MATEMANIJA

U sljedećim zadacima je potrebno odrediti domenu, nultočke, odsječak na osi [inlmath]y[/inlmath], asimptote (vertikalne, horizontalne i kose) i nacrtati graf. Ukoliko postoji horizontalna, tada nema kosih. Ako ne postoji horizontalna, onda trebamo tražiti kose.
[dispmath]f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x[/dispmath]

2.
[dispmath]f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2-x-2}}{x-4}[/dispmath]

Počeo sam da radim ovaj prvi zadatak... Ako neko želi, može da pokuša da uradi drugi...

[dispmath]f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x[/dispmath]
Oblast definisanosti (domen):

1)
[inlmath]x^2-1\ne 0[/inlmath]

[inlmath]x^2\ne 1\quad /\sqrt{\quad}\\
\sqrt{x^2}\ne\sqrt 1\\
\left|x\right|\ne 1\\
x\ne\pm 1[/inlmath]

2)

[inlmath]\frac{x^4}{x^2-1}\ge 0[/inlmath]

[inlmath]x^2-1>0\quad\vee\quad\left(x^4=0\quad\wedge\quad x^2-1\ne 0\right)\\
x^2>1\quad\lor\quad x=0\\
x<-1\quad\lor\quad x>1\quad\lor\quad x=0[/inlmath]

[inlmath]\Rightarrow\quad\underline{x\in\left(-\infty,-1\right)\cup\left\{0\right\}\cup\left(1,+\infty\right)}[/inlmath]

Nule:
[dispmath]\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x=0[/dispmath][dispmath]\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}=-x[/dispmath][dispmath]\frac{x^4}{x^2-1}=x^2[/dispmath][dispmath]x^4=x^2\left(x^2-1\right),\quad x^2-1\ne 0[/dispmath][dispmath]x^4=x^4-x^2[/dispmath][dispmath]x^2=0[/dispmath][dispmath]\underline{x=0}[/dispmath]
Odsečak na y-osi:
[dispmath]f\left(0\right)=\sqrt{\frac{0^4}{0^2-1}}+0[/dispmath][dispmath]\underline{f\left(0\right)=0}[/dispmath]
Asimptote:

Vertikalne:
[dispmath]\lim_{x\to -1^-}f\left(x\right)=\lim_{x\to -1^-}\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x=+\infty[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to 1^+}f\left(x\right)=\lim_{x\to 1^+}\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x=+\infty[/dispmath]
Horizontalne:
[dispmath]\lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\to -\infty}\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x=\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^2}\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}+x=\lim_{x\to -\infty}\left|x\right|\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}+x=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to -\infty}-x\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}+x=\lim_{x\to -\infty}x\left(1-\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}\right)=\lim_{x\to -\infty}x\frac{1-\frac{x^2}{x^2-1}}{1+\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}}=[/dispmath][dispmath]=-\lim_{x\to -\infty}x\frac{\frac{1}{x^2-1}}{1+\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}}=-\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{\left(x^2-1\right)\left(1+\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}\right)}=-\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(1+\sqrt{\frac{1}{1-\frac{1}{x^2}}}\right)}=0[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to +\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x=\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x^2}\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}+x=\lim_{x\to +\infty}\left|x\right|\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}+x=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to +\infty}x\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}+x=\lim_{x\to +\infty}x\left(1+\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}\right)=\lim_{x\to +\infty}x\left(1+\sqrt{\frac{1}{1-\frac{1}{x^2}}}\right)=2\lim_{x\to +\infty}x=+\infty[/dispmath]
Kosa asimptota (desna):
[dispmath]y=kx+n[/dispmath][dispmath]k\mathop=^\mathrm{def}\lim_{x\to +\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x}{x}=\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}+1=\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{1}{1-\frac{1}{x^2}}}+1=2[/dispmath][dispmath]n\mathop=^\mathrm{def}\lim_{x\to +\infty}\left[f\left(x\right)-kx\right]=\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}+x-2x\right)=\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{\frac{x^4}{x^2-1}}-x\right)[/dispmath]
Istim postpukom koji je korišćen i za računanje leve horizontalne asimptote, dobija se
[dispmath]n=0[/dispmath]
Desna kosa asimptota je
[dispmath]y=2x[/dispmath]
I, na kraju, grafik:


(Crvenom bojom je obeležena naša funkcija.)

Sličnim postupkom se rešava i taj drugi zadatak, eto, možeš pokušati da ga uradiš, pa ako negde zaškripi, tu smo da pomagamo.

Zahvaljujem. Probat ću kasnije drugi sam, pa ću poslati što sam dobio i graf.

Evo što sam dobio u drugom zadatku:

1. Domena [inlmath]x\in\left[-1,2\right]\cup\left<4,+\infty\right>[/inlmath]

2. Nultočke: [inlmath]x_1=-1,\:x_2=2[/inlmath]

3. Odsječak na [inlmath]y[/inlmath] osi ne postoji (?)

4. Asimptote:

Vertikalne asimptote: [inlmath]x=4[/inlmath], obostrana

Horizontalna asimptota: [inlmath]y=1[/inlmath]

Kose asimptote: nema

Može provjera?
Graf ne mogu nacrtati. Vjerovatno negdje imam grešku.

eseper je napisao:1. Domena [inlmath]x\in\left[-1,2\right]\cup\left<4,+\infty\right>[/inlmath]

Treba da se dobije [inlmath]x\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[-2,4\right)\cup\left(4,+\infty\right)[/inlmath].
Pogrešno si tumačio znak kvadratne nejednačine [inlmath]x^2-x-2\ge 0[/inlmath], inače bi dobio ispravno rešenje.

eseper je napisao:2. Nultočke: [inlmath]x_1=-1,\:x_2=2[/inlmath]

Tačno.

eseper je napisao:3. Odsječak na [inlmath]y[/inlmath] osi ne postoji (?)

Tačno.

eseper je napisao:4. Asimptote:

Vertikalne asimptote: [inlmath]x=4[/inlmath], obostrana

Za [inlmath]4^-[/inlmath] je [inlmath]-\infty[/inlmath], a za [inlmath]4^+[/inlmath] je [inlmath]+\infty[/inlmath].

eseper je napisao:Horizontalna asimptota: [inlmath]y=1[/inlmath]

To je za desnu horizontalnu asimptotu. Za levu je [inlmath]y=-1[/inlmath].

eseper je napisao:Kose asimptote: nema

Tačno, nema.

Ako ne budeš uspeo da nađeš gde su greščice, javi, pa ću napisati postupak i staviti sliku grafika.

