Treba da zamisliš trigonometrijski krug. Ako je kosinus nekog ugla negativan, onda taj ugao mora biti u 2. ili u 3. kvadrantu.
U
ovoj temi imaš i tablicu koja pokazuje vezu između uglova u raznim kvadrantima s uglovima u 1. kvadrantu (tj. s oštrim uglovima).
[dispmath]-\cos x=\cos\left(\pi-x\right)=\cos\left(\pi+x\right)[/dispmath]
pa, prema tome, ako je [inlmath]\cos 2x=-\frac{1}{4}[/inlmath], tada je i
[dispmath]-\cos 2x=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad\cos\left(\pi-2x_1\right)=\frac{1}{4},\quad\cos\left(\pi+2x_2\right)=\frac{1}{4}[/dispmath][dispmath]\pi-2x_1=\arccos\frac{1}{4}+2k\pi,\quad\pi+2x_2=\arccos\frac{1}{4}+2k\pi[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{1}{2}\left(\pi-\arccos\frac{1}{4}+2k\pi\right),\quad x_2=\frac{1}{2}\left(-\pi+\arccos\frac{1}{4}+2k\pi\right)[/dispmath]
Pošto tražimo tačke infleksije samo u intervalu [inlmath]\left[0,\pi\right)[/inlmath], rešenja svodimo na
[dispmath]x_1=\frac{1}{2}\left(\pi-\arccos\frac{1}{4}\right),\quad x_2=\frac{1}{2}\left(\pi+\arccos\frac{1}{4}\right)[/dispmath]
Sada ide nalaženje [inlmath]y[/inlmath]-koordinata ove dve prevojne tačke (za preostale dve si ih već odredio):
Jedan način je da dobijene [inlmath]x[/inlmath]-koordinate uvrstimo u izraz za samu funkciju:
[inlmath]f\left(x\right)=2\sin 2x+\sin 4x[/inlmath]
ali ćemo onda dobiti oblik tipa sinus arkus kosinusa, što baš nije najpreglednije rešenje.
Zato je to bolje uraditi na drugi način. Iskoristićemo izraz
[dispmath]-\cos 2x=\frac{1}{4}[/dispmath]
pa ćemo ga transformisati:
[dispmath]-\cos 2x=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad\pm\sqrt{1-\sin^2 2x}=\frac{1}{4}[/dispmath]
Posle kvadriranja:
[dispmath]1-\sin^2 2x=\frac{1}{16}[/dispmath][dispmath]\sin^2 2x=1-\frac{1}{16}[/dispmath][dispmath]\sin 2x=\pm\sqrt{1-\frac{1}{16}}[/dispmath][dispmath]\sin 2x=\pm\frac{1}{4}\sqrt{15}[/dispmath]
S ovim plusem i minusom ispred korena treba biti obazriv i tačno odrediti kad se koristi minus, a kad plus.
[dispmath]x_1\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\quad\Rightarrow\quad 2x_1\in\left(0,\pi\right)\quad\Rightarrow\quad\sin 2x_1>0\quad\Rightarrow\quad\sin 2x_1=+\frac{1}{4}\sqrt{15}[/dispmath][dispmath]x_2\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\quad\Rightarrow\quad 2x_2\in\left(\pi,2\pi\right)\quad\Rightarrow\quad\sin 2x_2<0\quad\Rightarrow\quad\sin 2x_2=-\frac{1}{4}\sqrt{15}[/dispmath]
Izraz za vrednost funkcije malo prilagodimo:
[dispmath]f\left(x\right)=2\sin 2x+\sin 4x[/dispmath][dispmath]f\left(x\right)=2\sin 2x+2\sin 2x\cos2x[/dispmath][dispmath]f\left(x\right)=2\sin 2x\left(1+\cos2x\right)[/dispmath]
i sad uvrstimo x-koordinate rešenja:
[dispmath]f\left(x_1\right)=2\sin 2x_1\left(1+\cos2x_1\right)=2\frac{1}{4}\sqrt{15}\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{8}\sqrt{15}[/dispmath][dispmath]f\left(x_2\right)=2\sin 2x_2\left(1+\cos2x_2\right)=2\left(-\frac{1}{4}\sqrt{15}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)=-\frac{3}{8}\sqrt{15}[/dispmath]
Prema tome, dve (od ukupno četiri) tačke infleksije na intervalu [inlmath]\left[0,\pi\right)[/inlmath] biće:
[dispmath]\left[\frac{1}{2}\left(\pi-\arccos\frac{1}{4}\right),\frac{3}{8}\sqrt{15}\right][/dispmath][dispmath]\left[\frac{1}{2}\left(\pi+\arccos\frac{1}{4}\right),-\frac{3}{8}\sqrt{15}\right][/dispmath]