MATEMANIJA

Ako može netko napisati i derivaciju...

1.
[dispmath]f(x)=\frac{\ln x}{x}e^{-\ln^2x}[/dispmath]
2.
[dispmath]f(x)=x^\frac{2}{3}(1-x)^\frac{2}{3}[/dispmath]

eseper je napisao:1.
[dispmath]f(x)=\frac{\ln x}{x}e^{-\ln^2x}[/dispmath]

[dispmath]f'\left(x\right)=\left(\frac{\ln x}{x}e^{-\ln^2 x}\right)'[/dispmath]
Formula za izvod proizvoda dve funkcije [inlmath]\left(uv\right)'=u'v+uv'[/inlmath]:
[dispmath]f'\left(x\right)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)'e^{-\ln^2 x}+\frac{\ln x}{x}\left(e^{-\ln^2 x}\right)'[/dispmath]
Formula za izvod količnika dve funkcije [inlmath]\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}[/inlmath]:
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{\left(\ln x\right)'\cdot x-\ln x\cdot\left(x\right)'}{x^2}e^{-\ln^2 x}+\frac{\ln x}{x}\left(e^{-\ln^2 x}\right)'[/dispmath]
Rešavanje izvoda složene funkcije [inlmath]\left[g\circ f\left(x\right)\right]'=g'_f\cdot f'\left(x\right)[/inlmath]:
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}e^{-\ln^2 x}+\frac{\ln x}{x}e^{-\ln^2 x}\cdot\left(-\ln^2 x\right)'[/dispmath]
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{1-\ln x}{x^2}e^{-\ln^2 x}-\frac{\ln x}{x}e^{-\ln^2 x}\cdot\left(\ln^2 x\right)'[/dispmath]
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{1-\ln x}{x^2}e^{-\ln^2 x}-\frac{\ln x}{x}e^{-\ln^2 x}\cdot\left(2\ln x\right)\left(\ln x\right)'[/dispmath]
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{1-\ln x}{x^2}e^{-\ln^2 x}-2\frac{\ln^2 x}{x}e^{-\ln^2 x}\cdot\frac{1}{x}[/dispmath]
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{1-\ln x-2\ln^2 x}{x^2}e^{-\ln^2 x}[/dispmath]
Ako ćeš računati ekstreme, onda je, radi izjednačavanja prvog izvoda s nulom, zgodnije ovo u brojiocu napisati u faktorizovanom obliku:
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{\left(1-2\ln x\right)\left(\ln x+1\right)}{x^2}e^{-\ln^2 x}[/dispmath]

---

Ovaj drugi,

eseper je napisao:2.
[dispmath]f(x)=x^\frac{2}{3}(1-x)^\frac{2}{3}[/dispmath]

možeš pokušati i sâm (mnogo je jednostavniji od prvog), koristeći jedan od elementarnih izvoda, [inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath], tj. u ovom slučaju [inlmath]\left(x^\frac{2}{3}\right)'=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}[/inlmath]

Pa ako baš ne ide, uradićemo i to...

U prvom sam dobio sljedeće ekstreme:
[dispmath]T_\mbox{max}\left(\frac{1}{e},-e^2\right)\\
T_\mbox{min}\left(\sqrt{e},\frac{e}{2}\right)[/dispmath]
Može li netko provjeriti?

Edit: iako, kad idem nacrtati, i nema baš neke logike.

[inlmath]x[/inlmath]-koordinate su ti dobre, [inlmath]y[/inlmath]-koordinate ti ne valjaju.

(Ne zameri mi, zaludeo sam se ovim novim smajlijima, kô malo dete novom igračkom )

Kako si radio? Si dobijene [inlmath]x[/inlmath]-koordinate uvrstio umesto [inlmath]x[/inlmath] u prvobitnu funkciju?

Ispravna rešenja su
[dispmath]T_\mbox{min}\left(\frac{1}{e},-1\right)\\
T_\mbox{max}\left(\sqrt e,\frac{1}{2}e^{-\frac{3}{4}}\right)[/dispmath]

Daniel je napisao:Kako si radio? Si dobijene [inlmath]x[/inlmath]-koordinate uvrstio umesto [inlmath]x[/inlmath] u prvobitnu funkciju?

Da. Ali očito je nešto pošlo po krivu

Daniel je napisao:Ispravna rešenja su
[dispmath]T_\mbox{min}\left(\frac{1}{e},-1\right)\\
T_\mbox{max}\left(\sqrt e,\frac{1}{2}e^{-\frac{3}{4}}\right)[/dispmath]

Kasnije ću probati ponovno pa javim jesam to dobio.

Otkrio grešku i sada mi je ispalo točno.

Međutim, kako bi išao graf ove funkcije?

U domeni funkcije su svi realni brojevi osim [inlmath]0[/inlmath].

Funkcija od beskonačnosti do [inlmath]-1[/inlmath] raste, od [inlmath]-1[/inlmath] do jedne polovine pada, i od jedne polovine u beskonačnost raste.

eseper je napisao:U domeni funkcije su svi realni brojevi osim [inlmath]0[/inlmath].