1. Kako? Gore sam dobio [inlmath]x_{1,2}=-1,\:2[/inlmath], a dole [inlmath]x=4[/inlmath]. To sam uvrstio u onu tabelu (s kojom mi je lakše). Između [inlmath]-\infty[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] mi ispadne [inlmath]-[/inlmath], a mi obuhvaćamo samo pluseve. Nije mi jasno

4. Vertikalna: Da, to se podrazumjeva kada sam napisao obostrana

Još jedno pitanje za horizontalnu asimptotu. Primjetio sam da nekad računamo desnu i lijevu zajedno ([inlmath]\pm\infty[/inlmath]), a nekad treba odvojeno prvo lijevu pa desnu ili obrnuto. O čemu to ovisi? Pretpostavljam da je vezano nešto uz vertikalnu...

eseper je napisao:1. Kako? Gore sam dobio [inlmath]x_{1,2}=-1,\:2[/inlmath], a dole [inlmath]x=4[/inlmath]. To sam uvrstio u onu tabelu (s kojom mi je lakše). Između [inlmath]-\infty[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] mi ispadne [inlmath]-[/inlmath], a mi obuhvaćamo samo pluseve. Nije mi jasno

Između [inlmath]-\infty[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] treba da ispadne [inlmath]+[/inlmath], isto tako i između [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath]...
Zamisli grafik ove kvadratne funkcije, [inlmath]x^2-x-2[/inlmath]. Pošto je njen koeficijent uz kvadratni član pozitivan ([inlmath]+1[/inlmath]), ta kvadratna funkcija će imati oblik „smajlija“ tj. teme će joj biti okrenuto nadole. To znači, ako ona ima nule, kao što ima, tj. ako preseca [inlmath]x[/inlmath]-osu, ona će između tih nula biti ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose, tj. imaće negativne vrednosti, zar ne? Izvan tog opsega će imati pozitivne vrednosti.

eseper je napisao:4. Vertikalna: Da, to se podrazumjeva kada sam napisao obostrana

Ipak ti ja ne bih preporučio da na ispitu tako napišeš, jer mislim da profa neće tako podrazumevati. Ako postoje obe vertikalne asimptote, kao što u ovom slučaju postoje, moguća su, opet, četiri različita slučaja: da obe idu u [inlmath]+\infty[/inlmath], da obe idu u [inlmath]-\infty[/inlmath], da leva ide u [inlmath]-\infty[/inlmath] a desna u [inlmath]+\infty[/inlmath] i, na kraju, da leva ide u [inlmath]+\infty[/inlmath] a desna u [inlmath]-\infty[/inlmath]. Potrebno je uvek tačno navesti koji od ovih slučajeva je u pitanju.

eseper je napisao:Još jedno pitanje za horizontalnu asimptotu. Primjetio sam da nekad računamo desnu i lijevu zajedno ([inlmath]\pm\infty[/inlmath]), a nekad treba odvojeno prvo lijevu pa desnu ili obrnuto. O čemu to ovisi? Pretpostavljam da je vezano nešto uz vertikalnu...

Ne, nema to veze s vertikalnim asimptotama. U principu bi uvek trebalo raditi posebno za levu a posebno za desnu horizontalnu asimptotu, osim kada je baš očigledno da je funkcija parna (tj. da joj je grafik simetričan u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu, tj. da važi [inlmath]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/inlmath]). Tada je očigledno da i leva i desna horizontalna asimptota moraju biti jednake, pa je dozvoljeno računati ih zajedno, jednim limesom koji teži [inlmath]\pm\infty[/inlmath].

Da ti nisi možda i [inlmath]\left(x-4\right)[/inlmath] razmatrao kad si određivao znak radi određivanja domena? Ne treba, jer [inlmath]\left(x-4\right)[/inlmath] nije pod korenom. Nama je bitno samo da je ono što je pod korenom veće ili jednako nuli, a to je u ovom slučaju samo kvadratna funkcija [inlmath]x^2-x-2[/inlmath].

I ispada [inlmath]+[/inlmath], ali je za [inlmath]x-4[/inlmath] minus, pa će krajnji rezultat biti [inlmath]-[/inlmath]. Zato nisam ibuhvatio [inlmath]\left<-\infty,-1\right][/inlmath] u rješenju.

Što se tiče vertikalnih asimptota, to sam i izračunao, posebno za lijevu pa desnu, ali sam ovdje napisao odmah obostrana da ne pišem cijeli postupak Znači, za horizontalnu je uvijek bolje računati odvojeno lijevu i desnu.

eseper je napisao:I ispada [inlmath]+[/inlmath], ali je za [inlmath]x-4[/inlmath] minus, pa će krajnji rezultat biti [inlmath]-[/inlmath]. Zato nisam ibuhvatio [inlmath]\left<-\infty,-1\right][/inlmath] u rješenju.

Da, u ovom postu, koji ti je verovatno promakao, tačno sam i pretpostavio da si tako radio, ali taj postupak nije ispravan...

Napisah:

Daniel je napisao:Da ti nisi možda i [inlmath]\left(x-4\right)[/inlmath] razmatrao kad si određivao znak radi određivanja domena? Ne treba, jer [inlmath]\left(x-4\right)[/inlmath] nije pod korenom. Nama je bitno samo da je ono što je pod korenom veće ili jednako nuli, a to je u ovom slučaju samo kvadratna funkcija [inlmath]x^2-x-2[/inlmath].

Da, promakao mi je. I tu je bila greška. Hvala! Još trebam graf, njega ću kasnije

Kako ti izgleda graf? Čini se da je "netipičan"

Evo izgleda ovako:


U kom smislu „netipičan“?

Nije lijep

Hvala, točan mi je. Mislio sam da je kriv zbog ovog "prekida" između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath].

eseper je napisao:Nije lijep

eseper je napisao:Mislio sam da je kriv zbog ovog "prekida" između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath].

Ja bih se pre zapitao da li mi je grafik tačan onda kad ne bi imao nikakav prekid.
A ovaj interval od [inlmath]-1[/inlmath] do [inlmath]2[/inlmath] ne treba da te zbunjuje, jer u tom intervalu je potkorena veličina manja od nule, pa funkcija nije definisana. Nema tu šta dalje da se razmišlja.

A evo i sljedećeg, kojeg ću svim snagama pokušati sam rješiti

Ali prije toga jedno pitanje Kako odrediti domenu?
[dispmath]f\left(x\right)=2^\frac{1}{x^2-2x+1}[/dispmath]

Ovde ti je to ultrajednostavno, budući da je funkcija [inlmath]a^x[/inlmath] (gde je [inlmath]a[/inlmath] bilo koji realan pozitivan broj) definisana za svako [inlmath]x\in\left(-\infty,+\infty\right)[/inlmath].

Sve što je potrebno to je da postaviš uslov da trinom iz imenioca (nazivnika) razlomka u eksponentu bude različit od nule (za ovo ćeš dobiti samo jedno rešenje, budući da taj trinom, zapravo, predstavlja kvadrat binoma).

