Horizontalne asimptote:

Leva:
[dispmath]\lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\to -\infty}\ln\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}=\ln\frac{-4}{-1}=\ln 4=\ln 2^2=2\ln 2[/dispmath]
Desna
[dispmath]\lim_{x\to +\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\to +\infty}\ln\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}=\lim_{x\to +\infty}\ln\left(e^x\cdot\frac{e^{2x}-4}{e^{2x}-e^x}\right)=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to +\infty}\ln\left(e^x\cdot\frac{1-\frac{4}{e^{2x}}}{1-\frac{1}{e^x}}\right)=\lim_{x\to +\infty}\ln e^x=\lim_{x\to +\infty}x=+\infty[/dispmath]
Kosa desna:
[dispmath]n\mathop=^\mathrm{def}\lim_{x\to +\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln\left(e^x\cdot\frac{e^x-\frac{4}{e^x}}{e^x-1}\right)}{x}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln e^x+\ln\frac{e^x-\frac{4}{e^x}}{e^x-1}}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x+\ln\frac{1-\frac{4}{e^{2x}}}{1-\frac{1}{e^x}}}{x}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{\ln\frac{1-\frac{4}{e^{2x}}}{1-\frac{1}{e^x}}}{x}\right)=\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{\ln 1}{x}\right)=\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{0}{x}\right)=1[/dispmath][dispmath]k\mathop=^\mathrm{def}\lim_{x\to +\infty}\left[f\left(x\right)-kx\right]=\lim_{x\to +\infty}\left[\ln\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}-x\right]=\lim_{x\to +\infty}\left[\ln\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}-\ln e^x\right]=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to +\infty}\left[\ln\frac{1}{e^x}\cdot\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}\right]=\lim_{x\to +\infty}\left[\ln\frac{e^{2x}-4}{e^{2x}-e^x}\right]=\lim_{x\to +\infty}\left[\ln\frac{1-\frac{4}{e^{2x}}}{1-\frac{1}{e^x}}\right]=\ln 1=0[/dispmath]
Dakle, funkcija u [inlmath]+\infty[/inlmath] teži pravoj [inlmath]y=x[/inlmath]

eseper je napisao:Jao puca mi glava od matematike

Ajde ne qkaj kako ćeš tek kad bude ispit.

Zašto nema vertikalnih asimptota?

Mislim da sam već pitao, ali ako nisam: kada tražimo odvojeno lijevu i desnu h.a., a kada zajedno? Ima li nekog univerzalnog pravila?

eseper je napisao:Zašto nema vertikalnih asimptota?

Pa, nema ih, tj, nisam ih rešavao, jer si bio napisao da si njih već rešio, tako da sam ti radio postupak samo za horizontalne i za kose. Ako hoćeš, mogu i za vertikalne.

eseper je napisao:Mislim da sam već pitao, ali ako nisam: kada tražimo odvojeno lijevu i desnu h.a., a kada zajedno? Ima li nekog univerzalnog pravila?

Da, pitao si ovde.

Daniel je napisao:

eseper je napisao:Još jedno pitanje za horizontalnu asimptotu. Primjetio sam da nekad računamo desnu i lijevu zajedno ([inlmath]\pm\infty[/inlmath]), a nekad treba odvojeno prvo lijevu pa desnu ili obrnuto. O čemu to ovisi? Pretpostavljam da je vezano nešto uz vertikalnu...

Ne, nema to veze s vertikalnim asimptotama. U principu bi uvek trebalo raditi posebno za levu a posebno za desnu horizontalnu asimptotu, osim kada je baš očigledno da je funkcija parna (tj. da joj je grafik simetričan u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu, tj. da važi [inlmath]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/inlmath]). Tada je očigledno da i leva i desna horizontalna asimptota moraju biti jednake, pa je dozvoljeno računati ih zajedno, jednim limesom koji teži [inlmath]\pm\infty[/inlmath].

Da, napravio sam vertikalne. Počeo sam zadatak raditi iz početka pa mi je zato bilo čudno

E, da, to je to

OK, treba da se dobiju dve vertikalne asimptote
[dispmath]\lim_{x\to 0^-}f\left(x\right)=+\infty[/dispmath]
i
[dispmath]\lim_{x\to \left(\ln 2\right)^+}f\left(x\right)=-\infty[/dispmath]
Si tako dobio?

Jesam

Evo jednog primjera koji je bio jednoj studijskog grupi.
[dispmath]f\left(x\right)=\ln\frac{x^2-7x+12}{x^2-3x+2}[/dispmath]
Imam samo jedno pitanje za domenu.

