MATEMANIJA

Uskoro imam pismeni zadatak i hteo bih da proverim sebe, radi se o realnim funkcijama.
Ja cu pokazati kako ja radim, a vi proverite, ako imate savete i upustva podelite ih
[dispmath]y=\frac{x^2-5x+7}{x-2}[/dispmath]
[inlmath]1.[/inlmath] Odrediti domen funkcije
[dispmath]x-2\ne0\\
x\ne2[/dispmath]
[inlmath]2.[/inlmath] Ispitati (ne)parnost funckije
[dispmath]f\left(x\right)=\frac{x^2-5x+7}{x-2}\\
f\left(-x\right)=\frac{\left(-x\right)^2-5\left(-x\right)+7}{\left(-x\right)-2}=\frac{x^2+5x+7}{-x-2}\;\Rightarrow\;f\left(x\right)\ne f\left(-x\right)\\
-f\left(x\right)=-\frac{x^2-5x+7}{x-2}=\frac{-x^2+5x-7}{x-2}\;\Rightarrow\;-f\left(x\right)\ne f\left(-x\right)[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow[/inlmath] funkcija nije ni parna ni neparna.

[inlmath]3.[/inlmath] Asimptote
Vertikalna asimptota
[dispmath]\lim_{x\to2_+}\frac{x^2-5x+7}{x-2}=\frac{1}{0_+}=+\infty[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow\;x=2[/inlmath] je vertikalna asimptota.

Horizontalna asimptota
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-5x+7}{x-2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x-5+\frac{7}{x}}{1-\frac{2}{x}}=\frac{\infty}{1}=\infty[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow[/inlmath] nema horizontalnih asimptota.

Kosa asimptota
[dispmath]k=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^2-5x+7}{x-2}}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-5x+7}{x^2-2x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{5}{x}+\frac{7}{x^2}}{1-\frac{2}{x}}=\frac{1}{1}=1\\
\Rightarrow\;k=1\\
n=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^2-5x+7}{x-2}-x\right]=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^2-5x+7-x\left(x-2\right)}{x-2}\right]=\\
=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-5x+7-x^2+2x}{x-2}=\lim_{x\to\infty}\frac{-3x+7}{x-2}=\lim_{x\to\infty}\frac{-3+\frac{7}{x}}{1-\frac{2}{x}}=-3\\
\Rightarrow\;n=-3[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow\;y=x-3[/inlmath] je kosa asimptota.

[inlmath]4.[/inlmath] Granicne vrednosti
[dispmath]\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-5x+7}{x-2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{5}{x}+\frac{7}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=\frac{1}{0_+}=+\infty\\
\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2-5x+7}{x-2}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1-\frac{5}{x}+\frac{7}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=\frac{1}{0_-}=-\infty\\
\lim_{x\to2_+}\frac{x^2-5x+7}{x-2}=\frac{1}{0_+}=+\infty\\
\lim_{x\to2_-}\frac{x^2-5x+7}{x-2}=\frac{1}{0_-}=-\infty[/dispmath]
[inlmath]5.[/inlmath] Prvi izvod
[dispmath]y=\frac{x^2-5x+7}{x-2}\;\Rightarrow\;y'=\frac{\left(x^2-5x+7\right)'\left(x-2\right)-\left(x^2-5x+7\right)\left(x-2\right)'}{\left(x-2\right)^2}=\\
=\frac{\left(2x-5\right)\left(x-2\right)-\left(x^2-5x+7\right)}{\left(x-2\right)^2}=\frac{2x^2-4x-5x+10-x^2+5x-7}{\left(x-2\right)^2}=\frac{x^2-4x+3}{\left(x-2\right)^2}\\
y'=\frac{x^2-4x+3}{\left(x-2\right)^2}[/dispmath]
[inlmath]6.[/inlmath] Stacionarne tacke
[dispmath]y'=0\;\Rightarrow\;\frac{x^2-4x+3}{\left(x-2\right)^2}=0\\
\Rightarrow\;\left(x-2\right)^2\ne0\\
\Rightarrow\;x^2-4x+3=0\\
D=4\\
x_1=3\\
x_2=1[/dispmath]
[inlmath]7.[/inlmath] Ekstremne vrednosti
[dispmath]y_1=f\left(x_1\right)=\frac{3^2-15+7}{3-2}=\frac{1}{1}=1\\
\Rightarrow\;y_1=1\\
y_2=f\left(x_2\right)=\frac{1-5+7}{1-2}=-\frac{3}{1}=-3\\
\Rightarrow\;y_2=-3\\
f\left(x\right)\nearrow x\in\left(-\infty,1\right)\cup\left(3,+\infty\right)\\
f\left(x\right)\searrow x\in\left(1,3\right)\\
\max\left(1,-3\right)\\
\min\left(3,1\right)[/dispmath]
[inlmath]8.[/inlmath] Drugi izvod
[dispmath]y'=\frac{x^2-4x+3}{\left(x-2\right)^2}\;\Rightarrow\;y''=\frac{\left(x^2-4x+3\right)'\left(x-2\right)^2-\left(x^2-4x+3\right)\left(\left(x-2\right)^2\right)'}{\left(x-2\right)^4}=\\
=\frac{\left(2x-4\right)\left(x-2\right)^2-\left(x^2-4x+3\right)\left(2x-4\right)}{\left(x-2\right)^4}=\frac{\left(2x-4\right)\left[\left(x-2\right)^2-\left(x^2-4x+3\right)\right]}{\left(x-2\right)^4}=\\
=\frac{\left(2x-4\right)\left(x^2-4x+4-x^2+4x-3\right)}{\left(x-2\right)^4}=\frac{2x- 4}{\left(x-2\right)^4}=\frac{2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)^4}=\frac{2}{\left(x-2\right)^3}\\
\Rightarrow\;y''=\frac{2}{\left(x-2\right)^3}[/dispmath]
[inlmath]9.[/inlmath] Prevojne tacke
[dispmath]y''=0\;\Rightarrow\;\frac{2}{\left(x-2\right)^3}=0\\
\Rightarrow\;\left(x-2\right)^3\ne0\;\Rightarrow\;\frac{2}{\left(x-2\right)^3}\ne0[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow\;y''\ne0[/inlmath] Nema prevojnih tacaka.