Zadatak nisam riješio skroz. Evo što sam uspio dobiti.

1. Domena
[inlmath]Df\in\mathbb{R}\setminus\{1\}[/inlmath]

2. Nultočke
Nema

3. Odsječak na [inlmath]y[/inlmath] osi
[inlmath]y=2[/inlmath]

Asimptote:
a) V.A.
Dobio sam da [inlmath]1[/inlmath] i s lijeva i s desna ide u [inlmath]+\infty[/inlmath]. Znači li to onda da nema vertikalnih asimptota?

b) H.A.
nema

c) K.A.
Ne znam kako odrediti.

eseper je napisao:1. Domena
[inlmath]Df\in\mathbb{R}\setminus\{1\}[/inlmath]

2. Nultočke
Nema

3. Odsječak na [inlmath]y[/inlmath] osi
[inlmath]y=2[/inlmath]

Asimptote:
a) V.A.
Dobio sam da [inlmath]1[/inlmath] i s lijeva i s desna ide u [inlmath]+\infty[/inlmath].

Sve ovo je tačno.

eseper je napisao:Znači li to onda da nema vertikalnih asimptota?

Baš naprotiv, to što idu u beskonačnost, upravo znači da ima vertikalnih asimptota. Funkcija, dakle, u okolini prekidne tačke ([inlmath]1[/inlmath]), asimptotski teži pravoj [inlmath]x=1[/inlmath].

eseper je napisao:b) H.A.
nema

Ima.

eseper je napisao:c) K.A.
Ne znam kako odrediti.

Ne mogu se ni odrediti, jer postoje horizontalne asimptote.


Hoćeš još malo da porazmisliš oko ovih asimptota, ili da ti ispišem postupak?

Pokušat ću sam, hvala

Horizontalna je [inlmath]y=1[/inlmath]

Ispravan graf?

Savršeno!

Evo još jednog zadatka.
[dispmath]f\left(x\right)=\ln\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}[/dispmath]

Nisam dovršio zadatak do kraja, ali evo što sam dobio:

1. Domena
[inlmath]Df\in\mathbb{R}[/inlmath]

2. N.T.
Nema

3. Odsječak na [inlmath]y[/inlmath]-osi
Nema

4. Asimptote
V.A. nema
H.A. nema
K.A. ne znam odrediti

A, pa neće biti, potkralo ti se dosta grešaka... Ali, na greškama obogaćujemo svoje iskustvo.

Prvo, domen. Mora biti zadovoljen uslov da je
[dispmath]e^x-1\ne 0[/dispmath]
budući da se [inlmath]e^x-1[/inlmath] nalazi u imeniocu razlomka. Zatim, mora biti zadovoljeno da je argument logaritma strogo veći od nule, tj.
[dispmath]\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}>0[/dispmath]
a to će biti ispunjeno kada su 1) i brojilac i imenilac veći od nule, ili 2) kada su i brojilac i imenilac manji od nule, tj.
[dispmath]\left(e^{2x}-4>0\quad\land\quad e^x-1>0\right)\quad\lor\quad\left(e^{2x}-4<0\quad\land\quad e^x-1<0\right)[/dispmath]
pa rešavaš posebno za svaki od ova dva slučaja i na kraju nađeš njihov presek. [*** Naknadni EDIT – ovde je greškom napisano njihov presek, a treba da piše njihovu uniju. ***]

Zatim, nule. Logaritamska funkcija će dati vrednost [inlmath]0[/inlmath] onda kada joj je argument [inlmath]1[/inlmath]. Znači, nulu (koja u ovom slučaju postoji) dobiješ iz uslova
[dispmath]\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}=1[/dispmath]

Odsečak na y-osi nema, to je tačno. Kada si u ovu funkciju uvrstio [inlmath]0[/inlmath] umesto [inlmath]x[/inlmath] radi određivanja ovog odsečka, mogao si videti da ta funkcija za [inlmath]x=0[/inlmath] neće biti definisana, zar ne?

Ima dve V.A., jednu levo i drugu desno od intervala u kom funkcija nije definisana.
Takođe, ima levu horizontalnu i desnu kosu asimptotu.

Ajd pogledaj to još malo, pa ćemo se čuti posle...

Domena je
[dispmath]\left<0,\frac{\ln 4}{2}\right>[/dispmath]
?

eseper je napisao:Domena je
[dispmath]\left<0,\frac{\ln 4}{2}\right>[/dispmath]
?

To bi bio interval u kojem funkcija nije definisana. Tačnije, interval u kojem funkcija nije definisana bi bio zatvoren (s uglastim zagradama):
[dispmath]\left[0,\ln 2\right][/dispmath]
A domen bi bio
[dispmath]x\in\mathbb{R}\setminus\left[0,\ln 2\right][/dispmath]

Dosta loše stojim s ovim tipovima zadataka

Zato imam puno pitanja

1. Zbog čega ono što sam ja dobio nije domen funkcije, ako je to presjek onih uvjeta koje si prije postavio? Ako možeš općenito napisati korake za domenu ako dobijem točno ovakav tip zadatka.
2. Zbog čega imamo ovakvu [ zagradu ako u zadatku imamo samo da je veće od nule, bez jednako (jer nije pod korijenom) ?

Nakon toga ćemo na asimptote

OK, aj'mo postupno.

Prvo, sad sam bacio pogled na ovaj svoj post i video da sam, greškom, napisao

Daniel je napisao:[dispmath]\left(e^{2x}-4>0\quad\land\quad e^x-1>0\right)\quad\lor\quad\left(e^{2x}-4<0\quad\land\quad e^x-1<0\right)[/dispmath]
pa rešavaš posebno za svaki od ova dva slučaja i na kraju nađeš njihov presek.

Ne, ne treba presek, već unija. Izvini zbog ove zabune. Čim se pojavljuje znak [inlmath]\lor[/inlmath] (logičko ILI), to znači da se traži unija, a ne presek. Sigurno te je to zbunilo.
Tamo gde se pojavljuje znak [inlmath]\land[/inlmath] (logičko I), e tu se traži presek.

Idemo sad od samog početka, korak po korak.
[dispmath]f\left(x\right)=\ln\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}[/dispmath]
Dakle, prvo posmatramo razlomke, ako ih ima, i proveravamo da li su njihovi imenioci različiti od nule. U ovom slučaju u imeniocu imamo [inlmath]e^x-1[/inlmath].
[dispmath]e^x-1\ne 0\quad\Rightarrow\quad e^x\ne 1\quad\Rightarrow\quad\underline{x\ne 0}[/dispmath]
Zatim posmatramo argument logaritma, koji mora biti strogo veći od nule:
[dispmath]\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}>0[/dispmath]
On će biti veći od nule onda kada su i brojilac i imenilac različiti od nule a istog znaka (tj. ili oba pozitivna, ili oba negativna).
[dispmath]\left(e^{2x}-4>0\quad\land\quad e^x-1>0\right)\quad\lor\quad\left(e^{2x}-4<0\quad\land\quad e^x-1<0\right)\\
\left(e^{2x}>4\quad\land\quad e^x>1\right)\quad\lor\quad\left(e^{2x}<4\quad\land\quad e^x<1\right)\\
\left(2x>\ln 4\quad\land\quad x>0\right)\quad\lor\quad\left(2x<\ln 4\quad\land\quad x<0\right)\\
\left(2x>\ln 2^2\quad\land\quad x>0\right)\quad\lor\quad\left(2x<\ln 2^2\quad\land\quad x<0\right)\\
\left(2x>2\ln 2\quad\land\quad x>0\right)\quad\lor\quad\left(2x<2\ln 2\quad\land\quad x<0\right)\\
\left(x>\ln 2\quad\land\quad x>0\right)\quad\lor\quad\left(x<\ln 2\quad\land\quad x<0\right)[/dispmath]
Sada, kao što smo rekli, tamo gde se pojavljuje [inlmath]\land[/inlmath] tu tražimo presek. Presek za [inlmath]x>\ln 2[/inlmath] i za [inlmath]x>0[/inlmath] biće [inlmath]x>\ln 2[/inlmath], a presek za [inlmath]x<\ln 2[/inlmath] i za [inlmath]x<0[/inlmath] biće [inlmath]x<0[/inlmath].
[dispmath]\underline{x>\ln 2\quad\lor\quad x<0}[/dispmath]
Dakle, funkcija je definisana ako je [inlmath]x<0[/inlmath] ili ako je [inlmath]x>\ln 2[/inlmath]. To možemo zapisati na dva načina (potpuno je svejedno koji ćemo način zapisivanja koristiti):

1. način zapisivanja:

[inlmath]x\in\left(-\infty,0\right)\cup\left(\ln2,+\infty\right)[/inlmath]

Ovde koristimo male zagrade, jer su u pitanju otvoreni intervali. To znači da oblast definisanosti ne obuhvata granične tačke [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\ln 2[/inlmath] (u tim tačkama funkcija nije definisana), već obuhvata samo ono što je između [inlmath]-\infty[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath] (ali bez [inlmath]0[/inlmath]) i ono što je između [inlmath]\ln 2[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath] (ali bez [inlmath]\ln 2[/inlmath]).

2. način zapisivanja:

[inlmath]x\in\mathbb{R}\setminus\left[0,\ln 2\right][/inlmath]

Za razliku od 1. načina zapisivanja, u kojem smo nabrajali intervale u kojima je funkcija definisana, kod ovog načina prvo napišemo da je funkcija definisana u skupu [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], pa onda osim u... (pa zatim nabrajamo intervale ili tačke u kojima funkcija nije definisana).
Drugim rečima, od skupa [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] oduzimamo one intervale u kojima funkcija nije definisana i onda ono što preostane predstavlja oblast definisanosti.
Tebe je bunilo zašto su ovde korišćene uglaste zagrade. Pa eto, upravo zbog toga, što je od skupa [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] potrebno oduzeti ne samo otvoreni interval [inlmath]\left(0,\ln 2\right)[/inlmath], već je potrebno oduzeti i granične tačke 0 i \ln 2 (budući da ni u njima funkcija nije definisana), tj. potrebno je oduzeti ceo zatvoreni interval [inlmath]\left[0,\ln 2\right][/inlmath].

Kad su u pitanju ova dva načina zapisivanja, možemo reći i ovako. Ako bismo posmatrali sledeću uniju:

[inlmath]\left(-\infty,0\right)\cup\left[0,\ln 2\right]\cup\left(\ln2,+\infty\right)[/inlmath]

ta unija bi predstavljala ništa drugo nego ceo skup realnih brojeva [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath].
Interval u sredini je zatvoren, ostala dva su otvorena. Taj interval u sredini obuhvata i granične tačke, koje ne obuhvataju preostala dva intervala. A unija sva tri intervala daje skup svih realnih brojeva, tj. [inlmath]\left(-\infty,+\infty\right)[/inlmath].
Zbog toga, kad od te unije, tj. od [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], oduzmemo zatvoreni interval [inlmath]\left[0,\ln 2\right][/inlmath] (a to je ono što smo uradili u 2. načinu zapisivanja), ostaju nam dva otvorena intervala, [inlmath]\left(-\infty,0\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(\ln2,+\infty\right)[/inlmath].

Sad malo jasnije?

Hvala, sada je puno jasnije.

Ostatak zadatka ću sam napraviti i napisati što sam dobio, tj. ispraviti one greške

Važi, a posle ćemo asimptote.

Malo sam zaboravio na ovaj zadatak.

Ponovo ga rješavam i dobio sam ovo:
Domena: [inlmath]\left<-\infty,0\right>\cup\left<\ln 2,+\infty\right>[/inlmath] (radio sam po tvom načinu)
Nultočke: [inlmath]x=\ln 3[/inlmath]
Odsječka na [inlmath]y[/inlmath]-osi nema.
Asimptote:

E tu ću stati jer imam pitanja. Najprije, za V.A., što uopće trebamo ispitivati? [inlmath]0[/inlmath]?

eseper je napisao:Malo sam zaboravio na ovaj zadatak.

I ja.

eseper je napisao:Ponovo ga rješavam i dobio sam ovo:
Domena: [inlmath]\left<-\infty,0\right>\cup\left<\ln 2,+\infty\right>[/inlmath] (radio sam po tvom načinu)

Tako je.

eseper je napisao:Nultočke: [inlmath]x=\ln 3[/inlmath]

Hm, treba da se dobije malko komplikovaniji izraz:
[dispmath]x=\ln\frac{1+\sqrt{13}}{2}[/dispmath]

eseper je napisao:Odsječka na [inlmath]y[/inlmath]-osi nema.

Nema, naravno, jer [inlmath]x=0[/inlmath] spada u interval u kome funkcija nije definisana, a čim nije definisana za [inlmath]x=0[/inlmath], ne može ni imati presek s [inlmath]y[/inlmath]-osom.
(Tvoj odgovor je, naravno, tačan, samo ga malo komentarišem. )

eseper je napisao:E tu ću stati jer imam pitanja. Najprije, za V.A., što uopće trebamo ispitivati? [inlmath]0[/inlmath]?

Ispitujemo ponašanje funkcije neposredno pre i neposredno posle intervala u kome nije definisana, iliti, konkretno, [inlmath]\lim\limits_{x\to 0^-}[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to\left(\ln 2\right)^+}[/inlmath]

Jel može postupak za tu nultočku?

