Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA GRAFIK FUNKCIJE

Ekstremi funkcije

Domen, (ne)parnost, nule, znak, asimptote, ekstremi, monotonost itd.

Ekstremi funkcije

Postod eseper » Petak, 11. Januar 2013, 21:51

Ako može netko napisati i derivaciju...

1.
[dispmath]f(x)=\frac{\ln x}{x}e^{-\ln^2x}[/dispmath]
2.
[dispmath]f(x)=x^\frac{2}{3}(1-x)^\frac{2}{3}[/dispmath]
Poslednji put menjao eseper dana Subota, 19. Januar 2013, 18:58, izmenjena samo jedanput
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ekstremi funkcije

Postod Daniel » Petak, 11. Januar 2013, 22:46

eseper je napisao:1.
[dispmath]f(x)=\frac{\ln x}{x}e^{-\ln^2x}[/dispmath]

[dispmath]f'\left(x\right)=\left(\frac{\ln x}{x}e^{-\ln^2 x}\right)'[/dispmath]
Formula za izvod proizvoda dve funkcije [inlmath]\left(uv\right)'=u'v+uv'[/inlmath]:
[dispmath]f'\left(x\right)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)'e^{-\ln^2 x}+\frac{\ln x}{x}\left(e^{-\ln^2 x}\right)'[/dispmath]
Formula za izvod količnika dve funkcije [inlmath]\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}[/inlmath]:
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{\left(\ln x\right)'\cdot x-\ln x\cdot\left(x\right)'}{x^2}e^{-\ln^2 x}+\frac{\ln x}{x}\left(e^{-\ln^2 x}\right)'[/dispmath]
Rešavanje izvoda složene funkcije [inlmath]\left[g\circ f\left(x\right)\right]'=g'_f\cdot f'\left(x\right)[/inlmath]:
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}e^{-\ln^2 x}+\frac{\ln x}{x}e^{-\ln^2 x}\cdot\left(-\ln^2 x\right)'[/dispmath]
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{1-\ln x}{x^2}e^{-\ln^2 x}-\frac{\ln x}{x}e^{-\ln^2 x}\cdot\left(\ln^2 x\right)'[/dispmath]
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{1-\ln x}{x^2}e^{-\ln^2 x}-\frac{\ln x}{x}e^{-\ln^2 x}\cdot\left(2\ln x\right)\left(\ln x\right)'[/dispmath]
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{1-\ln x}{x^2}e^{-\ln^2 x}-2\frac{\ln^2 x}{x}e^{-\ln^2 x}\cdot\frac{1}{x}[/dispmath]
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{1-\ln x-2\ln^2 x}{x^2}e^{-\ln^2 x}[/dispmath]
Ako ćeš računati ekstreme, onda je, radi izjednačavanja prvog izvoda s nulom, zgodnije ovo u brojiocu napisati u faktorizovanom obliku:
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{\left(1-2\ln x\right)\left(\ln x+1\right)}{x^2}e^{-\ln^2 x}[/dispmath]


Ovaj drugi,
eseper je napisao:2.
[dispmath]f(x)=x^\frac{2}{3}(1-x)^\frac{2}{3}[/dispmath]

možeš pokušati i sâm (mnogo je jednostavniji od prvog), koristeći jedan od elementarnih izvoda, [inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath], tj. u ovom slučaju [inlmath]\left(x^\frac{2}{3}\right)'=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}[/inlmath]

Pa ako baš ne ide, uradićemo i to... :whistle:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Ekstremi funkcije

Postod eseper » Subota, 12. Januar 2013, 10:22

U prvom sam dobio sljedeće ekstreme:
[dispmath]T_\mbox{max}\left(\frac{1}{e},-e^2\right)\\
T_\mbox{min}\left(\sqrt{e},\frac{e}{2}\right)[/dispmath]
Može li netko provjeriti?

Edit: iako, kad idem nacrtati, i nema baš neke logike. :(
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Ekstremi funkcije

Postod Daniel » Subota, 12. Januar 2013, 11:35

:techie-error:

[inlmath]x[/inlmath]-koordinate su ti dobre, [inlmath]y[/inlmath]-koordinate ti ne valjaju. *PUNISH*

(Ne zameri mi, zaludeo sam se ovim novim smajlijima, kô malo dete novom igračkom :DD )

Kako si radio? Si dobijene [inlmath]x[/inlmath]-koordinate uvrstio umesto [inlmath]x[/inlmath] u prvobitnu funkciju?

Ispravna rešenja su
[dispmath]T_\mbox{min}\left(\frac{1}{e},-1\right)\\
T_\mbox{max}\left(\sqrt e,\frac{1}{2}e^{-\frac{3}{4}}\right)[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Ekstremi funkcije

Postod eseper » Subota, 12. Januar 2013, 11:40

Daniel je napisao:Kako si radio? Si dobijene [inlmath]x[/inlmath]-koordinate uvrstio umesto [inlmath]x[/inlmath] u prvobitnu funkciju?

