MATEMANIJA

U sljedećim zadacima je potrebno odrediti domenu, nultočke, odsječak na osi [inlmath]y[/inlmath], asimptote (vertikalne, horizontalne i kose) i nacrtati graf. Ukoliko postoji horizontalna, tada nema kosih. Ako ne postoji horizontalna, onda trebamo tražiti kose.
[dispmath]f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x[/dispmath]

2.
[dispmath]f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2-x-2}}{x-4}[/dispmath]

Počeo sam da radim ovaj prvi zadatak... Ako neko želi, može da pokuša da uradi drugi...

[dispmath]f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x[/dispmath]
Oblast definisanosti (domen):

1)
[inlmath]x^2-1\ne 0[/inlmath]

[inlmath]x^2\ne 1\quad /\sqrt{\quad}\\
\sqrt{x^2}\ne\sqrt 1\\
\left|x\right|\ne 1\\
x\ne\pm 1[/inlmath]

2)

[inlmath]\frac{x^4}{x^2-1}\ge 0[/inlmath]

[inlmath]x^2-1>0\quad\vee\quad\left(x^4=0\quad\wedge\quad x^2-1\ne 0\right)\\
x^2>1\quad\lor\quad x=0\\
x<-1\quad\lor\quad x>1\quad\lor\quad x=0[/inlmath]

[inlmath]\Rightarrow\quad\underline{x\in\left(-\infty,-1\right)\cup\left\{0\right\}\cup\left(1,+\infty\right)}[/inlmath]

Nule:
[dispmath]\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x=0[/dispmath][dispmath]\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}=-x[/dispmath][dispmath]\frac{x^4}{x^2-1}=x^2[/dispmath][dispmath]x^4=x^2\left(x^2-1\right),\quad x^2-1\ne 0[/dispmath][dispmath]x^4=x^4-x^2[/dispmath][dispmath]x^2=0[/dispmath][dispmath]\underline{x=0}[/dispmath]
Odsečak na y-osi:
[dispmath]f\left(0\right)=\sqrt{\frac{0^4}{0^2-1}}+0[/dispmath][dispmath]\underline{f\left(0\right)=0}[/dispmath]
Asimptote:

Vertikalne:
[dispmath]\lim_{x\to -1^-}f\left(x\right)=\lim_{x\to -1^-}\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x=+\infty[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to 1^+}f\left(x\right)=\lim_{x\to 1^+}\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x=+\infty[/dispmath]
Horizontalne:
[dispmath]\lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\to -\infty}\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x=\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^2}\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}+x=\lim_{x\to -\infty}\left|x\right|\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}+x=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to -\infty}-x\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}+x=\lim_{x\to -\infty}x\left(1-\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}\right)=\lim_{x\to -\infty}x\frac{1-\frac{x^2}{x^2-1}}{1+\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}}=[/dispmath][dispmath]=-\lim_{x\to -\infty}x\frac{\frac{1}{x^2-1}}{1+\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}}=-\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{\left(x^2-1\right)\left(1+\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}\right)}=-\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(1+\sqrt{\frac{1}{1-\frac{1}{x^2}}}\right)}=0[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to +\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x=\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^2}\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}+x=\lim_{x\to +\infty}\left|x\right|\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}+x=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to +\infty}x\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}+x=\lim_{x\to +\infty}x\left(1+\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}\right)=\lim_{x\to +\infty}x\left(1+\sqrt{\frac{1}{1-\frac{1}{x^2}}}\right)=2\lim_{x\to +\infty}x=+\infty[/dispmath]
Kosa asimptota (desna):
[dispmath]y=kx+n[/dispmath][dispmath]k\mathop=^\mathrm{def}\lim_{x\to +\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x}{x}=\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}+1=\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{1}{1-\frac{1}{x^2}}}+1=2[/dispmath][dispmath]n\mathop=^\mathrm{def}\lim_{x\to +\infty}\left[f\left(x\right)-kx\right]=\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x-2x\right)=\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}-x\right)[/dispmath]
Istim postpukom koji je korišćen i za računanje leve horizontalne asimptote, dobija se
[dispmath]n=0[/dispmath]
Desna kosa asimptota je
[dispmath]y=2x[/dispmath]
I, na kraju, grafik:


(Crvenom bojom je obeležena naša funkcija.)

Sličnim postupkom se rešava i taj drugi zadatak, eto, možeš pokušati da ga uradiš, pa ako negde zaškripi, tu smo da pomagamo.

Zahvaljujem. Probat ću kasnije drugi sam, pa ću poslati što sam dobio i graf.

