Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA GRAFIK FUNKCIJE

Ekstremi funkcije

Domen, (ne)parnost, nule, znak, asimptote, ekstremi, monotonost itd.

Re: Ekstremi funkcije, monotonost i infleksija

Postod eseper » Subota, 12. Januar 2013, 20:28

Kako u ovom slučaju odrediti intervale monotonosti? Pokušavam to, ali mi se ne podudara nikako s grafom :( Pomoć :oops:
Poslednji put menjao eseper dana Subota, 12. Januar 2013, 23:46, izmenjena samo jedanput
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ekstremi funkcije

Postod Daniel » Subota, 12. Januar 2013, 20:59

eseper je napisao:Nisi me shvatio. ;)

Tamo gdje si ti napravio faktorizaciju u derivaciji, e tu je ja nisan uradio, nego sam ostavio kao kvadratnu jednadžbu. Tu sam tada ubacio smjenu. ;)

Aha, OK, sad kontam. :thumbup:

eseper je napisao:Kako u ovom slučaju odrediti intervale monotonosti? Pokušavam to, ali mi se ne podudara nikako s grafom :( Pomoć :oops:

Treba, naravno, razmatrati kad je prvi izvod veći, a kad manji od nule. Pošto je prvi izvod jednak
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{\left(1-2\ln x\right)\left(\ln x+1\right)}{x^2}e^{-\ln^2 x}[/dispmath]
vidimo da su u tom izrazu članovi [inlmath]x^2[/inlmath] i [inlmath]e^{-\ln^2 x}[/inlmath] uvek veći od nule (uz, naravno, već utrvđen uslov da je [inlmath]x\ne 0[/inlmath]), tako da se određivanje znaka prvog izvoda svodi na određivanje znaka [inlmath]\left(1-2\ln x\right)\left(\ln x+1\right)[/inlmath].

Znači, da bi funkcija bila rastuća, tj. da bi prvi izvod bio pozitivan, mora biti
[inlmath]\left(1-2\ln x>0\:\land\:\ln x+1>0\right)\:\lor\:\left(1-2\ln x<0\:\land\:\ln x+1<0\right)[/inlmath]

Da bi funkcija bila opadajuća, prvi izvod mora biti negativan:
[inlmath]\left(1-2\ln x>0\:\land\:\ln x+1<0\right)\:\lor\:\left(1-2\ln x<0\:\land\:\ln x+1>0\right)[/inlmath]

Pošto je [inlmath]\ln x[/inlmath] monotono rastuća funkcija, pri oslobađanju od prirodnog logaritma ne menja se znak nejednakosti. Konkretno:
[inlmath]1-2\ln x>0\quad\Rightarrow\quad\ln x<\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad x<e^\frac{1}{2}[/inlmath]

Tako uradiš i za ostale slučajeve... I onda imaš klasičan sistem nejednačina... Nađeš preseke, unije i odrediš intervale...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8854
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4901 puta
Pohvaljen: 4736 puta

Re: Ekstremi funkcije

Postod eseper » Subota, 12. Januar 2013, 23:42

Daniel je napisao:Znači, da bi funkcija bila rastuća, tj. da bi prvi izvod bio pozitivan, mora biti
[inlmath]\left(1-2\ln x>0\:\land\:\ln x+1>0\right)\:\lor\:\left(1-2\ln x<0\:\land\:\ln x+1<0\right)[/inlmath]

Za prve dvije nejednadžbe, presjek mi ispada [inlmath]x\in\left<e^{-1},e^\frac{1}{2}\right>[/inlmath]
Za desne dvije [inlmath]x\in\left<-\infty,e^{-1}\right>\cup\left<e^\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath]
A njihova unija [inlmath]x\in\left<-\infty,e^{-1}\right>\cup\left<e^\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath] (ako ovaj dio nije točan, može odmah ispravak ;))

Daniel je napisao:Da bi funkcija bila opadajuća, prvi izvod mora biti negativan:
[inlmath]\left(1-2\ln x>0\:\land\:\ln x+1<0\right)\:\lor\:\left(1-2\ln x<0\:\land\:\ln x+1>0\right)[/inlmath]

Presijek lijevih je [inlmath]\left<-\infty,e^{-1}\right>[/inlmath], a desnih [inlmath]\left<e^\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath]
Njihova unija je [inlmath]\left<-\infty,e^{-1}\right>\cup\left<e^\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath]