Postavimo sljedeće uvjete:
1. naz mora biti različit od nule
2. brojnik i nazivnik moraju biti veći od nule
3. brojnik i nazivnik moraju biti manji od nule

riješimo to i dobijemo domenu?

ostalo ću pokušati sam kasnije

eseper je napisao:Postavimo sljedeće uvjete:
1. naz mora biti različit od nule
2. brojnik i nazivnik moraju biti veći od nule
3. brojnik i nazivnik moraju biti manji od nule

riješimo to i dobijemo domenu?

E samo pazi, ne moraju (niti uopšte i mogu) sva tri uslova biti zadovoljena.
Potrebno je da bude zadovoljen 1. uslov i jedan od uslova 2. ili 3.
Ili, logičkom notacijom,
[dispmath]1.\land\left(2.\lor 3.\right)[/dispmath]
tj.
[dispmath]\left(x^2-3x+2\ne 0\right)\;\land\;\left\{\left[\left(x^2-7x+12>0\right)\;\land\;\left(x^2-3x+2>0\right)\right]\;\lor\;\left[\left(x^2-7x+12<0\right)\;\land\;\left(x^2-3x+2<0\right)\right]\right\}[/dispmath]
Naravno, vidi se da, kada je zadovoljen jedan od uslova 2. ili 3. tada je automatski zadovoljen i uslov 1. tj.
[dispmath]1.\land\left(2.\lor 3.\right)\;\Leftrightarrow\;\left(2.\lor 3.\right)[/dispmath]
ali ipak sve ovo pišemo detaljno, radi principa kako se postavljaju uslovi za određivanje domena.

Ako mi nije dobra domena, ode sve k vragu.

1. Domena
[inlmath]x\in\left<-\infty,1\right>\cup\left<2,3\right]\cup\left[4,+\infty\right>[/inlmath]

2. N.T
[inlmath]\frac{5}{2}[/inlmath]

3. Odsječak na [inlmath]y[/inlmath]-osi
[inlmath]y=\ln 6[/inlmath]

4. Asimptote
V.A.
[inlmath]x\to 1-\;\dots +\infty[/inlmath]
[inlmath]x\to 1+\;\dots +\infty[/inlmath]
[inlmath]x=1[/inlmath] je obostrana v.a.

Isto se dobije i za dvojku, pa je i ona obostrana v.a.

H.A.
[inlmath]y=0[/inlmath]


Ako je točno, nije problem nacrtat

eseper je napisao:Ako mi nije dobra domena, ode sve k vragu.

Ne mogu reći da je pogrešna, ali nije baš ni sasvim ispravna, zato što:

eseper je napisao:1. Domena
[inlmath]x\in\left<-\infty,1\right>\cup\left<2,3\right]\cup\left[4,+\infty\right>[/inlmath]

Nigde ne treba da imaš zatvorene intervale. Funkcija nije definisana ni u tačkama [inlmath]3[/inlmath] ni [inlmath]4[/inlmath], pa ne znam odakle tu zatvoren interval?
Znači, treba sve tako kako si napisao, samo s oblim ili izlomljenim zagradama, umesto uglastim.

eseper je napisao:2. N.T
[inlmath]\frac{5}{2}[/inlmath]

eseper je napisao:3. Odsječak na [inlmath]y[/inlmath]-osi
[inlmath]y=\ln 6[/inlmath]

eseper je napisao:4. Asimptote
V.A.
[inlmath]x\to 1-\;\dots +\infty[/inlmath]

eseper je napisao:[inlmath]x\to 1+\;\dots +\infty[/inlmath]
[inlmath]x=1[/inlmath] je obostrana v.a.

Pa, nije. Lepo si za domen napisao da u intervalu od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]2[/inlmath] funkcija nije definisana, prema tome, u toj oblasti ne može imati ni asimptote.

eseper je napisao:Isto se dobije i za dvojku, pa je i ona obostrana v.a.

Nije ni ona, iz istog razloga koji sam malopre napisao. Postoji asimptota samo za [inlmath]x\to 2^+[/inlmath]

eseper je napisao:H.A.
[inlmath]y=0[/inlmath]

Tačno, i za levu i za desnu.

I sad vidim... Nisi uradio V.A. za [inlmath]x=3[/inlmath] i za [inlmath]x=4[/inlmath], a treba i to, budući da su i te tačke prekidne.