Ako nisam nešto pogriješio,

V.A.
[inlmath]0[/inlmath] - lijeva vertikalna
[inlmath]\ln 2[/inlmath] - desna vertikalna

E sada, kada idemo tražiti horizontalnu (ili kosu), s čim moramo dijeliti brojnik i nazivnik? Koji je vodeći koeficijent? Ovdje imamo [inlmath]e[/inlmath] na nešto pa ne znam kako to riješiti.

eseper je napisao:Jel može postupak za tu nultočku?

Evo postupka:
[dispmath]f\left(x\right)=\ln\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}=0\qquad\Rightarrow\qquad\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}=1\qquad\Rightarrow\qquad e^{2x}-4=e^x-1[/dispmath][dispmath]e^{2x}-e^x-3=0[/dispmath][dispmath]\left(e^x\right)_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+4\cdot 3}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}[/dispmath]
Pošto je [inlmath]\sqrt{13}[/inlmath] veće od jedinice, rešenje s minusom ispred korena otpada, jer bi tada [inlmath]e^x[/inlmath] bilo negativno, što bi bilo nemoguće, jer znamo da [inlmath]e^x[/inlmath] može dati samo pozitivnu vrednost. Znači, ostaje:
[dispmath]e^x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}[/dispmath][dispmath]x=\ln\frac{1+\sqrt{13}}{2}[/dispmath]

eseper je napisao:V.A.
[inlmath]0[/inlmath] - lijeva vertikalna
[inlmath]\ln 2[/inlmath] - desna vertikalna

Ovde si samo napisao tačke oko kojih treba tražiti asimptote. E sad, treba odrediti i da li te asimptote postoje i, ako postoje, da li idu u [inlmath]-\infty[/inlmath] ili u [inlmath]+\infty[/inlmath].

eseper je napisao:E sada, kada idemo tražiti horizontalnu (ili kosu), s čim moramo dijeliti brojnik i nazivnik? Koji je vodeći koeficijent?

Za određivanje horizontalnih asimptota ne deliš funkciju ni sa čim, samo pustiš da [inlmath]x[/inlmath] ide u [inlmath]\pm\infty[/inlmath].
Što se kosih tiče, pošto one teže ka nekom pravcu određenom linearnom funkcijom [inlmath]kx+n[/inlmath], potrebno je odrediti koeficijente [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] te linearne funkcije.
(Znamo da [inlmath]k[/inlmath] predstavlja „nagib“ tog pravca, tj. promenom parametra [inlmath]k[/inlmath] taj pravac će se „zarotirati“, a [inlmath]n[/inlmath] određuje položaj pravca, tj. njegovom promenom pravac će se translirati; parametar [inlmath]n[/inlmath], zapravo, predstavlja ordinatu preseka pravca s y-osom.)

Po definiciji,
[dispmath]k\mathop=^\mathrm{def}\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}[/dispmath]
a kad se odredi [inlmath]k[/inlmath], tada je [inlmath]n[/inlmath], isto po definiciji,
[dispmath]n\mathop=^\mathrm{def}\lim_{x\to\pm\infty}\left[f\left(x\right)-kx\right][/dispmath]

eseper je napisao:Ovdje imamo [inlmath]e[/inlmath] na nešto pa ne znam kako to riješiti.

Podeliš lepo funkciju sa [inlmath]x[/inlmath], gore ispred razlomka izvučeš [inlmath]e^x[/inlmath], pa onda logaritam proizvoda napišeš kao zbir logaritama, pa će ti prvi sabirak biti [inlmath]\ln e^x[/inlmath] a to je, zapravo, [inlmath]x[/inlmath]...

Oćeš ceo postupak?

Može. ako nije problem. Sada sam na derivacijama, a V.A. sam riješio, ali nisam napisao do kraja. Kasnije malo.
Jao puca mi glava od matematike

Horizontalne asimptote:

Leva:
[dispmath]\lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\to -\infty}\ln\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}=\ln\frac{-4}{-1}=\ln 4=\ln 2^2=2\ln 2[/dispmath]
Desna
[dispmath]\lim_{x\to +\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\to +\infty}\ln\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}=\lim_{x\to +\infty}\ln\left(e^x\cdot\frac{e^{2x}-4}{e^{2x}-e^x}\right)=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to +\infty}\ln\left(e^x\cdot\frac{1-\frac{4}{e^{2x}}}{1-\frac{1}{e^x}}\right)=\lim_{x\to +\infty}\ln e^x=\lim_{x\to +\infty}x=+\infty[/dispmath]
Kosa desna:
[dispmath]n\mathop=^\mathrm{def}\lim_{x\to +\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln\left(e^x\cdot\frac{e^x-\frac{4}{e^x}}{e^x-1}\right)}{x}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln e^x+\ln\frac{e^x-\frac{4}{e^x}}{e^x-1}}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x+\ln\frac{1-\frac{4}{e^{2x}}}{1-\frac{1}{e^x}}}{x}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{\ln\frac{1-\frac{4}{e^{2x}}}{1-\frac{1}{e^x}}}{x}\right)=\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{\ln 1}{x}\right)=\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{0}{x}\right)=1[/dispmath][dispmath]k\mathop=^\mathrm{def}\lim_{x\to +\infty}\left[f\left(x\right)-kx\right]=\lim_{x\to +\infty}\left[\ln\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}-x\right]=\lim_{x\to +\infty}\left[\ln\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}-\ln e^x\right]=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to +\infty}\left[\ln\frac{1}{e^x}\cdot\frac{e^{2x}-4}{e^x-1}\right]=\lim_{x\to +\infty}\left[\ln\frac{e^{2x}-4}{e^{2x}-e^x}\right]=\lim_{x\to +\infty}\left[\ln\frac{1-\frac{4}{e^{2x}}}{1-\frac{1}{e^x}}\right]=\ln 1=0[/dispmath]
Dakle, funkcija u [inlmath]+\infty[/inlmath] teži pravoj [inlmath]y=x[/inlmath]

eseper je napisao:Jao puca mi glava od matematike

Ajde ne qkaj kako ćeš tek kad bude ispit.

Zašto nema vertikalnih asimptota?

Mislim da sam već pitao, ali ako nisam: kada tražimo odvojeno lijevu i desnu h.a., a kada zajedno? Ima li nekog univerzalnog pravila?

eseper je napisao:Zašto nema vertikalnih asimptota?

Pa, nema ih, tj, nisam ih rešavao, jer si bio napisao da si njih već rešio, tako da sam ti radio postupak samo za horizontalne i za kose. Ako hoćeš, mogu i za vertikalne.

eseper je napisao:Mislim da sam već pitao, ali ako nisam: kada tražimo odvojeno lijevu i desnu h.a., a kada zajedno? Ima li nekog univerzalnog pravila?

Da, pitao si ovde.

