MATEMANIJA

Potrebna mi je pomoć oko ispitivanja sledeće funkcije:
[dispmath]f(x)=\frac{1+\ln|x|}{x(1-\ln|x|)}[/dispmath]
Osobine koje ispitujem su: domen, parnost, nule, asimptote, ekstremi i prevojne tačke.

1. [inlmath]x\neq0,\;x\neq -e,\;x\neq e[/inlmath]
2. [inlmath]f(x)[/inlmath] nije ni parna ni neparna
3. [inlmath]f(x)[/inlmath] ima nule: [inlmath]A\left(\frac{-1}{e},0\right),\;B\left(\frac{1}{e},0\right)[/inlmath]
4.
4.1. V.A.

[inlmath]\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\\
\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=-\infty[/inlmath]

Ovo bi, prema grafiku trebala biti jedina vertikala asimptota,
[inlmath]\lim\limits_{x\to e^+}f(x)=+\infty[/inlmath]
[inlmath]\lim\limits_{x\to e^-}f(x)=+\infty[/inlmath]
Isto vredi za [inlmath]-e[/inlmath]

Je li ovo tačno?

4.2. H.A

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}f(x)[/inlmath]
Kako naći horizontalnu asimptotu? Da li je potrebno upotrebiti Lopitalovo pravilo?

4.3 K.A.

[inlmath]k=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\\
n=\lim\limits_{x\to\infty}\big(f(x)-kx\big)[/inlmath]

Nekako dobijam da je [inlmath]k=0,\;n=\infty[/inlmath], što pretpostavljam da nije tačno.

Što se tiče prvog izvoda [inlmath]\ln|x|[/inlmath], da li se on razlikuje od izvoda [inlmath]\ln(x)[/inlmath], odnosno da li se posmatra kao izvod složene funkcije?

Hvala.

Ova funkcija je neparna.
Apsolutna vrednost "jede" minus, a minus od onog dole [inlmath]x[/inlmath] istrči ispred tako da je [inlmath]f(-x)=-f(x)[/inlmath].
Toliko za sada.

Prva vertkalna asimptota je ok, ali si zamenio plus i minus beskonačnost:
[dispmath]\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\\
\lim_{x\to0^-}f(x)=+\infty[/dispmath]

Pazi na ovakve stvari:

display_error je napisao:[inlmath]\lim\limits_{x\to e^+}f(x)=+\infty[/inlmath]

Nije ti ovo dobro. Naime:
[dispmath]\lim\limits_{x\to e^+}\frac{1+\ln|x|}{x(1-\ln|x|)}=-\infty[/dispmath]
Ja to i bez računa gledam ovako: u brojiocu je nešto malo preko [inlmath]2[/inlmath] kada menjam [inlmath]e^+[/inlmath] a u imeniocu je "negativna nula" jer je [inlmath]\ln\left|e^+\right|[/inlmath] nešto malo veće od [inlmath]1[/inlmath].
A onda je "pozitivna konstanta kroz negativna nula" zapravo minus beskonačnost.

display_error je napisao:[inlmath]\lim\limits_{x\to e^+}f(x)=+\infty[/inlmath]
[inlmath]\lim\limits_{x\to e^-}f(x)=+\infty[/inlmath]
Isto vredi za [inlmath]-e[/inlmath]

Kako izgleda V.A. za [inlmath]-e[/inlmath], videćeš na osnovu podatka da je funkcija neparna (tj. simetrična u odnosu na koordinatni početak), čim prethodno ispravno odrediš V.A. za [inlmath]+e[/inlmath] (kako ti je Desideri i pokazao).

display_error je napisao:4.2. H.A

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}f(x)[/inlmath]
Kako naći horizontalnu asimptotu? Da li je potrebno upotrebiti Lopitalovo pravilo?

Može i l'Hôpitalovim pravilom, ali nema potrebe. Uoči da, kada [inlmath]x\to\pm\infty[/inlmath], tada [inlmath]\ln\left|x\right|\to+\infty[/inlmath]. Izvuci [inlmath]\ln\left|x\right|[/inlmath] ispred brojioca i ispred imenioca i pokrati ga gore i dole...

display_error je napisao:4.3 K.A.