Pod uvjetom da je ovo sve točno, kako iz ovoga iščitati monotonost?
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Ekstremi funkcije

Postod Daniel » Nedelja, 13. Januar 2013, 00:44

eseper je napisao:
Daniel je napisao:Znači, da bi funkcija bila rastuća, tj. da bi prvi izvod bio pozitivan, mora biti
[inlmath]\left(1-2\ln x>0\:\land\:\ln x+1>0\right)\:\lor\:\left(1-2\ln x<0\:\land\:\ln x+1<0\right)[/inlmath]

Za prve dvije nejednadžbe, presjek mi ispada [inlmath]x\in\left<e^{-1},e^\frac{1}{2}\right>[/inlmath]

Tačno. *YES*

eseper je napisao:Za desne dvije [inlmath]x\in\left<-\infty,e^{-1}\right>\cup\left<e^\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath]

:techie-error: Ne unija, zašto unija? Za prve dve nejednačine si lepo tražio presek, zašto nisi i ovde? Kad imamo znak [inlmath]\land[/inlmath] (logičko I), njemu odgovara presek.
A presek ova dva intervala bi bio prazan skup, tj. ne bi bilo rešenja.

Pa bi njihova unija bila unija intervala [inlmath]\left(e^{-1},e^\frac{1}{2}\right)[/inlmath] i praznog skupa, a to bi bio sâm interval [inlmath]\left(e^{-1},e^\frac{1}{2}\right)[/inlmath].

eseper je napisao:
Daniel je napisao:Da bi funkcija bila opadajuća, prvi izvod mora biti negativan:
[inlmath]\left(1-2\ln x>0\:\land\:\ln x+1<0\right)\:\lor\:\left(1-2\ln x<0\:\land\:\ln x+1>0\right)[/inlmath]

Presijek lijevih je [inlmath]\left<-\infty,e^{-1}\right>[/inlmath], a desnih [inlmath]\left<e^\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath]
Njihova unija je [inlmath]\left<-\infty,e^{-1}\right>\cup\left<e^\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath]

E, ovo je tačno. :thumbup: Vidiš, tu si prvo tražio preseke, pa zatim njihovu uniju, baš kao što i treba.

eseper je napisao:Pod uvjetom da je ovo sve točno, kako iz ovoga iščitati monotonost?

Pa, pročitaj gore, lepo sve piše.:) „da bi funkcija bila rastuća...“ pa smo onda došli do rešenja [inlmath]x\in\left(e^{-1},e^\frac{1}{2}\right)[/inlmath]
Isto tako, „Da bi funkcija bila opadajuća...“ pa smo došli do rešenja [inlmath]x\in\left(-\infty,e^{-1}\right)\cup\left(e^\frac{1}{2},+\infty\right)[/inlmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8854
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4901 puta
Pohvaljen: 4736 puta

Re: Ekstremi funkcije

Postod eseper » Nedelja, 13. Januar 2013, 11:21

E, hvala. Znači, prvo je zapravo trebalo napraviti intervale monotonosti, da bismo iz njih saznali što je minimum, a što maksimum. Jesam li u pravu? :)

Daniel je napisao:Ovaj drugi,
eseper je napisao:2.
[dispmath]f(x)=x^\frac{2}{3}(1-x)^\frac{2}{3}[/dispmath]

možeš pokušati i sâm (mnogo je jednostavniji od prvog), koristeći jedan od elementarnih izvoda, [inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath], tj. u ovom slučaju [inlmath]\left(x^\frac{2}{3}\right)'=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}[/inlmath]

Pa ako baš ne ide, uradićemo i to... :whistle:

Možeš li je napisati? Kao kritične točke trebamo dobiti 3 rješenja, [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Međutim, ja nikako ni da derivaciju riješim... :pace:
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Ekstremi funkcije

Postod Daniel » Nedelja, 13. Januar 2013, 17:47

eseper je napisao:E, hvala. Znači, prvo je zapravo trebalo napraviti intervale monotonosti, da bismo iz njih saznali što je minimum, a što maksimum. Jesam li u pravu? :)