Domen su samo vrednosti veće od nule. Ne zaboravi da argument logaritma mora biti strogo veći od nule. Prema tome, ova funkcija za negativne vrednosti nije definisana.

eseper je napisao:Funkcija od beskonačnosti do [inlmath]-1[/inlmath] raste, od [inlmath]-1[/inlmath] do jedne polovine pada, i od jedne polovine u beskonačnost raste.

Di nađe jednu polovinu, za [inlmath]x[/inlmath]-koordinate ekstremnih vrednosti smo dobili [inlmath]\frac{1}{e}[/inlmath] i [inlmath]\sqrt e[/inlmath], nigde se ne pojavljuje jedna polovina?

Funkcija nije definisana u nuli, ali desni limes u nuli joj je [inlmath]0[/inlmath]. Kako [inlmath]x[/inlmath] raste, funkcija opada do minimuma [inlmath]\left(\frac{1}{e},-1\right)[/inlmath], a zatim počinje da raste. U [inlmath]x=1[/inlmath] će imati nulu, tj. tu preseca [inlmath]x[/inlmath]-osu i kreće ka pozitivnim vrednostima, da bi u [inlmath]\left(\sqrt e,\frac{1}{2}e^{-\frac{3}{4}}\right)[/inlmath] dostigla svoj maksimum, posle koga ponovo opada i za [inlmath]x\to +\infty[/inlmath] vrednost funkcije se asimptotski približava nuli.

Oh, da, zaboravio sam da je ovo logaritamska funkcija

To je zbog toga što sam ja uvodio smjenu, [inlmath]t[/inlmath], pa kada se vratio dobijemo one [inlmath]x[/inlmath] vrijednosti minimuma i maksimuma.

Može graf?

Ne razumem šta će ti smena [inlmath]t[/inlmath] za određivanje minimuma i maksimuma. [inlmath]x[/inlmath]-koordinate ekstrema dobiješ tako što prvi izvod izjednačiš s nulom, a to će biti kada je [inlmath]\ln x=-1\:\lor\:\ln x=\frac{1}{2}[/inlmath], tj. [inlmath]x=\frac{1}{e}\:\lor\:x=\sqrt e[/inlmath], pa zatim, da bi pronašao i njihove [inlmath]y[/inlmath]-koordinate, u prvom slučaju u izrazu za funkciju umesto [inlmath]\ln x[/inlmath] pišeš [inlmath]-1[/inlmath] a umesto [inlmath]x[/inlmath] pišeš [inlmath]\frac{1}{e}[/inlmath] i dobiješ [inlmath]y_1=-1[/inlmath], a u drugom slučaju u izrazu za funkciju umesto [inlmath]\ln x[/inlmath] pišeš [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] a umesto [inlmath]x[/inlmath] pišeš [inlmath]\sqrt e[/inlmath] i dobiješ [inlmath]y_2=\frac{1}{2}e^{-\frac{3}{4}}[/inlmath]. Ja, iskreno, ne vidim način kako bi to uradio smenom.

Evo grafika:

Nisi me shvatio.

Tamo gdje si ti napravio faktorizaciju u derivaciji, e tu je ja nisan uradio, nego sam ostavio kao kvadratnu jednadžbu. Tu sam tada ubacio smjenu.

Hvala na grafu!

Kako u ovom slučaju odrediti intervale monotonosti? Pokušavam to, ali mi se ne podudara nikako s grafom Pomoć

eseper je napisao:Nisi me shvatio.

Tamo gdje si ti napravio faktorizaciju u derivaciji, e tu je ja nisan uradio, nego sam ostavio kao kvadratnu jednadžbu. Tu sam tada ubacio smjenu.

Aha, OK, sad kontam.

eseper je napisao:Kako u ovom slučaju odrediti intervale monotonosti? Pokušavam to, ali mi se ne podudara nikako s grafom Pomoć

Treba, naravno, razmatrati kad je prvi izvod veći, a kad manji od nule. Pošto je prvi izvod jednak
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{\left(1-2\ln x\right)\left(\ln x+1\right)}{x^2}e^{-\ln^2 x}[/dispmath]
vidimo da su u tom izrazu članovi [inlmath]x^2[/inlmath] i [inlmath]e^{-\ln^2 x}[/inlmath] uvek veći od nule (uz, naravno, već utrvđen uslov da je [inlmath]x\ne 0[/inlmath]), tako da se određivanje znaka prvog izvoda svodi na određivanje znaka [inlmath]\left(1-2\ln x\right)\left(\ln x+1\right)[/inlmath].

Znači, da bi funkcija bila rastuća, tj. da bi prvi izvod bio pozitivan, mora biti
[inlmath]\left(1-2\ln x>0\:\land\:\ln x+1>0\right)\:\lor\:\left(1-2\ln x<0\:\land\:\ln x+1<0\right)[/inlmath]

Da bi funkcija bila opadajuća, prvi izvod mora biti negativan:
[inlmath]\left(1-2\ln x>0\:\land\:\ln x+1<0\right)\:\lor\:\left(1-2\ln x<0\:\land\:\ln x+1>0\right)[/inlmath]

Pošto je [inlmath]\ln x[/inlmath] monotono rastuća funkcija, pri oslobađanju od prirodnog logaritma ne menja se znak nejednakosti. Konkretno:
[inlmath]1-2\ln x>0\quad\Rightarrow\quad\ln x<\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad x<e^\frac{1}{2}[/inlmath]

Tako uradiš i za ostale slučajeve... I onda imaš klasičan sistem nejednačina... Nađeš preseke, unije i odrediš intervale...