Evo što sam dobio u drugom zadatku:

1. Domena [inlmath]x\in\left[-1,2\right]\cup\left<4,+\infty\right>[/inlmath]

2. Nultočke: [inlmath]x_1=-1,\:x_2=2[/inlmath]

3. Odsječak na [inlmath]y[/inlmath] osi ne postoji (?)

4. Asimptote:

Vertikalne asimptote: [inlmath]x=4[/inlmath], obostrana

Horizontalna asimptota: [inlmath]y=1[/inlmath]

Kose asimptote: nema

Može provjera?
Graf ne mogu nacrtati. Vjerovatno negdje imam grešku.

eseper je napisao:1. Domena [inlmath]x\in\left[-1,2\right]\cup\left<4,+\infty\right>[/inlmath]

Treba da se dobije [inlmath]x\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[-2,4\right)\cup\left(4,+\infty\right)[/inlmath].
Pogrešno si tumačio znak kvadratne nejednačine [inlmath]x^2-x-2\ge 0[/inlmath], inače bi dobio ispravno rešenje.

eseper je napisao:2. Nultočke: [inlmath]x_1=-1,\:x_2=2[/inlmath]

Tačno.

eseper je napisao:3. Odsječak na [inlmath]y[/inlmath] osi ne postoji (?)

Tačno.

eseper je napisao:4. Asimptote:

Vertikalne asimptote: [inlmath]x=4[/inlmath], obostrana

Za [inlmath]4^-[/inlmath] je [inlmath]-\infty[/inlmath], a za [inlmath]4^+[/inlmath] je [inlmath]+\infty[/inlmath].

eseper je napisao:Horizontalna asimptota: [inlmath]y=1[/inlmath]

To je za desnu horizontalnu asimptotu. Za levu je [inlmath]y=-1[/inlmath].

eseper je napisao:Kose asimptote: nema

Tačno, nema.

Ako ne budeš uspeo da nađeš gde su greščice, javi, pa ću napisati postupak i staviti sliku grafika.

1. Kako? Gore sam dobio [inlmath]x_{1,2}=-1,\:2[/inlmath], a dole [inlmath]x=4[/inlmath]. To sam uvrstio u onu tabelu (s kojom mi je lakše). Između [inlmath]-\infty[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] mi ispadne [inlmath]-[/inlmath], a mi obuhvaćamo samo pluseve. Nije mi jasno

4. Vertikalna: Da, to se podrazumjeva kada sam napisao obostrana

Još jedno pitanje za horizontalnu asimptotu. Primjetio sam da nekad računamo desnu i lijevu zajedno ([inlmath]\pm\infty[/inlmath]), a nekad treba odvojeno prvo lijevu pa desnu ili obrnuto. O čemu to ovisi? Pretpostavljam da je vezano nešto uz vertikalnu...

eseper je napisao:1. Kako? Gore sam dobio [inlmath]x_{1,2}=-1,\:2[/inlmath], a dole [inlmath]x=4[/inlmath]. To sam uvrstio u onu tabelu (s kojom mi je lakše). Između [inlmath]-\infty[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] mi ispadne [inlmath]-[/inlmath], a mi obuhvaćamo samo pluseve. Nije mi jasno

Između [inlmath]-\infty[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] treba da ispadne [inlmath]+[/inlmath], isto tako i između [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath]...
Zamisli grafik ove kvadratne funkcije, [inlmath]x^2-x-2[/inlmath]. Pošto je njen koeficijent uz kvadratni član pozitivan ([inlmath]+1[/inlmath]), ta kvadratna funkcija će imati oblik „smajlija“ tj. teme će joj biti okrenuto nadole. To znači, ako ona ima nule, kao što ima, tj. ako preseca [inlmath]x[/inlmath]-osu, ona će između tih nula biti ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose, tj. imaće negativne vrednosti, zar ne? Izvan tog opsega će imati pozitivne vrednosti.

eseper je napisao:4. Vertikalna: Da, to se podrazumjeva kada sam napisao obostrana

Ipak ti ja ne bih preporučio da na ispitu tako napišeš, jer mislim da profa neće tako podrazumevati. Ako postoje obe vertikalne asimptote, kao što u ovom slučaju postoje, moguća su, opet, četiri različita slučaja: da obe idu u [inlmath]+\infty[/inlmath], da obe idu u [inlmath]-\infty[/inlmath], da leva ide u [inlmath]-\infty[/inlmath] a desna u [inlmath]+\infty[/inlmath] i, na kraju, da leva ide u [inlmath]+\infty[/inlmath] a desna u [inlmath]-\infty[/inlmath]. Potrebno je uvek tačno navesti koji od ovih slučajeva je u pitanju.

eseper je napisao:Još jedno pitanje za horizontalnu asimptotu. Primjetio sam da nekad računamo desnu i lijevu zajedno ([inlmath]\pm\infty[/inlmath]), a nekad treba odvojeno prvo lijevu pa desnu ili obrnuto. O čemu to ovisi? Pretpostavljam da je vezano nešto uz vertikalnu...

Ne, nema to veze s vertikalnim asimptotama. U principu bi uvek trebalo raditi posebno za levu a posebno za desnu horizontalnu asimptotu, osim kada je baš očigledno da je funkcija parna (tj. da joj je grafik simetričan u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu, tj. da važi [inlmath]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/inlmath]). Tada je očigledno da i leva i desna horizontalna asimptota moraju biti jednake, pa je dozvoljeno računati ih zajedno, jednim limesom koji teži [inlmath]\pm\infty[/inlmath].