Sasvim logično razmišljanje, ali ja ti ipak preporučujem da ideš onim redom kojim to profa traži... Ako traži da se striktno ide po tačkama, tj. da se prvo odrede ekstremi pa tek onda monotonost, onda i ti radi tako.
U tom slučaju, odrediš estreme izjednačavanjem prvog izvoda s nulom, pa iz znaka drugog izvoda u toj tački odrediš da li se radi o maksimumu ili minimumu (ili, možda, o prevojnoj tački ako je drugi izvod jednak nuli). Pa zatim, u okviru sledeće tačke, radiš ispitivanje monotonosti tražeći znak prvog izvoda na pojedinim intervalima...

eseper je napisao:
Daniel je napisao:Ovaj drugi,
možeš pokušati i sâm (mnogo je jednostavniji od prvog), koristeći jedan od elementarnih izvoda, [inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath], tj. u ovom slučaju [inlmath]\left(x^\frac{2}{3}\right)'=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}[/inlmath]

Pa ako baš ne ide, uradićemo i to... :whistle:

Možeš li je napisati? Kao kritične točke trebamo dobiti 3 rješenja, [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Međutim, ja nikako ni da derivaciju riješim... :pace:

OK, nemoj plakati, :mazi: sve se dâ rešiti. :big:
[dispmath]f\left(x\right)=x^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^\frac{2}{3}[/dispmath][dispmath]f'\left(x\right)=\left[x^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\right]'[/dispmath][dispmath]f'\left(x\right)=\left(x^\frac{2}{3}\right)'\left(1-x\right)^\frac{2}{3}+x^\frac{2}{3}\left[\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\right]'[/dispmath][dispmath]f'\left(x\right)=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}\left(1-x\right)^\frac{2}{3}+x^\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\left(1-x\right)^{\frac{2}{3}-1}\left(1-x\right)'[/dispmath][dispmath]f'\left(x\right)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\left(1-x\right)^\frac{2}{3}+\frac{2}{3}x^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^{-\frac{1}{3}}\cdot\left(-1\right)[/dispmath][dispmath]f'\left(x\right)=\frac{2}{3}\left[x^{-\frac{1}{3}}\left(1-x\right)^\frac{2}{3}-x^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^{-\frac{1}{3}}\right][/dispmath][dispmath]f'\left(x\right)=\frac{2}{3}\left[\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}}-\frac{x^\frac{2}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\right]\quad x\ne0,\quad x\ne 1[/dispmath]
Tačku ekstrema dobijamo tako što prvi izvod izjednačimo s nulom:
[dispmath]f'\left(x\right)=0[/dispmath][dispmath]\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}}-\frac{x^\frac{2}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}=0[/dispmath][dispmath]\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}}=\frac{x^\frac{2}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}[/dispmath][dispmath]\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}=x^\frac{1}{3}x^\frac{2}{3}[/dispmath][dispmath]1-x=x[/dispmath][dispmath]2x=1[/dispmath][dispmath]x=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]y=f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{2}\right)^\frac{2}{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2}{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}=[/dispmath][dispmath]=\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{4}{3}=\frac{1}{\sqrt[3]{16}}=\frac{1}{\sqrt[3]{4\cdot 4}}=\frac{1}{\sqrt[3]4\cdot\sqrt[3]4}\cdot\frac{\sqrt[3]4}{\sqrt[3]4}=\frac{\sqrt[3]4}{4}[/dispmath]
Ekstremna vrednost: [inlmath]\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt[3]4}{4}\right)[/inlmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8854
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4901 puta
Pohvaljen: 4736 puta

Re: Ekstremi funkcije

Postod eseper » Ponedeljak, 14. Januar 2013, 08:59

Uh, malo drukčije nego smo navikli rješavati ovakve tipove.

Ima li smisla u ovom zadatku tražiti asimptote? Vertikalnih nema (u domeni su svi realni brojevi), a horizontalne i kose?

Inače, ovo što si ti dobio bi trebao biti [inlmath]T_\mbox{max}[/inlmath], jel točno?