Daniel je napisao:Znači, da bi funkcija bila rastuća, tj. da bi prvi izvod bio pozitivan, mora biti
[inlmath]\left(1-2\ln x>0\:\land\:\ln x+1>0\right)\:\lor\:\left(1-2\ln x<0\:\land\:\ln x+1<0\right)[/inlmath]

Za prve dvije nejednadžbe, presjek mi ispada [inlmath]x\in\left<e^{-1},e^\frac{1}{2}\right>[/inlmath]
Za desne dvije [inlmath]x\in\left<-\infty,e^{-1}\right>\cup\left<e^\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath]
A njihova unija [inlmath]x\in\left<-\infty,e^{-1}\right>\cup\left<e^\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath] (ako ovaj dio nije točan, može odmah ispravak )

Daniel je napisao:Da bi funkcija bila opadajuća, prvi izvod mora biti negativan:
[inlmath]\left(1-2\ln x>0\:\land\:\ln x+1<0\right)\:\lor\:\left(1-2\ln x<0\:\land\:\ln x+1>0\right)[/inlmath]

Presijek lijevih je [inlmath]\left<-\infty,e^{-1}\right>[/inlmath], a desnih [inlmath]\left<e^\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath]
Njihova unija je [inlmath]\left<-\infty,e^{-1}\right>\cup\left<e^\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath]


Pod uvjetom da je ovo sve točno, kako iz ovoga iščitati monotonost?

eseper je napisao:

Daniel je napisao:Znači, da bi funkcija bila rastuća, tj. da bi prvi izvod bio pozitivan, mora biti
[inlmath]\left(1-2\ln x>0\:\land\:\ln x+1>0\right)\:\lor\:\left(1-2\ln x<0\:\land\:\ln x+1<0\right)[/inlmath]

Za prve dvije nejednadžbe, presjek mi ispada [inlmath]x\in\left<e^{-1},e^\frac{1}{2}\right>[/inlmath]

Tačno.

eseper je napisao:Za desne dvije [inlmath]x\in\left<-\infty,e^{-1}\right>\cup\left<e^\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath]

Ne unija, zašto unija? Za prve dve nejednačine si lepo tražio presek, zašto nisi i ovde? Kad imamo znak [inlmath]\land[/inlmath] (logičko I), njemu odgovara presek.
A presek ova dva intervala bi bio prazan skup, tj. ne bi bilo rešenja.

Pa bi njihova unija bila unija intervala [inlmath]\left(e^{-1},e^\frac{1}{2}\right)[/inlmath] i praznog skupa, a to bi bio sâm interval [inlmath]\left(e^{-1},e^\frac{1}{2}\right)[/inlmath].

eseper je napisao:

Daniel je napisao:Da bi funkcija bila opadajuća, prvi izvod mora biti negativan:
[inlmath]\left(1-2\ln x>0\:\land\:\ln x+1<0\right)\:\lor\:\left(1-2\ln x<0\:\land\:\ln x+1>0\right)[/inlmath]

Presijek lijevih je [inlmath]\left<-\infty,e^{-1}\right>[/inlmath], a desnih [inlmath]\left<e^\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath]
Njihova unija je [inlmath]\left<-\infty,e^{-1}\right>\cup\left<e^\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath]

E, ovo je tačno. Vidiš, tu si prvo tražio preseke, pa zatim njihovu uniju, baš kao što i treba.

eseper je napisao:Pod uvjetom da je ovo sve točno, kako iz ovoga iščitati monotonost?

Pa, pročitaj gore, lepo sve piše. „da bi funkcija bila rastuća...“ pa smo onda došli do rešenja [inlmath]x\in\left(e^{-1},e^\frac{1}{2}\right)[/inlmath]
Isto tako, „Da bi funkcija bila opadajuća...“ pa smo došli do rešenja [inlmath]x\in\left(-\infty,e^{-1}\right)\cup\left(e^\frac{1}{2},+\infty\right)[/inlmath]

E, hvala. Znači, prvo je zapravo trebalo napraviti intervale monotonosti, da bismo iz njih saznali što je minimum, a što maksimum. Jesam li u pravu?

Daniel je napisao:Ovaj drugi,

eseper je napisao:2.
[dispmath]f(x)=x^\frac{2}{3}(1-x)^\frac{2}{3}[/dispmath]

možeš pokušati i sâm (mnogo je jednostavniji od prvog), koristeći jedan od elementarnih izvoda, [inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath], tj. u ovom slučaju [inlmath]\left(x^\frac{2}{3}\right)'=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}[/inlmath]

Pa ako baš ne ide, uradićemo i to...