[inlmath]10.[/inlmath] Nule funkcije
[dispmath]y=\frac{x^2-5x+7}{x-2}\\
x^2-5x+7=0\\
D=-3\\
x_{1,2}\notin\mathbb{R}[/dispmath]
Nema realnih nula.



Grafik je crtan rucno u ilustratoru

Sve ti je u redu, samo imam jednu malu primedbu, što pri računanju asimptota nisi računao obe vertikalne, obe horizontalne i obe kose, već samo po jednu od svake (desnu).

Mada, posle toga si i računao sve asimptote u okviru stavke o graničnim vrednostima, al' opet mi nije jasno šta će ti stavka o graničnim vrednostima, kad su to, zapravo, asimptote...

Granicnim vrednostima odredjujem sa koje strane asimptote prilazi funkcija, dal je trunka ispod il trunka iznad (tako nama makar profesor objasnjava Nisam znao da ovde imaju dve kose asimptote il dve vertikalne, koje su ?

Pa leva i desna.
Leva horizontalna i leva kosa su kad [inlmath]x\to-\infty[/inlmath], a desna horizontalna i desna kosa su kad [inlmath]x\to+\infty[/inlmath].
Za levu vertikalnu i desnu vertikalnu slično, samo što [inlmath]x[/inlmath] ne teži [inlmath]-\infty[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath], već teži prekidnoj tački s leve, odnosno s desne strane.

Al' ako profesor od vas traži da radite na taj način koji si pokazao, onda tako i radi.

Ok to
Sad me zanimaju dve stvari, intervali monotonosti, kad opada imam [inlmath]f\left(x\right)\searrow x\in\left(1,3\right)[/inlmath] a gore imam kod domena [inlmath]x\ne2[/inlmath] da li je ispravno tako ili nesto domen utice pa treba da izbacim [inlmath]2[/inlmath] iz skupa kada opada?
I drugo kako da odredim konveksnost i konkavnost ovde, ja znam kad imam prevojne tacke pa da onda odredim.

Herien Wolf je napisao:kad opada imam [inlmath]f\left(x\right)\searrow x\in\left(1,3\right)[/inlmath] a gore imam kod domena [inlmath]x\ne2[/inlmath] da li je ispravno tako ili nesto domen utice pa treba da izbacim [inlmath]2[/inlmath] iz skupa kada opada?

Da, svakako, to mi je promaklo. Znači, [inlmath]f\left(x\right)\searrow x\in\left(1,2\right)\cup\left(2,3\right)[/inlmath].

Herien Wolf je napisao:I drugo kako da odredim konveksnost i konkavnost ovde, ja znam kad imam prevojne tacke pa da onda odredim.

Pomoću znaka drugog izvoda. Kada je drugi izvod negativan, tada je funkcija konkavna odozdo (tj. konveksna odozgo), a kada je drugi izvod pozitivan, tada je funkcija konveksna odozdo (tj. konkavna odozgo).

Hteo bih samo dodati da u ovom primeru nije bilo potrebno racunski proveravati da li je posmatrana funkcija parna/neparna, jer domen funkcije nije simetrican u odnosu na nulu (nadam se da je jasno na sta mislim pod ovim poslednjim).

Takodje, kada se kosa asimptota odredjuje na ovaj nacin, onda nije jasno (bar iz ovog napisanog) da li funkcija njoj prilazi sa odozgo ili odozdo. Ali da, to se da videti iz konveksnosti/konkavnosti. Ali ono sto sam hteo da dodam je da ako se kosa asimptota trazi preko razvoja („malog o“), da se onda moze dobiti odgovor na to dodatno pitanje (bez gledanja konveksnosti/konkavnosti). No dobro, kako je ovde prica vezana za srednju skolu, to je onda i jasno zasto nismo koristili taj (drugi) nacin (ali sam samo hteo da spomenem da postoji jos neki nacin).

Onomatopeja je napisao:Hteo bih samo dodati da u ovom primeru nije bilo potrebno racunski proveravati da li je posmatrana funkcija parna/neparna, jer domen funkcije nije simetrican u odnosu na nulu (nadam se da je jasno na sta mislim pod ovim poslednjim).

Da, zbog asimetrije domena nije ni parna ni neparna, upoznat sam ja sa tim, ovako sam otkucao jer zelim drugovima iz odeljenja detaljno da pokazem zadatak kako da rade (njima je i kvadratna teska), a provera mi je bila potrebna da ne bih pogresno ucio ljude