Što se tiče intervala monotonosti, dobio sam da funkcija raste od [inlmath]\left<-\infty,\frac{1}{2}\right>[/inlmath], a pada od [inlmath]\left<\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath]

Ukoliko nema smisla tražiti horizontalne i kose asimptote, preostaju mi još točka infleksije i intervali zakrivljenosti. To sam probao, međutim druga derivacija je vrlo složena, nisam došao do rješenja. :pace:
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

  • +1

Re: Ekstremi funkcije

Postod Daniel » Ponedeljak, 14. Januar 2013, 13:09

Samo pre nego što krenem s odgovorima, jedno objašnjenje za moj prethodni post. Kada sam prilikom računanja prvog izvoda napisao [inlmath]x\ne 0,\: x\ne 1[/inlmath], pod time sam mislio da prvi izvod nije definisan u tim tačkama. Sama funkcija je, naravno, definisana (i iznosi [inlmath]0[/inlmath]).
Šta znači kad je u nekoj tački funkcija definisana, a njen prvi izvod nije definisan? To znači da u tim tačkama nije moguće jednoznačno odrediti tangentu na funkciju, tj. da u toj tački funkcija nije glatka, već ima „šiljak“. A na šiljak, naravno, nije moguće povući tangentu, tako da tu nema ni prvog izvoda. To se kaže da funkcija u toj tački nije diferencijabilna.

eseper je napisao:Uh, malo drukčije nego smo navikli rješavati ovakve tipove.

Na šta konkretno misliš? :eh:

eseper je napisao:Ima li smisla u ovom zadatku tražiti asimptote? Vertikalnih nema (u domeni su svi realni brojevi), a horizontalne i kose?

Naravno da se moraju tražiti asimptote. Srećom, vrlo lako se dobije da, kao ni vertikalne, isto tako ne postoje ni horizontalne, ni kose.

eseper je napisao:Inače, ovo što si ti dobio bi trebao biti [inlmath]T_\mbox{max}[/inlmath], jel točno?

:mhm: Pošto je drugi izvod u toj tački negativan.

eseper je napisao:Što se tiče intervala monotonosti, dobio sam da funkcija raste od [inlmath]\left<-\infty,\frac{1}{2}\right>[/inlmath], a pada od [inlmath]\left<\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath]

:nene: :techie-error:

eseper je napisao:Ukoliko nema smisla tražiti horizontalne i kose asimptote, preostaju mi još točka infleksije i intervali zakrivljenosti. To sam probao, međutim druga derivacija je vrlo složena, nisam došao do rješenja. :pace:

OK, samo bez panike, :mrgreen: evo postupka za drugi izvod:
[dispmath]f''\left(x\right)=\left[f'\left(x\right)\right]'=\frac{2}{3}\left[\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}}-\frac{x^\frac{2}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\right]'[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{3}\left[\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}}\right]'-\frac{2}{3}\left[\frac{x^\frac{2}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\right]'[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{3}\frac{\left[\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\right]'x^\frac{1}{3}-\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\left(x^\frac{1}{3}\right)'}{x^\frac{2}{3}}-\frac{2}{3}\frac{\left(x^\frac{2}{3}\right)'\left(1-x\right)^\frac{1}{3}-x^\frac{2}{3}\left[\left(1-x\right)^\frac{1}{3}\right]'}{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{3}\frac{\frac{2}{3}\left(1-x\right)^{-\frac{1}{3}}\left(1-x\right)'x^\frac{1}{3}-\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}}{x^\frac{2}{3}}-\frac{2}{3}\frac{\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}-x^\frac{2}{3}\frac{1}{3}\left(1-x\right)^{-\frac{2}{3}}\left(1-x\right)'}{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{2\left(1-x\right)^{-\frac{1}{3}}\left(-1\right)\cdot x^\frac{1}{3}-\left(1-x\right)^\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}}{x^\frac{2}{3}}-\frac{2}{9}\frac{2x^{-\frac{1}{3}}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}-x^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^{-\frac{2}{3}}\left(-1\right)}{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{-2\left(1-x\right)^{-\frac{1}{3}}x^\frac{1}{3}-\left(1-x\right)^\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}}{x^\frac{2}{3}}-\frac{2}{9}\frac{2x^{-\frac{1}{3}}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}+x^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^{-\frac{2}{3}}}{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{-2x^\frac{1}{3}x^\frac{2}{3}-\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}{x^\frac{2}{3}x^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}-\frac{2}{9}\frac{2\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}+x^\frac{1}{3}x^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{-2x-\left(1-x\right)}{x^\frac{4}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}-\frac{2}{9}\frac{2\left(1-x\right)+x}{x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{4}{3}}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{-x-1}{x\cdot x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}-\frac{2}{9}\frac{2-x}{x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{1}{x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\left(\frac{-x-1}{x}-\frac{2-x}{1-x}\right)[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{1}{x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\frac{\left(-x-1\right)\left(1-x\right)-x\left(2-x\right)}{x\left(1-x\right)}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{x^2-1-2x+x^2}{x^\frac{4}{3}\left(1-x\right)^\frac{4}{3}}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{2x^2-2x-1}{x^\frac{4}{3}\left(1-x\right)^\frac{4}{3}}[/dispmath]
Kao ni prvi izvod, ni drugi izvod ne postoji u tačkama [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath].
I, pošto imenilac ne može biti negativan, određivanje znaka drugog izvoda se svodi na određivanje znaka kvadratne funkcije iz brojioca, [inlmath]2x^2-2x-1[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8854
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4901 puta
Pohvaljen: 4736 puta