Daniel je napisao:

eseper je napisao:Još jedno pitanje za horizontalnu asimptotu. Primjetio sam da nekad računamo desnu i lijevu zajedno ([inlmath]\pm\infty[/inlmath]), a nekad treba odvojeno prvo lijevu pa desnu ili obrnuto. O čemu to ovisi? Pretpostavljam da je vezano nešto uz vertikalnu...

Ne, nema to veze s vertikalnim asimptotama. U principu bi uvek trebalo raditi posebno za levu a posebno za desnu horizontalnu asimptotu, osim kada je baš očigledno da je funkcija parna (tj. da joj je grafik simetričan u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu, tj. da važi [inlmath]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/inlmath]). Tada je očigledno da i leva i desna horizontalna asimptota moraju biti jednake, pa je dozvoljeno računati ih zajedno, jednim limesom koji teži [inlmath]\pm\infty[/inlmath].

Da, napravio sam vertikalne. Počeo sam zadatak raditi iz početka pa mi je zato bilo čudno

E, da, to je to

OK, treba da se dobiju dve vertikalne asimptote
[dispmath]\lim_{x\to 0^-}f\left(x\right)=+\infty[/dispmath]
i
[dispmath]\lim_{x\to \left(\ln 2\right)^+}f\left(x\right)=-\infty[/dispmath]
Si tako dobio?

Jesam

Evo jednog primjera koji je bio jednoj studijskog grupi.
[dispmath]f\left(x\right)=\ln\frac{x^2-7x+12}{x^2-3x+2}[/dispmath]
Imam samo jedno pitanje za domenu.

Postavimo sljedeće uvjete:
1. naz mora biti različit od nule
2. brojnik i nazivnik moraju biti veći od nule
3. brojnik i nazivnik moraju biti manji od nule

riješimo to i dobijemo domenu?

ostalo ću pokušati sam kasnije

eseper je napisao:Postavimo sljedeće uvjete:
1. naz mora biti različit od nule
2. brojnik i nazivnik moraju biti veći od nule
3. brojnik i nazivnik moraju biti manji od nule

riješimo to i dobijemo domenu?

E samo pazi, ne moraju (niti uopšte i mogu) sva tri uslova biti zadovoljena.
Potrebno je da bude zadovoljen 1. uslov i jedan od uslova 2. ili 3.
Ili, logičkom notacijom,
[dispmath]1.\land\left(2.\lor 3.\right)[/dispmath]
tj.
[dispmath]\left(x^2-3x+2\ne 0\right)\;\land\;\left\{\left[\left(x^2-7x+12>0\right)\;\land\;\left(x^2-3x+2>0\right)\right]\;\lor\;\left[\left(x^2-7x+12<0\right)\;\land\;\left(x^2-3x+2<0\right)\right]\right\}[/dispmath]
Naravno, vidi se da, kada je zadovoljen jedan od uslova 2. ili 3. tada je automatski zadovoljen i uslov 1. tj.
[dispmath]1.\land\left(2.\lor 3.\right)\;\Leftrightarrow\;\left(2.\lor 3.\right)[/dispmath]
ali ipak sve ovo pišemo detaljno, radi principa kako se postavljaju uslovi za određivanje domena.

Ako mi nije dobra domena, ode sve k vragu.

1. Domena
[inlmath]x\in\left<-\infty,1\right>\cup\left<2,3\right]\cup\left[4,+\infty\right>[/inlmath]

2. N.T
[inlmath]\frac{5}{2}[/inlmath]

3. Odsječak na [inlmath]y[/inlmath]-osi
[inlmath]y=\ln 6[/inlmath]

4. Asimptote
V.A.
[inlmath]x\to 1-\;\dots +\infty[/inlmath]
[inlmath]x\to 1+\;\dots +\infty[/inlmath]
[inlmath]x=1[/inlmath] je obostrana v.a.

Isto se dobije i za dvojku, pa je i ona obostrana v.a.

H.A.
[inlmath]y=0[/inlmath]


Ako je točno, nije problem nacrtat

eseper je napisao:Ako mi nije dobra domena, ode sve k vragu.

Ne mogu reći da je pogrešna, ali nije baš ni sasvim ispravna, zato što:

eseper je napisao:1. Domena
[inlmath]x\in\left<-\infty,1\right>\cup\left<2,3\right]\cup\left[4,+\infty\right>[/inlmath]

Nigde ne treba da imaš zatvorene intervale. Funkcija nije definisana ni u tačkama [inlmath]3[/inlmath] ni [inlmath]4[/inlmath], pa ne znam odakle tu zatvoren interval?
Znači, treba sve tako kako si napisao, samo s oblim ili izlomljenim zagradama, umesto uglastim.

eseper je napisao:2. N.T
[inlmath]\frac{5}{2}[/inlmath]

eseper je napisao:3. Odsječak na [inlmath]y[/inlmath]-osi
[inlmath]y=\ln 6[/inlmath]

eseper je napisao:4. Asimptote
V.A.
[inlmath]x\to 1-\;\dots +\infty[/inlmath]

eseper je napisao:[inlmath]x\to 1+\;\dots +\infty[/inlmath]
[inlmath]x=1[/inlmath] je obostrana v.a.

Pa, nije. Lepo si za domen napisao da u intervalu od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]2[/inlmath] funkcija nije definisana, prema tome, u toj oblasti ne može imati ni asimptote.

eseper je napisao:Isto se dobije i za dvojku, pa je i ona obostrana v.a.

Nije ni ona, iz istog razloga koji sam malopre napisao. Postoji asimptota samo za [inlmath]x\to 2^+[/inlmath]

eseper je napisao:H.A.
[inlmath]y=0[/inlmath]

Tačno, i za levu i za desnu.

I sad vidim... Nisi uradio V.A. za [inlmath]x=3[/inlmath] i za [inlmath]x=4[/inlmath], a treba i to, budući da su i te tačke prekidne.

Ne znan otkud su mi se stvorile uglate xD te sve greškice pripisujem umoru. Sutra takvo nešto sigurno neću griješiti od jutros do sada sam uz mat

Oće to...
Obrati samo pažnju na te vertikalne asimptote, imam utisak da te jedino to zbunjuje... One se određuju u svim prekidnim tačkama, kao i na granicama između oblasti u kojima je funkcija definisana i u kojima nije definisana... U ovom slučaju imamo, znači, četiri vertikalne asimptote: levo od [inlmath]1[/inlmath] (ide u [inlmath]+\infty[/inlmath]), desno od [inlmath]2[/inlmath] (ide u [inlmath]+\infty[/inlmath]), levo od [inlmath]3[/inlmath] (ide u [inlmath]-\infty[/inlmath]) i desno od [inlmath]4[/inlmath] (ide u [inlmath]-\infty[/inlmath]).

