MATEMANIJA

[dispmath]f(x)=xe^\frac{-1}{x}[/dispmath]
Domena: svi realni brojevi osim nule.
Nultočke: nema
Asimptote:
V.A. [inlmath]x=0[/inlmath] s lijeve strane
H.A. nema
K.A. [inlmath]y=x[/inlmath]
Lokalni ekstremi: [inlmath]T_\mbox{max}(-1,-e)[/inlmath]
Točke infleksije: nema

Ako sam sve dobro uradio (što se nadam), graf ove funkcije bi trebao biti "podijeljen" na dva dijela. Lijevo od nule je konveksan, a desno konkavan...

Ispravci?

Sve ti je tačno osim kosih...

Ja i asimptote -.-

Može li postupak? Isto dobijam...

Za obe kose asimptote, i levu i desnu, našao si da je [inlmath]k=1[/inlmath]. To je OK.
Ali, [inlmath]n[/inlmath] nije nula, [inlmath]n[/inlmath] je jednako [inlmath]-1[/inlmath]. I za levu i za desnu.
A evo i postupka.
[dispmath]n\mathop=^{\mathrm{def}}\lim_{n\to\pm\infty}\left[f\left(x\right)-kx\right]=\lim_{n\to\pm\infty}\left(xe^{-\frac{1}{x}}-x\right)=[/dispmath][dispmath]=\lim_{n\to\pm\infty}x\left(e^{-\frac{1}{x}}-1\right)=\lim_{n\to\pm\infty}\frac{e^{-\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}=-\lim_{n\to\pm\infty}\frac{e^{-\frac{1}{x}}-1}{-\frac{1}{x}}[/dispmath]
Pa je to sad onaj poznati oblik, koji smo ranije radili, koji se može rešiti bilo svođenjem na izraz koji teži ka [inlmath]e[/inlmath], bilo l'Hopital-ovim pravilom...
[dispmath]n=-\lim_{n\to\pm\infty}\frac{e^{-\frac{1}{x}}-1}{-\frac{1}{x}}=-\lim_{n\to\pm\infty}\frac{e^{-\frac{1}{x}}-1}{\ln e^{-\frac{1}{x}}}=[/dispmath][dispmath]=-\lim_{n\to\pm\infty}\frac{1}{\frac{1}{e^{-\frac{1}{x}}-1}\ln\left(1+e^{-\frac{1}{x}}-1\right)}=-\lim_{n\to\pm\infty}\frac{1}{\ln\left(1+e^{-\frac{1}{x}}-1\right)^\frac{1}{e^{-\frac{1}{x}}-1}}[/dispmath]
Pošto je [inlmath]\lim\limits_{n\to\pm\infty}\frac{1}{x}[/inlmath] i za [inlmath]-\infty[/inlmath] i za [inlmath]+\infty[/inlmath] jednak i iznosi nula, to će i ceo dobijeni izraz biti jednak i kada [inlmath]n\to-\infty[/inlmath] i kada [inlmath]n\to+\infty[/inlmath] i biće
[dispmath]n=-\frac{1}{\ln e}[/dispmath][dispmath]n=-1[/dispmath]
Prema tome, obe kose asimptote, i leva i desna, biće [inlmath]x-1[/inlmath].

Hvala