Možeš li je napisati? Kao kritične točke trebamo dobiti 3 rješenja, [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Međutim, ja nikako ni da derivaciju riješim...

eseper je napisao:E, hvala. Znači, prvo je zapravo trebalo napraviti intervale monotonosti, da bismo iz njih saznali što je minimum, a što maksimum. Jesam li u pravu?

Sasvim logično razmišljanje, ali ja ti ipak preporučujem da ideš onim redom kojim to profa traži... Ako traži da se striktno ide po tačkama, tj. da se prvo odrede ekstremi pa tek onda monotonost, onda i ti radi tako.
U tom slučaju, odrediš estreme izjednačavanjem prvog izvoda s nulom, pa iz znaka drugog izvoda u toj tački odrediš da li se radi o maksimumu ili minimumu (ili, možda, o prevojnoj tački ako je drugi izvod jednak nuli). Pa zatim, u okviru sledeće tačke, radiš ispitivanje monotonosti tražeći znak prvog izvoda na pojedinim intervalima...

eseper je napisao:

Daniel je napisao:Ovaj drugi,
možeš pokušati i sâm (mnogo je jednostavniji od prvog), koristeći jedan od elementarnih izvoda, [inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath], tj. u ovom slučaju [inlmath]\left(x^\frac{2}{3}\right)'=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}[/inlmath]

Pa ako baš ne ide, uradićemo i to...

Možeš li je napisati? Kao kritične točke trebamo dobiti 3 rješenja, [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Međutim, ja nikako ni da derivaciju riješim...

OK, nemoj plakati, sve se dâ rešiti.
[dispmath]f\left(x\right)=x^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^\frac{2}{3}[/dispmath][dispmath]f'\left(x\right)=\left[x^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\right]'[/dispmath][dispmath]f'\left(x\right)=\left(x^\frac{2}{3}\right)'\left(1-x\right)^\frac{2}{3}+x^\frac{2}{3}\left[\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\right]'[/dispmath][dispmath]f'\left(x\right)=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}\left(1-x\right)^\frac{2}{3}+x^\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\left(1-x\right)^{\frac{2}{3}-1}\left(1-x\right)'[/dispmath][dispmath]f'\left(x\right)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\left(1-x\right)^\frac{2}{3}+\frac{2}{3}x^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^{-\frac{1}{3}}\cdot\left(-1\right)[/dispmath][dispmath]f'\left(x\right)=\frac{2}{3}\left[x^{-\frac{1}{3}}\left(1-x\right)^\frac{2}{3}-x^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^{-\frac{1}{3}}\right][/dispmath][dispmath]f'\left(x\right)=\frac{2}{3}\left[\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}}-\frac{x^\frac{2}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\right]\quad x\ne0,\quad x\ne 1[/dispmath]
Tačku ekstrema dobijamo tako što prvi izvod izjednačimo s nulom:
[dispmath]f'\left(x\right)=0[/dispmath][dispmath]\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}}-\frac{x^\frac{2}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}=0[/dispmath][dispmath]\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}}=\frac{x^\frac{2}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}[/dispmath][dispmath]\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}=x^\frac{1}{3}x^\frac{2}{3}[/dispmath][dispmath]1-x=x[/dispmath][dispmath]2x=1[/dispmath][dispmath]x=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]y=f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{2}\right)^\frac{2}{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{2}{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}=[/dispmath][dispmath]=\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{4}{3}=\frac{1}{\sqrt[3]{16}}=\frac{1}{\sqrt[3]{4\cdot 4}}=\frac{1}{\sqrt[3]4\cdot\sqrt[3]4}\cdot\frac{\sqrt[3]4}{\sqrt[3]4}=\frac{\sqrt[3]4}{4}[/dispmath]
Ekstremna vrednost: [inlmath]\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt[3]4}{4}\right)[/inlmath]

Uh, malo drukčije nego smo navikli rješavati ovakve tipove.

Ima li smisla u ovom zadatku tražiti asimptote? Vertikalnih nema (u domeni su svi realni brojevi), a horizontalne i kose?

Inače, ovo što si ti dobio bi trebao biti [inlmath]T_\mbox{max}[/inlmath], jel točno?

Što se tiče intervala monotonosti, dobio sam da funkcija raste od [inlmath]\left<-\infty,\frac{1}{2}\right>[/inlmath], a pada od [inlmath]\left<\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath]

Ukoliko nema smisla tražiti horizontalne i kose asimptote, preostaju mi još točka infleksije i intervali zakrivljenosti. To sam probao, međutim druga derivacija je vrlo složena, nisam došao do rješenja.

Samo pre nego što krenem s odgovorima, jedno objašnjenje za moj prethodni post. Kada sam prilikom računanja prvog izvoda napisao [inlmath]x\ne 0,\: x\ne 1[/inlmath], pod time sam mislio da prvi izvod nije definisan u tim tačkama. Sama funkcija je, naravno, definisana (i iznosi [inlmath]0[/inlmath]).
Šta znači kad je u nekoj tački funkcija definisana, a njen prvi izvod nije definisan? To znači da u tim tačkama nije moguće jednoznačno odrediti tangentu na funkciju, tj. da u toj tački funkcija nije glatka, već ima „šiljak“. A na šiljak, naravno, nije moguće povući tangentu, tako da tu nema ni prvog izvoda. To se kaže da funkcija u toj tački nije diferencijabilna.

eseper je napisao:Uh, malo drukčije nego smo navikli rješavati ovakve tipove.