Da. Ali očito je nešto pošlo po krivu :whistle:

Daniel je napisao:Ispravna rešenja su
[dispmath]T_\mbox{min}\left(\frac{1}{e},-1\right)\\
T_\mbox{max}\left(\sqrt e,\frac{1}{2}e^{-\frac{3}{4}}\right)[/dispmath]

Kasnije ću probati ponovno pa javim jesam to dobio. :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Ekstremi funkcije

Postod eseper » Subota, 12. Januar 2013, 11:57

Otkrio grešku i sada mi je ispalo točno. :)

Međutim, kako bi išao graf ove funkcije?

U domeni funkcije su svi realni brojevi osim [inlmath]0[/inlmath].

Funkcija od beskonačnosti do [inlmath]-1[/inlmath] raste, od [inlmath]-1[/inlmath] do jedne polovine pada, i od jedne polovine u beskonačnost raste.
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Ekstremi funkcije

Postod Daniel » Subota, 12. Januar 2013, 12:44

eseper je napisao:U domeni funkcije su svi realni brojevi osim [inlmath]0[/inlmath].

Domen su samo vrednosti veće od nule. Ne zaboravi da argument logaritma mora biti strogo veći od nule. Prema tome, ova funkcija za negativne vrednosti nije definisana.

eseper je napisao:Funkcija od beskonačnosti do [inlmath]-1[/inlmath] raste, od [inlmath]-1[/inlmath] do jedne polovine pada, i od jedne polovine u beskonačnost raste.

Di nađe jednu polovinu, za [inlmath]x[/inlmath]-koordinate ekstremnih vrednosti smo dobili [inlmath]\frac{1}{e}[/inlmath] i [inlmath]\sqrt e[/inlmath], nigde se ne pojavljuje jedna polovina? :wtf:

Funkcija nije definisana u nuli, ali desni limes u nuli joj je [inlmath]0[/inlmath]. Kako [inlmath]x[/inlmath] raste, funkcija opada do minimuma [inlmath]\left(\frac{1}{e},-1\right)[/inlmath], a zatim počinje da raste. U [inlmath]x=1[/inlmath] će imati nulu, tj. tu preseca [inlmath]x[/inlmath]-osu i kreće ka pozitivnim vrednostima, da bi u [inlmath]\left(\sqrt e,\frac{1}{2}e^{-\frac{3}{4}}\right)[/inlmath] dostigla svoj maksimum, posle koga ponovo opada i za [inlmath]x\to +\infty[/inlmath] vrednost funkcije se asimptotski približava nuli.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Ekstremi funkcije

Postod eseper » Subota, 12. Januar 2013, 13:18

Oh, da, zaboravio sam da je ovo logaritamska funkcija :text-thankyouyellow:

To je zbog toga što sam ja uvodio smjenu, [inlmath]t[/inlmath], pa kada se vratio dobijemo one [inlmath]x[/inlmath] vrijednosti minimuma i maksimuma.

Može graf? :)
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Ekstremi funkcije

Postod Daniel » Subota, 12. Januar 2013, 20:13

Ne razumem šta će ti smena [inlmath]t[/inlmath] za određivanje minimuma i maksimuma. [inlmath]x[/inlmath]-koordinate ekstrema dobiješ tako što prvi izvod izjednačiš s nulom, a to će biti kada je [inlmath]\ln x=-1\:\lor\:\ln x=\frac{1}{2}[/inlmath], tj. [inlmath]x=\frac{1}{e}\:\lor\:x=\sqrt e[/inlmath], pa zatim, da bi pronašao i njihove [inlmath]y[/inlmath]-koordinate, u prvom slučaju u izrazu za funkciju umesto [inlmath]\ln x[/inlmath] pišeš [inlmath]-1[/inlmath] a umesto [inlmath]x[/inlmath] pišeš [inlmath]\frac{1}{e}[/inlmath] i dobiješ [inlmath]y_1=-1[/inlmath], a u drugom slučaju u izrazu za funkciju umesto [inlmath]\ln x[/inlmath] pišeš [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] a umesto [inlmath]x[/inlmath] pišeš [inlmath]\sqrt e[/inlmath] i dobiješ [inlmath]y_2=\frac{1}{2}e^{-\frac{3}{4}}[/inlmath]. Ja, iskreno, ne vidim način kako bi to uradio smenom.

Evo grafika:

grafik.png
grafik.png (1.18 KiB) Pogledano 957 puta
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Ekstremi funkcije

Postod eseper » Subota, 12. Januar 2013, 20:18

Nisi me shvatio. ;)

Tamo gdje si ti napravio faktorizaciju u derivaciji, e tu je ja nisan uradio, nego sam ostavio kao kvadratnu jednadžbu. Tu sam tada ubacio smjenu. ;)

Hvala na grafu! :D
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sledeća

Povratak na GRAFIK FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 33 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 10:32 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs