,+\infty\right)[/inlmath].

eseper je napisao:Dobijem da funkcija
raste od [inlmath]\left<-\infty,2\sqrt{3}\right>[/inlmath],
zatim od [inlmath]\left<2\sqrt{3},-2\right>[/inlmath] pada.
E sada, od [inlmath]\left<-2,2\right>[/inlmath] funkcija mi raste jer imam dva minusa (što daje plus), međutim ona i u tom intervalu treba padati. Dakle, negdje griješim.

Pa da, kao što sam ti i rekô, greška ti je bila to što si razmatrao i faktor [inlmath]x^2-4[/inlmath], iako on ne treba da se razmatra, jer je kvadriran, pa je, kao takav, uvek pozitivan (ili nula).

eseper je napisao:Od [inlmath]\left<2,2\sqrt{3}\right>[/inlmath] mi opet pada (imam [inlmath]-[/inlmath] i [inlmath]+[/inlmath])
i [inlmath]\left<2\sqrt{3},+\infty\right>[/inlmath] opet raste.

Infleksiju sam ispravno odredio.

Nadam se da je jasno ono što mi je nejasno

Kristalno jasno. Nadam se da je i tebi jasno ovo moje pisanije.

E, ali vidi što stoji u rješenjima. Zato mi i nije jasno!

Intervali monotonosti: Funkcija je rastuća [inlmath]\left<-\infty,-2\sqrt 3\right>\cup\left<2\sqrt 3,+\infty\right>[/inlmath], a padajuća [inlmath]\left<-2\sqrt 3,-2\right>\cup\left<-2,2\right>\cup\left<2,2\sqrt 3\right>[/inlmath].

Službeno rješenje zadatka se nalazi na ovom linku, 30. pod 4.

x-a je riječ iks ([inlmath]x[/inlmath]) u genitivu, pa sam dodao nastavak. Ali, to nije pametno pa ću ubuduće izbjegavati

eseper je napisao:E, ali vidi što stoji u rješenjima. Zato mi i nije jasno!

Intervali monotonosti: Funkcija je rastuća [inlmath]\left<-\infty,-2\sqrt 3\right>\cup\left<2\sqrt 3,+\infty\right>[/inlmath], a padajuća [inlmath]\left<-2\sqrt 3,-2\right>\cup\left<-2,2\right>\cup\left<2,2\sqrt 3\right>[/inlmath].

Da, to njihovo rešenje je preciznije napisano, jer uzima u obzir i prekidne tačke [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], tj. izuzima ih iz intervala, budući da u njima funkcija nije ni definisana.

eseper je napisao:x-a je riječ iks ([inlmath]x[/inlmath]) u genitivu, pa sam dodao nastavak. Ali, to nije pametno pa ću ubuduće izbjegavati

Hahhaaha, pazi kad mi to nikad ne bi palo na pamet, moj matematikom ispran mozak je to uporno percipirao kao binom [inlmath]x-a[/inlmath].
Znaš kako možeš, [inlmath]x[/inlmath] uokviriš Latex-tagovima, a „a“ ostaviš izvan tagova, onda se već dâ naslutiti da se radi o genitivu: [inlmath]x[/inlmath]-a

Mada je najbolje bez genitiva... Kažeš, lepo – uvrstimo umesto [inlmath]x[/inlmath]... I sve je savršeno jasno.

Ok, sada mogu reći da mi je ovaj dio kristalno jasan

Znači, u tablicu stavljamo samo onaj dio (dijelove) iz kojih smo dobili ekstreme. Pritom, još bi zgodnije bilo, nakon što iscrtamo tablicu, pogledati natrag u područje definicije i izuzeti točke u kojima funkcija nije definirana.

Hvala!