Ma ne, ne zbunjuju me vertikalne. Naprotiv, njih najbolje znam, i to odrediti hoće li biti + ili minus beskonačno. S kosima uvijek imam problema

Sutra ću to opet jer sada nisam ni za što

[dispmath]f(x)=\sqrt{|x-1|}\left(2-\ln(x-1)^2\right)[/dispmath]
Kako se određuje domena ove funkcije?

Potkorena veličina je modul nekog broja, a on može biti samo pozitivan ili nula. Budući da je kvadratni koren definisan i kada je argument pozitivan i kada je argument nula, potkorenu veličinu ne uzimamo u razmatranje pri određivanju domena.
U argumentu logaritma se nalazi kvadrat nekog broja, koji takođe može biti samo pozitivan ili nula. Međutim, pošto argument logaritma, za razliku od potkorene veličine, mora biti strogo veći od nule, ovde moramo postaviti uslov da argument lograritma mora biti različit od nule (budući da manji od nule ne može biti).
Znači, domen je
[dispmath]x\in\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}[/dispmath]

Ok.

Izračunao sam (valjda je točno), da nema nultočaka, niti vertikalnih i horizontalnih asimptota, ali kako kose izračunati iz ovoga :/ ?

Nemam sad vremena da se bavim asimptotama (odnosno, računom uopšte), a ovako na brzaka ti mogu reći da nula ima iako nisi uspeo da ih dobiješ. Izjednači ovo u zagradi sa nulom i eto ih.

[dispmath]f\left(x\right)=\sqrt{\left|x-1\right|}\left[2-\ln\left(x-1\right)^2\right]=2\sqrt{\left|x-1\right|}\left(1-\ln\left|x-1\right|\right)[/dispmath]
Leva kosa:
[dispmath]k=\lim_{x\to -\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=2\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{\left|x-1\right|}\left(1-\ln\left|x-1\right|\right)}{x}=2\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{1-x}\left[1-\ln\left( 1-x\right)\right]}{x}[/dispmath]
Pa primenimo l'Hopital-a:
[dispmath]k=2\lim_{x\to -\infty}\frac{\left\{\sqrt{1-x}\left[1-\ln\left( 1-x\right)\right]\right\}'}{\left(x\right)'}=2\lim_{x\to -\infty}\left[\frac{1-\ln\left(1-x\right)}{-2\sqrt{1-x}}+\sqrt{1-x}\cdot\frac{1}{1-x}\right]=[/dispmath][dispmath]=2\lim_{x\to -\infty}\left[\frac{1}{-2\sqrt{1-x}}-\frac{\ln\left(1-x\right)}{-2\sqrt{1-x}}+\frac{1}{\sqrt{1-x}}\right]=\lim_{x\to -\infty}\frac{\ln\left(1-x\right)}{\sqrt{1-x}}[/dispmath]
Pa ponovo l'Hopital-a:
[dispmath]k=\lim_{x\to -\infty}\frac{\left[\ln\left(1-x\right)\right]'}{\left(\sqrt{1-x}\right)'}=\lim_{x\to -\infty}\frac{-\frac{1}{1-x}}{-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}}=2\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{1-x}}{1-x}=0[/dispmath]
Za [inlmath]n[/inlmath] bi se dobilo da je [inlmath]-\infty[/inlmath].

Sličan je postupak (i isti rezultat) i za desnu kosu asimptotu.

Rezultat [inlmath]k=0[/inlmath] naveo bi nas na to da se radi o horizontalnoj asimptoti, budući da kriva teži pravcu koji je paralelan s [inlmath]x[/inlmath]-osom. Međutim, [inlmath]n=-\infty[/inlmath], što bi značilo da se taj pravac nalazi beskonačno daleko ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose. Zbog toga kose asimptote ne postoje.

Što ako se u zadatku traži da se odrede intervali monotonosti i zakrivljenosti, a ne traže se ekstremi i infleksije? Da li je uopće moguće odrediti prvo bez drugoga? Vjerovatno da, ali pretpostavljam da nećemo imati "precizne" parametre (kao s ekstremima i infleksijom) ?

Zašto ne bi bilo moguće? Kad se traži i jedno i drugo, tada rešavaš i jednačinu i nejednačinu, a ovako rešavaš samo nejednačinu...

Nisam mislio na ovaj zadatak poviše, nego općenio

Moj odgovor se nije ni odnosio konkretno na taj zadatak, nego uopšte.

Ali, svakako moramo odrediti prvu derivaciju (izvod) - monotonost i drugu (zakrivljenost) ? Mislim, ne može bez toga...

Dabome. I kad se traže ekstremi i infleksije izjednačimo ih s nulom i imamo jednačine, a kad se traži tok i zakrivljenost, napišemo da su veći, odnosno manji od nule i imamo nejednačine.
O tome govorim.

Pitanje:

Kada tražim intervale monotonosti pomoću tabele, koje sve parametre uvrštavam u nju?7
Nultočke, da ili ne? (točke ekstrema se, naravno, podrazumijeva)

Kada tražim intervale zakrivljenosti, uvrštavam li također nultočke, kao i točke ekstrema (točke zakrivljenosti se podrazumijeva)

Nultočke nemaju nikakve veze s intervalima monotonosti. Nultočka se može nalaziti usred intervala u kome je funkcija monotona (rastuća ili opadajuća) – evo ti kao primer kvadratna funkcija koja seče [inlmath]x[/inlmath]-osu u dvema tačkama.
Znači, u tabelu intervala monotonosti uvrštavaš samo tačke ekstrema, bez nultočaka. I uvrštavaš i tačke prekida prvog izvoda ako ih ima, jer i one mogu biti granica između rastućeg i opadajućeg (ili opadajućeg i rastućeg) intervala.

Analogno tome, u tabelu intervala zakrivljenosti ne uvrštavaš ni nultočke ni tačke ekstrema, već samo prevojne tačke (iliti tačke infleksije), kao i prekidne tačke drugog izvoda ako postoje.

A vertikalne asimptote? Sve sam ovo bio znao, ali se malo podsjećam

Vertikalne asimptote mogu postojati samo u okolini prekidnih tačaka funkcije ili u okolini tačaka koje predstavljaju granicu između definisanog i nedefinisanog dela funkcije.

A koliko se sjećam, i one se uvrštavaju u tabelu?

Da, kao što sam i napisao.

evo i problema
[dispmath]f(x)=e^\frac{x^2-1}{x^2-4}[/dispmath]
U domeni su svi realni brojevi osim [inlmath]\pm 2[/inlmath].
[inlmath]2[/inlmath] je desna vertikalna asimptota
[inlmath]-2[/inlmath] je lijeva vertikalna asimptota

Ekstrem je [inlmath]0[/inlmath].