Na šta konkretno misliš?

eseper je napisao:Ima li smisla u ovom zadatku tražiti asimptote? Vertikalnih nema (u domeni su svi realni brojevi), a horizontalne i kose?

Naravno da se moraju tražiti asimptote. Srećom, vrlo lako se dobije da, kao ni vertikalne, isto tako ne postoje ni horizontalne, ni kose.

eseper je napisao:Inače, ovo što si ti dobio bi trebao biti [inlmath]T_\mbox{max}[/inlmath], jel točno?

Pošto je drugi izvod u toj tački negativan.

eseper je napisao:Što se tiče intervala monotonosti, dobio sam da funkcija raste od [inlmath]\left<-\infty,\frac{1}{2}\right>[/inlmath], a pada od [inlmath]\left<\frac{1}{2},+\infty\right>[/inlmath]

eseper je napisao:Ukoliko nema smisla tražiti horizontalne i kose asimptote, preostaju mi još točka infleksije i intervali zakrivljenosti. To sam probao, međutim druga derivacija je vrlo složena, nisam došao do rješenja.

OK, samo bez panike, evo postupka za drugi izvod:
[dispmath]f''\left(x\right)=\left[f'\left(x\right)\right]'=\frac{2}{3}\left[\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}}-\frac{x^\frac{2}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\right]'[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{3}\left[\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}}\right]'-\frac{2}{3}\left[\frac{x^\frac{2}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\right]'[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{3}\frac{\left[\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\right]'x^\frac{1}{3}-\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\left(x^\frac{1}{3}\right)'}{x^\frac{2}{3}}-\frac{2}{3}\frac{\left(x^\frac{2}{3}\right)'\left(1-x\right)^\frac{1}{3}-x^\frac{2}{3}\left[\left(1-x\right)^\frac{1}{3}\right]'}{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{3}\frac{\frac{2}{3}\left(1-x\right)^{-\frac{1}{3}}\left(1-x\right)'x^\frac{1}{3}-\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}}{x^\frac{2}{3}}-\frac{2}{3}\frac{\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}-x^\frac{2}{3}\frac{1}{3}\left(1-x\right)^{-\frac{2}{3}}\left(1-x\right)'}{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{2\left(1-x\right)^{-\frac{1}{3}}\left(-1\right)\cdot x^\frac{1}{3}-\left(1-x\right)^\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}}{x^\frac{2}{3}}-\frac{2}{9}\frac{2x^{-\frac{1}{3}}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}-x^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^{-\frac{2}{3}}\left(-1\right)}{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{-2\left(1-x\right)^{-\frac{1}{3}}x^\frac{1}{3}-\left(1-x\right)^\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}}{x^\frac{2}{3}}-\frac{2}{9}\frac{2x^{-\frac{1}{3}}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}+x^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^{-\frac{2}{3}}}{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{-2x^\frac{1}{3}x^\frac{2}{3}-\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}{x^\frac{2}{3}x^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}-\frac{2}{9}\frac{2\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}+x^\frac{1}{3}x^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{2}{3}\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{-2x-\left(1-x\right)}{x^\frac{4}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}-\frac{2}{9}\frac{2\left(1-x\right)+x}{x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{4}{3}}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{-x-1}{x\cdot x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}-\frac{2}{9}\frac{2-x}{x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{1}{x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\left(\frac{-x-1}{x}-\frac{2-x}{1-x}\right)[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{1}{x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\frac{\left(-x-1\right)\left(1-x\right)-x\left(2-x\right)}{x\left(1-x\right)}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{x^2-1-2x+x^2}{x^\frac{4}{3}\left(1-x\right)^\frac{4}{3}}[/dispmath]
[dispmath]f''\left(x\right)=\frac{2}{9}\frac{2x^2-2x-1}{x^\frac{4}{3}\left(1-x\right)^\frac{4}{3}}[/dispmath]
Kao ni prvi izvod, ni drugi izvod ne postoji u tačkama [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath].
I, pošto imenilac ne može biti negativan, određivanje znaka drugog izvoda se svodi na određivanje znaka kvadratne funkcije iz brojioca, [inlmath]2x^2-2x-1[/inlmath]...

Hvala, ova druga derivacija je zaista jedna kobasica

Kako mi nisu točni intervali monotonosti? Možeš li napisati što je točno?

Da, funkcija će imati šiljak. Kasnije ću odrediti točke infleksije ako ih ima i poslati skicu...

eseper je napisao:Kako mi nisu točni intervali monotonosti? Možeš li napisati što je točno?

OK... Da bi funkcija bila monotono rastuća na nekom intervalu, prvi izvod mora, je li, biti veći od nule:
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{2}{3}\left[\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}}-\frac{x^\frac{2}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\right]>0[/dispmath][dispmath]\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}}>\frac{x^\frac{2}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}[/dispmath]
Obe strane dignemo na treći stepen (ovime se nejednakost ne menja, jer je stepenovanje pozitivnim brojem rastuća funkcija):
[dispmath]\frac{\left(1-x\right)^2}{x}>\frac{x^2}{1-x}[/dispmath]
Sad treba obe strane pomnožiti sa [inlmath]x\left(1-x\right)[/inlmath], ali tu moramo razdvojiti dva slučaja:

[inlmath]\left.1\right)\quad x\left(1-x\right)>0\quad\Rightarrow\quad 0<x<1[/inlmath]

Množenjem sa [inlmath]x\left(1-x\right)[/inlmath], koje je pozitivno, neće se promeniti znak nejednakosti:
[dispmath]\left(1-x\right)^3>x^3[/dispmath]
Od obe strane izvučemo treći koren (to, takođe, možemo bez narušavanja znaka nejednakosti, jer je treći koren takođe monotono rastuća funkcija):
[dispmath]1-x>x\\
x<\frac{1}{2}[/dispmath]
što, u preseku s uslovom ovog slučaja [inlmath]0<x<1[/inlmath], daje
[dispmath]0<x<\frac{1}{2}[/dispmath]

[inlmath]\left.2\right)\quad x\left(1-x\right)<0\quad\Rightarrow\quad x<0\:\:\vee\:\: x>1[/inlmath]

Množenjem sa [inlmath]x\left(1-x\right)[/inlmath], koje je negativno, promeniće se znak nejednakosti:
[dispmath]\left(1-x\right)^3<x^3[/dispmath]
Od obe strane izvučemo treći koren:
[dispmath]1-x<x\\
x>\frac{1}{2}[/dispmath]
što, u preseku s uslovom ovog slučaja [inlmath]x<0\:\:\vee\:\: x>1[/inlmath], daje
[dispmath]x>1[/dispmath]

Unija rešenja ova dva slučaja će biti
[dispmath]x\in\left(0,\frac{1}{2}\right)\cup\left(1,+\infty\right)[/dispmath]
i to će biti intervali u kojima je ova funkcija rastuća.


Analogno se pronalaze i intervali u kojima je funkcija opadajuća, to će biti komplementarne vrednosti onim intervalima u kojima je funkcija rastuća, a to će biti
[dispmath]x\in\left(-\infty,0\right)\cup\left(\frac{1}{2},1\right)[/dispmath]

Hvala

Međutim, može li se prva derivacija (a samim time i druga malo pojednostavniti)? vidio sam od nekih kolega, da su uz [inlmath]\frac{2}{3}[/inlmath] u prvoj derivaciji izlučili i [inlmath]x[/inlmath] na nešto... ?

Može da se [inlmath]x^\frac{1}{3}[/inlmath] i [inlmath]\left(1-x\right)^\frac{1}{3}[/inlmath] iz imenioca izvuče ispred zagrade:
[dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{2}{3}\left[\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}}{x^\frac{1}{3}}-\frac{x^\frac{2}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\right][/dispmath][dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{2}{3x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\left[\frac{\left(1-x\right)^\frac{2}{3}x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}{x^\frac{1}{3}}-\frac{x^\frac{2}{3}x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}{\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\right][/dispmath][dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{2}{3x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}\left[\left(1-x\right)-x\right][/dispmath][dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{2\left(1-2x\right)}{3x^\frac{1}{3}\left(1-x\right)^\frac{1}{3}}[/dispmath]
Ne znam da li si na to mislio? Takođe, nisam siguran ni da će ovo nešto bitnije uprostiti nalaženje 2. izvoda.

Možeš li tačno napisati to što si video kod svojih kolega, ovako možemo samo da nagađamo da li je to to...?

Morat ću točno provjeriti o čemu se tu radi, pa ću se vratiti na to.

Evo sljedećeg pitanja, naime zapeo sam na intervalima monotonosti, ostalo se sredi više manje lako. Imam još nekoliko nedoumica, pa evo:

Zadatak je:
[dispmath]f(x)=\frac{2x^3}{x^2-4}[/dispmath]
Ukratko:

Domena: Svi realni brojevi osim [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath].

Parnost: Neparna funkcija

Nul-točke: [inlmath]x=0[/inlmath]

Asimptote:
V.A. [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath]
K.A. pravac [inlmath]y=2x[/inlmath]

Prvi izvod:
[inlmath]f'(x)=\frac{2x^2\left(x^2-12\right)}{\left(x^2-4\right)^2}[/inlmath]

Sada da točno razjasnimo:

1. [inlmath]2x^2[/inlmath] i nazivnik nam nisu "kandidati" za određivanje ekstrema? Da li je to zato što, kada bi uvrstili bilo koji broj umjesto x-a, bismo dobili broj koji je veći od nule, ili zbog nečeg drugog? Koliko shvaćam, kandidati su samo oni izrazi kod kojih bismo dobili [inlmath]=0[/inlmath] ili [inlmath]<0[/inlmath]? Ako možeš što jednostavnijim, laičkim jezikom objasniti

2. Dakle, kandidat za ekstreme je [inlmath]\left(x^2-12\right)[/inlmath]. Rješavanjem toga uredno dobijemo [inlmath]2\sqrt{3}[/inlmath] i [inlmath]- 2\sqrt{3}[/inlmath] i uvrštavanjem tih brojeva u početnu funkciju dobijemo [inlmath]\pm 6\sqrt{3}[/inlmath]. Što je min, a što max, možemo iščitati (valjda?) iz drugog izvoda, međutim.