[inlmath]k=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\\
n=\lim\limits_{x\to\infty}\big(f(x)-kx\big)[/inlmath]

Nekako dobijam da je [inlmath]k=0,\;n=\infty[/inlmath], što pretpostavljam da nije tačno.

Kosu asimptotu određuješ tek kad se prethodno uveriš da ne postoji horizontalna asimptota. Ako, ipak, kreneš da radiš kosu, a da pri tome horizontalna postoji, sigurno ćeš dobiti [inlmath]k=0[/inlmath] (jer za [inlmath]k=0[/inlmath] kosa asimptota, zapravo, postaje horizontalna, logično?)
Takođe, za [inlmath]k=0[/inlmath], izraz za nalaženje [inlmath]n[/inlmath], koji glasi [inlmath]n=\lim\limits_{n\to\pm\infty}\left[f\left(x\right)-kx\right][/inlmath], svodi se na izraz za horizontalnu asimptotu: [inlmath]\lim\limits_{n\to\pm\infty}\left[f\left(x\right)-0\cdot x\right]=\lim\limits_{n\to\pm\infty}f\left(x\right)[/inlmath].
E, u ovom zadatku postoje obe horizontalne asimptote, tako da je očekivano da ćeš, ako određuješ kose, dobiti [inlmath]k=0[/inlmath]. Međutim, [inlmath]n=\infty[/inlmath] ti je pogrešno. Da si našao ispravno [inlmath]n[/inlmath] (kao konačnu vrednost), to bi značilo i da si našao horizontalnu asimptotu. Ako hoćeš, pokaži nam kako si dobio [inlmath]n=\infty[/inlmath], kako bismo ti ukazali na grešku.

display_error je napisao:Što se tiče prvog izvoda [inlmath]\ln|x|[/inlmath], da li se on razlikuje od izvoda [inlmath]\ln(x)[/inlmath], odnosno da li se posmatra kao izvod složene funkcije?

[dispmath]\left|x\right|=\begin{cases}
x, & x\ge0\\
-x, & x<0
\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\ln\left|x\right|=\begin{cases}
\ln x, & x>0\\
\ln\left(-x\right), & x<0
\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\left(\ln\left|x\right|\right)'=\begin{cases}
\frac{1}{x}, & x>0\\
\frac{1}{x}, & x<0
\end{cases}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\left(\ln\left|x\right|\right)'=\frac{1}{x},\quad x\ne0[/dispmath]
Dakle – za [inlmath]x>0[/inlmath], funkcije [inlmath]\ln\left|x\right|[/inlmath] i [inlmath]\ln x[/inlmath] su identične, pa se ni njihovi izvodi ne razlikuju; za [inlmath]x<0[/inlmath], funkcija [inlmath]\ln x[/inlmath] nije definisana, pa samim tim ni njen izvod, ali je definisana funkcija [inlmath]\ln\left|x\right|[/inlmath], a njen izvod iznosi [inlmath]\frac{1}{x}[/inlmath], isto kao i za funkciju [inlmath]\ln x[/inlmath] za [inlmath]x>0[/inlmath].

Međutim, ne moraš se zamarati ovime – zbog neparnosti funkcije u ovom zadatku, tj. njene simetričnosti u odnosu na koordinatni početak, dovoljno ti je da odrediš ekstreme i prevojne tačke na pozitivnom intervalu, [inlmath]\left(0,+\infty\right)[/inlmath] (nulu namerno ne ubrajam, jer si već ispravno konstatovao da nula ne spada u domen ove funkcije). Kad odrediš ekstreme i prevojne tačke na tom intervalu, simetrično u odnosu na koordinatni početak nalaziće se i ekstremi i prevojne tačke i na intervalu [inlmath]\left(-\infty,0\right)[/inlmath].

Sve ono na šta ti Desideri i ja nismo skrenuli pažnju – tačno si odradio.