Sada, kada napravim tablicu koja se sastoji od: [inlmath]-\infty[/inlmath], [inlmath]-2[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath]
(nula se dobilo iz [inlmath]-6x[/inlmath], a [inlmath]\pm 2[/inlmath] iz [inlmath]x^2-4[/inlmath]), dobijem ovako

[inlmath]\left<-\infty,-2\right>[/inlmath] raste
[inlmath]\left<-2,0\right>[/inlmath] pada (a trebalo bi također rasti)
[inlmath]\left<0,2\right>[/inlmath] raste (a trebalo bi padati)
[inlmath]\left<2,+\infty\right>[/inlmath] pada

U čemu je problem? Zbog čega mi je tablica dala krivi rezultat?

Ne znam kako si došao do tog rezultata. Ako si ispravno našao prvi izvod ove funkcije, on će biti
[dispmath]f\:'\left(x\right)=-\frac{6x}{\left(x^2-4\right)^2}e^\frac{x^2-1}{x^2-4}[/dispmath]
pa, pošto su [inlmath]\left(x^2-4\right)^2[/inlmath] i [inlmath]e^\frac{x^2-1}{x^2-4}[/inlmath] uvek pozitivni, znak prvog izvoda će biti isti kao i znak izraza [inlmath]-6x[/inlmath], tj. znak prvog izvoda će biti suprotan znaku [inlmath]x[/inlmath]. Kad je [inlmath]x<0[/inlmath] izvod je pozitivan [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] funkcija je rastuća i, obratno, kad je [inlmath]x>0[/inlmath] izvod je negativan [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] funkcija je opadajuća.

Prekidne tačke u ovom slučaju ne predstavljaju granicu između rastućeg i opadajućeg (opadajućeg i rastućeg) intervala. Možda te to buni.

Ni tačka u kojoj je prvi izvod jednak nuli ne mora, u opštem slučaju, predstavljati granicu između rastućeg i opadajućeg (opadajućeg i rastućeg) intervala. Očigledan primer ti je [inlmath]f\left(x\right)=x^3[/inlmath] i tačka [inlmath]x=0[/inlmath], u kojoj prvi izvod jeste jednak nuli, ali to nije tačka ekstrema, već tačka infleksije, a funkcija je monotono rastuća na celom domenu realnih brojeva.


I, molim te, nemoj ovo pisati ovako:

eseper je napisao:[inlmath]2[/inlmath] je desna vertikalna asimptota
[inlmath]-2[/inlmath] je lijeva vertikalna asimptota

[inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]-2[/inlmath] nisu asimptote, već brojevi. Za vertikalne asimptote moraš naći koliko je

[inlmath]\lim\limits_{x\to-2^-}f\left(x\right)=\cdots[/inlmath]

[inlmath]\lim\limits_{x\to-2^+}f\left(x\right)=\cdots[/inlmath]

[inlmath]\lim\limits_{x\to 2^-}f\left(x\right)=\cdots[/inlmath]

[inlmath]\lim\limits_{x\to 2^+}f\left(x\right)=\cdots[/inlmath]

Prva derivacija mi je identična.

E, upravo me to buni. Onda, je li se prekidne točke uzimaju u obzir kada imamo obostranu vertikalnu asimptotu, ili ni tada ne mora? To nisam dokučio Po čemu ću znati da li ih trebam obuhvatiti u tablici?

Znam da je to nepravilno, ali bitno da se zna na što mislim. Često kao što si primjetio skratim na taj način iako ne bih trebao

Ako je [inlmath]\lim\limits_{x\to a^-}f\left(x\right)=-\infty[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to a^+}f\left(x\right)=+\infty[/inlmath], onda je intuitivno jasno da prekidna tačka [inlmath]x=a[/inlmath] ne predstavlja granicu između različitih intervala monotonosti, već je funkcija opadajuća i levo i desno od te prekidne tačke.

Analogno tome (pa sad ide copy/paste s malim izmenama ), ako je [inlmath]\lim\limits_{x\to a^-}f\left(x\right)=+\infty[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to a^+}f\left(x\right)=-\infty[/inlmath], onda je intuitivno jasno da prekidna tačka [inlmath]x=a[/inlmath] ne predstavlja granicu između različitih intervala monotonosti, već je funkcija rastuća i levo i desno od te prekidne tačke.

Međutim, kada je [inlmath]\lim\limits_{x\to a^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to a^+}f\left(x\right)=-\infty[/inlmath], tada je intuitivno jasno da će funkcija levo od prekidne tačke [inlmath]x=a[/inlmath] biti opadajuća, a desno od te prekidne tačke će biti rastuća, te će ta prekidna tačka predstavljati granicu između opadajućeg i rastućeg intervala.

Isto tako, kada je [inlmath]\lim\limits_{x\to a^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to a^+}f\left(x\right)=+\infty[/inlmath], tada je intuitivno jasno da će funkcija levo od prekidne tačke [inlmath]x=a[/inlmath] biti rastuća, a desno od te prekidne tačke će biti opadajuća, te će ta prekidna tačka predstavljati granicu između rastućeg i opadajućeg intervala.

Znači, prekidne tačke funkcije su samo „kandidati“ da budu granice između različitih intervala monotonosti. A da li to zaista i jesu, to treba naknadno ispitati.
Isto, uostalom, kao što su „kandidati“ tačke u kojima je prvi izvod jednak nuli, ali tek kad ispitamo drugi izvod i ako je on različit od nule, znaćemo da se zaista radi o ekstremu.
A može funkcija da bude i neprekidna i da nema nijednu tačku u kojoj je [inlmath]f\:'\left(x\right)=0[/inlmath], pa da opet ima različite intervale monotonosti – jedan takav primer je funkcija [inlmath]f\left(x\right)=\left|x\right|[/inlmath], koja je neprekidna, prvi izvod joj ni u jednoj tački nije nula, ali u tački [inlmath]x=0[/inlmath] prvi izvod nije definisan i upravo ta tačka predstavlja granicu između opadajućeg i rastućeg intervala.

Hvala, sada mi je jasno

Bome, druga derivacija za točke ekstrema je dosita komplicirana, ali uspio sam dobiti
[dispmath]x=\pm 2\sqrt{\frac{2}{3}}[/dispmath] i nacrtati graf

Grafik ima samo jednu tačku ekstrema, to je maksimum [inlmath]\left(0,\sqrt[4]e\right)[/inlmath], a to što si napisao, to su, valjda, [inlmath]x[/inlmath]-koordinate tačaka infleksije?

Tako je, infleksije

Kako bi izgledao graf funkcije [dispmath]f(x)=\sin(\arcsin x)[/dispmath]

Sinus i arkus sinus su, ako se posmatra njihov interval definisanosti, međusobno inverzne funkcije, tako da će biti [inlmath]\sin\left(\arcsin x\right)=x[/inlmath] u onoj oblasti u kojoj je ta funkcija definisana.

E, sad, treba videti u kom intervalu je ta funkcija definisana, a to ti, pretpostavljam, nije problem.