3. Naš profesor traži da to iščitamo iz intervala monotonosti, tj. iz one tabele. E sada, kada idem raditi tabelu, što su mi sve kandidati za unos parametara iz prvog izvoda? Očito je da to više nije samo [inlmath]\left(x^2-12\right)[/inlmath], nego što sve? Znam da zamaram, ali ako ti molim te ne bi bio problem napraviti tu tabelu, da vidim točno gdje griješim. U nju sam unio točke koje se dobiju iz [inlmath]x^2-12[/inlmath] i [inlmath]x^2-4[/inlmath].
Dobijem da funkcija
raste od [inlmath]\left<-\infty,2\sqrt{3}\right>[/inlmath],
zatim od [inlmath]\left<2\sqrt{3},-2\right>[/inlmath] pada.
E sada, od [inlmath]\left<-2,2\right>[/inlmath] funkcija mi raste jer imam dva minusa (što daje plus), međutim ona i u tom intervalu treba padati. Dakle, negdje griješim.
Od [inlmath]\left<2,2\sqrt{3}\right>[/inlmath] mi opet pada (imam [inlmath]-[/inlmath] i [inlmath]+[/inlmath])
i [inlmath]\left<2\sqrt{3},+\infty\right>[/inlmath] opet raste.

Infleksiju sam ispravno odredio.

Nadam se da je jasno ono što mi je nejasno

eseper je napisao:1. [inlmath]2x^2[/inlmath] i nazivnik nam nisu "kandidati" za određivanje ekstrema? Da li je to zato što, kada bi uvrstili bilo koji broj umjesto x-a, bismo dobili broj koji je veći od nule, ili zbog nečeg drugog? Koliko shvaćam, kandidati su samo oni izrazi kod kojih bismo dobili [inlmath]=0[/inlmath] ili [inlmath]<0[/inlmath]? Ako možeš što jednostavnijim, laičkim jezikom objasniti

[inlmath]2x^2[/inlmath] je uvek pozitivno (ili nula), jer je to neka vrednost dignuta na kvadrat. Isto važi i za nazivnik, [inlmath]\left(x^2-4\right)^2[/inlmath]. Pošto su uvek nenegativni, nisu nam „zanimljivi“ (je l' ovo dovoljno narodski? ) Znači, znak prvog izvoda će biti isti kao i znak faktora [inlmath]\left(x^2-12\right)[/inlmath]. Kada je [inlmath]\left(x^2-12\right)[/inlmath] pozitivan, prvi izvod će biti pozitivan i obratno.
Ne razumem šta ti je ono [inlmath]x-a[/inlmath]? U izrazu nigde ne figuriše nikakav parametar [inlmath]a[/inlmath].

eseper je napisao:2. Dakle, kandidat za ekstreme je [inlmath]\left(x^2-12\right)[/inlmath]. Rješavanjem toga uredno dobijemo [inlmath]2\sqrt{3}[/inlmath] i [inlmath]- 2\sqrt{3}[/inlmath] i uvrštavanjem tih brojeva u početnu funkciju dobijemo [inlmath]\pm 6\sqrt{3}[/inlmath]. Što je min, a što max, možemo iščitati (valjda?) iz drugog izvoda, međutim.

3. Naš profesor traži da to iščitamo iz intervala monotonosti, tj. iz one tabele. E sada, kada idem raditi tabelu, što su mi sve kandidati za unos parametara iz prvog izvoda? Očito je da to više nije samo [inlmath]\left(x^2-12\right)[/inlmath], nego što sve? Znam da zamaram, ali ako ti molim te ne bi bio problem napraviti tu tabelu, da vidim točno gdje griješim. U nju sam unio točke koje se dobiju iz [inlmath]x^2-12[/inlmath] i [inlmath]x^2-4[/inlmath].

E, pa ne treba ti [inlmath]x^2-4[/inlmath], jer nam u prvom izvodu figuriše taj izraz ali kvadriran, pa kao što rekoh, on će uvek biti pozitivan (nenegativan, tačnije) i neće uticati na znak izvoda. Znači, još jednom, određivanje znaka prvog izvoda svodimo samo na određivanje znaka faktora [inlmath]x^2-12[/inlmath].
Faktor [inlmath]x^2-12[/inlmath] predstavlja kvadratnu funkciju, a znamo kako izgleda oblik kvadratne funkcije, tj. parabole. Njene nule smo već odredili, [inlmath]-2\sqrt 3[/inlmath] i [inlmath]2\sqrt 3[/inlmath], [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena će biti [inlmath]x=0[/inlmath], to se lako odredi. Za tabelu je dovoljno da unesemo ove tri [inlmath]x[/inlmath]-koordinate, zatim koordinate dve tačke koje su između svake od nula i temena, kao i koordinate dve tačke koje su izvan intervala određenog nulama funkcije:

[dispmath]\phantom{000000}x\phantom{000000}[/dispmath]	[dispmath]\phantom{0}-4\phantom{0}[/dispmath]	[dispmath]\phantom{0}-2\sqrt 3\phantom{0}[/dispmath]	[dispmath]-1[/dispmath]	[dispmath]0[/dispmath]	[dispmath]1[/dispmath]	[dispmath]\phantom{0}2\sqrt 3\phantom{0}[/dispmath]	[dispmath]\phantom{00}4\phantom{00}[/dispmath]
[dispmath]{y=x^2-12}[/dispmath]	[dispmath]4[/dispmath]	[dispmath]0[/dispmath]	[dispmath]\phantom{0}-11\phantom{0}[/dispmath]	[dispmath]\phantom{0}-12\phantom{0}[/dispmath]	[dispmath]\phantom{0}-11\phantom{0}[/dispmath]	[dispmath]0[/dispmath]	[dispmath]4[/dispmath]

I iz ove tabele se sasvim lepo vidi da će prvi izvod biti veći od nule u intervalu [inlmath]\left(-\infty,-2\sqrt 3\right)[/inlmath] (tj. u tom intervalu će funkcija rasti), zatim će u intervalu [inlmath]\left(-2\sqrt 3,2\sqrt 3\right)[/inlmath] opadati, jer je tada prvi izvod negativan, da bi opet krenula da raste u intervalu [inlmath]\left(2\sqrt 3,+\infty\right)[/inlmath].

eseper je napisao:Dobijem da funkcija
raste od [inlmath]\left<-\infty,2\sqrt{3}\right>[/inlmath],
zatim od [inlmath]\left<2\sqrt{3},-2\right>[/inlmath] pada.
E sada, od [inlmath]\left<-2,2\right>[/inlmath] funkcija mi raste jer imam dva minusa (što daje plus), međutim ona i u tom intervalu treba padati. Dakle, negdje griješim.

Pa da, kao što sam ti i rekô, greška ti je bila to što si razmatrao i faktor [inlmath]x^2-4[/inlmath], iako on ne treba da se razmatra, jer je kvadriran, pa je, kao takav, uvek pozitivan (ili nula).

eseper je napisao:Od [inlmath]\left<2,2\sqrt{3}\right>[/inlmath] mi opet pada (imam [inlmath]-[/inlmath] i [inlmath]+[/inlmath])
i [inlmath]\left<2\sqrt{3},+\infty\right>[/inlmath] opet raste.

Infleksiju sam ispravno odredio.

Nadam se da je jasno ono što mi je nejasno

Kristalno jasno. Nadam se da je i tebi jasno ovo moje pisanije.

E, ali vidi što stoji u rješenjima. Zato mi i nije jasno!

Intervali monotonosti: Funkcija je rastuća [inlmath]\left<-\infty,-2\sqrt 3\right>\cup\left<2\sqrt 3,+\infty\right>[/inlmath], a padajuća [inlmath]\left<-2\sqrt 3,-2\right>\cup\left<-2,2\right>\cup\left<2,2\sqrt 3\right>[/inlmath].

Službeno rješenje zadatka se nalazi na ovom linku, 30. pod 4.

x-a je riječ iks ([inlmath]x[/inlmath]) u genitivu, pa sam dodao nastavak. Ali, to nije pametno pa ću ubuduće izbjegavati

eseper je napisao:E, ali vidi što stoji u rješenjima. Zato mi i nije jasno!

Intervali monotonosti: Funkcija je rastuća [inlmath]\left<-\infty,-2\sqrt 3\right>\cup\left<2\sqrt 3,+\infty\right>[/inlmath], a padajuća [inlmath]\left<-2\sqrt 3,-2\right>\cup\left<-2,2\right>\cup\left<2,2\sqrt 3\right>[/inlmath].

Da, to njihovo rešenje je preciznije napisano, jer uzima u obzir i prekidne tačke [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], tj. izuzima ih iz intervala, budući da u njima funkcija nije ni definisana.

eseper je napisao:x-a je riječ iks ([inlmath]x[/inlmath]) u genitivu, pa sam dodao nastavak. Ali, to nije pametno pa ću ubuduće izbjegavati

Hahhaaha, pazi kad mi to nikad ne bi palo na pamet, moj matematikom ispran mozak je to uporno percipirao kao binom [inlmath]x-a[/inlmath].
Znaš kako možeš, [inlmath]x[/inlmath] uokviriš Latex-tagovima, a „a“ ostaviš izvan tagova, onda se već dâ naslutiti da se radi o genitivu: [inlmath]x[/inlmath]-a

Mada je najbolje bez genitiva... Kažeš, lepo – uvrstimo umesto [inlmath]x[/inlmath]... I sve je savršeno jasno.

Ok, sada mogu reći da mi je ovaj dio kristalno jasan

Znači, u tablicu stavljamo samo onaj dio (dijelove) iz kojih smo dobili ekstreme. Pritom, još bi zgodnije bilo, nakon što iscrtamo tablicu, pogledati natrag u područje definicije i izuzeti točke u kojima funkcija nije definirana.

Hvala!