Re: Ekstremi funkcije

Postod eseper » Ponedeljak, 14. Januar 2013, 14:48

Hvala, ova druga derivacija je zaista jedna kobasica :lol:

Kako mi nisu točni intervali monotonosti? :( Možeš li napisati što je točno?

Da, funkcija će imati šiljak. Kasnije ću odrediti točke infleksije ako ih ima i poslati skicu...
Korisnikov avatar
eseper  OFFLINE
 
Postovi: 623
Lokacija: Split
Zahvalio se: 342 puta
Pohvaljen: 51 puta

Re: Ekstremi funkcije

Postod Daniel » Ponedeljak, 14. Januar 2013, 15:36

eseper je napisao:Kako mi nisu točni intervali monotonosti? :( Možeš li napisati što je točno?

OK... Da bi funkcija bila monotono rastuća na nekom intervalu, prvi izvod mora, je li, biti veći od nule:
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{2}{3}\left[\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}}-\frac{x^\frac{2}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\right]>0[/dispmath][dispmath]\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}}>\frac{x^\frac{2}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}[/dispmath]
Obe strane dignemo na treći stepen (ovime se nejednakost ne menja, jer je stepenovanje pozitivnim brojem rastuća funkcija):
[dispmath]\frac{\left(1-x\right)^2}{x}>\frac{x^2}{1-x}[/dispmath]
Sad treba obe strane pomnožiti sa [inlmath]x\left(1-x\right)[/inlmath], ali tu moramo razdvojiti dva slučaja:

[inlmath]\left.1\right)\quad x\left(1-x\right)>0\quad\Rightarrow\quad 0<x<1[/inlmath]

Množenjem sa [inlmath]x\left(1-x\right)[/inlmath], koje je pozitivno, neće se promeniti znak nejednakosti:
[dispmath]\left(1-x\right)^3>x^3[/dispmath]
Od obe strane izvučemo treći koren (to, takođe, možemo bez narušavanja znaka nejednakosti, jer je treći koren takođe monotono rastuća funkcija):
[dispmath]1-x>x\\
x<\frac{1}{2}[/dispmath]
što, u preseku s uslovom ovog slučaja [inlmath]0<x<1[/inlmath], daje
[dispmath]0<x<\frac{1}{2}[/dispmath]

[inlmath]\left.2\right)\quad x\left(1-x\right)<0\quad\Rightarrow\quad x<0\:\:\vee\:\: x>1[/inlmath]

Množenjem sa [inlmath]x\left(1-x\right)[/inlmath], koje je negativno, promeniće se znak nejednakosti:
[dispmath]\left(1-x\right)^3<x^3[/dispmath]
Od obe strane izvučemo treći koren:
[dispmath]1-x<x\\
x>\frac{1}{2}[/dispmath]
što, u preseku s uslovom ovog slučaja [inlmath]x<0\:\:\vee\:\: x>1[/inlmath], daje
[dispmath]x>1[/dispmath]

Unija rešenja ova dva slučaja će biti
[dispmath]x\in\left(0,\frac{1}{2}\right)\cup\left(1,+\infty\right)[/dispmath]
i to će biti intervali u kojima je ova funkcija rastuća.


Analogno se pronalaze i intervali u kojima je funkcija opadajuća, to će biti komplementarne vrednosti onim intervalima u kojima je funkcija rastuća, a to će biti
[dispmath]x\in\left(-\infty,0\right)\cup\left(\frac{1}{2},1\right)[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8854
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4901 puta
Pohvaljen: 4736 puta

PrethodnaSledeća

Povratak na GRAFIK FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 24. Januar 2022, 14:19 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs