Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Presek količničkih podgrupa

Matrice, determinante...

Presek količničkih podgrupa

Postod mariana » Subota, 13. Februar 2021, 11:37

Dobar dan,

ne znam da li je ovo pitanje lagano ili propustam negde kljucan detalj.

Potrebno je pronaci [inlmath]x \in \mathbb{Z}[/inlmath] tako da [inlmath]4 \ \mathbb{Z} \cap 6 \ \mathbb{Z} = x \ \mathbb{Z}[/inlmath]

Ono sto sam ja napravila je jednostavno nanizala ekvivalentne klase od [inlmath]4 \ \mathbb{Z}[/inlmath] i [inlmath]6 \ \mathbb{Z}[/inlmath] i sasvim je jasno da su presek ekvivalentne klase: [inlmath]\left[0\right] \left[1\right] \left[2\right][/inlmath] i [inlmath]\left[3\right][/inlmath] ( :?: )

Resenja nemam, samo nam u napomeni za notaciju sugerira da za grupu celih brojeva sa zbrajanjem oznacimo sa [inlmath]\left(\mathbb{Z}, +\right)[/inlmath] i da sa [inlmath]x \in \mathbb{Z} := \left\{x * z : z \in \mathbb{Z} \right\}[/inlmath] oznacavamo podgrupu visekratnika od x (ovo je dio koji mi je najvise sumljiv, jer grupe visekratnika nismo pominjali u lekcijama, nego smo ovako jednostavno oznacavali grupe po modulu. A profesor voli da zadaje zadatke koje nismo radili, tako da, pretpostavljam, sami nesto zakljucimo)

Napravila sam i tabelu modulo 6 sa zbrajanjem i oznacila deo gde se seku pa se u preseku brojevi veci od [inlmath]4[/inlmath] prilagode modulu [inlmath]4[/inlmath].
pa opet strepim da zadatak nije zavrsen, jer ne moze da bude postavljen tako lagan.
mariana  OFFLINE
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Presek količničkih podgrupa

Postod ubavic » Nedelja, 14. Februar 2021, 02:51

Dobar dan,
Pretpostavljam da si umesto
mariana je napisao: i da sa [inlmath]x {\color{red}\in} \mathbb{Z} := \left\{x * z : z \in \mathbb{Z} \right\}[/inlmath] oznacavamo podgrupu visekratnika od [inlmath]x[/inlmath]...

mislila na [inlmath]x\, \mathbb{Z} := \left\{x * z : z \in \mathbb{Z} \right\}[/inlmath], pošto je to standardna oznaka.

Na primer, za [inlmath]x=4[/inlmath], dobijamo [inlmath]4\,\mathbb{Z} = \{\dots-8,-4,0,4,8,12,\dots\}[/inlmath] skup svih celih brojeva deljivih sa četiri. Sa druge strane, [inlmath]6\,\mathbb{Z} = \{\dots-12,-6,0,6,12,\dots\}[/inlmath]. Odavde bi trebalo da možeš da pronađeš [inlmath]x[/inlmath] takvo da je [inlmath]x\,\mathbb Z = 4\,\mathbb Z\cap 6\,\mathbb Z[/inlmath].

Skup [inlmath]x\, \mathbb{Z}[/inlmath] je jedna podgrupa od [inlmath]\mathbb Z[/inlmath] što možeš lako proveriti, ali to nije količnička grupa grupe [inlmath]\mathbb Z[/inlmath]. Međutim, [inlmath]\mathbb Z _x := \mathbb Z / x\,\mathbb Z[/inlmath] jeste količnička grupa i njeni elementi su [inlmath][0],[1],\dots,[x-1][/inlmath] odnosno klase ekvivalencije u odnosu na kongruenciju po modulu [inlmath]x[/inlmath] (ti si na ovo mislila). Termin količnička podgrupa ne postoji (ili ja barem nikad nisam čuo).

Primeti da nema smisla porediti elemente iz [inlmath]\mathbb{Z}_x[/inlmath] s elementima iz [inlmath]\mathbb{Z}_y[/inlmath] kad je [inlmath]x\ne y[/inlmath]. Na primer [inlmath][1][/inlmath] gledan kao element grupe [inlmath]\mathbb{Z}_x[/inlmath] je klasa ekvivalencije [inlmath]\{\dots, 1-2x,1-x,1,1+x,1+2x\dots\}[/inlmath], a gledan kao element grupe je [inlmath]\mathbb{Z}_y[/inlmath] je [inlmath]\{\dots, 1-2y,1-y,1,1+y,1+2y\dots\}[/inlmath].
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 571
Zahvalio se: 371 puta
Pohvaljen: 566 puta

Re: Presek količničkih podgrupa

Postod mariana » Nedelja, 14. Februar 2021, 09:35

Prije svega, puno puno hvala :!:

ubavic je napisao:Dobar dan,
Pretpostavljam da si umesto
mariana je napisao: i da sa [inlmath]x {\color{red}\in} \mathbb{Z} := \left\{x * z : z \in \mathbb{Z} \right\}[/inlmath] oznacavamo podgrupu visekratnika od [inlmath]x[/inlmath]...

mislila na [inlmath]x\, \mathbb{Z} := \left\{x * z : z \in \mathbb{Z} \right\}[/inlmath], pošto je to standardna oznaka.


U pravu si, omaknulo mi se kod tipkanja, no cini mi se da sada ne mogu da izmenim post.

ubavic je napisao:Skup [inlmath]x\, \mathbb{Z}[/inlmath] je jedna podgrupa od [inlmath]\mathbb Z[/inlmath] što možeš lako proveriti, ali to nije količnička grupa grupe [inlmath]\mathbb Z[/inlmath]. Međutim, [inlmath]\mathbb Z _x := \mathbb Z / x\,\mathbb Z[/inlmath] jeste količnička grupa i njeni elementi su [inlmath][0],[1],\dots,[x-1][/inlmath] odnosno klase ekvivalencije u odnosu na kongruenciju po modulu [inlmath]x[/inlmath] (ti si na ovo mislila). Termin količnička podgrupa ne postoji (ili ja barem nikad nisam čuo).


Ovaj deo mi je zapravo puno pomogao. Da, tako je! Mi smo ucili samo kolicnicke grupe pa sam slepo htela da primenin ono sta znam. Iako su stvari dosta jednostavne, moj mozak jos ne razmislja matematicki :| Onda bi i naslov trebao da bude "podgrupe visekratnka"

ubavic je napisao:Na primer, za [inlmath]x=4[/inlmath], dobijamo [inlmath]4\,\mathbb{Z} = \{\dots-8,-4,0,4,8,12,\dots\}[/inlmath] skup svih celih brojeva deljivih sa četiri. Sa druge strane, [inlmath]6\,\mathbb{Z} = \{\dots-12,-6,0,6,12,\dots\}[/inlmath]. Odavde bi trebalo da možeš da pronađeš [inlmath]x[/inlmath] takvo da je [inlmath]x\,\mathbb Z = 4\,\mathbb Z\cap 6\,\mathbb Z[/inlmath].

Ovo je onda zapravo jako zanimljivo! Onda bi presek trebao da bude skup [inlmath]12\, \mathbb{Z}[/inlmath] ,zar ne? - sto je najmanji zajednici sadrzalac.

Sad se pitam sta bi onda bila unija? Intuitivno nekako [inlmath]2\, \mathbb{Z}[/inlmath], ali on onda ima visak elemenata, iako s druge strane, pogadja sve elemente iz oba skupa :think1:
mariana  OFFLINE
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Presek količničkih podgrupa

Postod ubavic » Nedelja, 14. Februar 2021, 12:36

mariana je napisao:Ovo je onda zapravo jako zanimljivo! Onda bi presek trebao da bude skup [inlmath]12\, \mathbb{Z}[/inlmath] ,zar ne? - sto je najmanji zajednici sadrzalac.

Tako je. Probaj sad da dokažeš da to važi u opštem slučaju, odnosno da za svako [inlmath]m,n[/inlmath] važi [inlmath]n\,\mathbb Z\cap m\,\mathbb Z = \mathrm{NZS}\left(n,m\right)[/inlmath]. Vidi zatim da li važi još opštiji slučaj [inlmath]n\,\mathbb Z\cap m\,\mathbb Z\cap k\,\mathbb Z = \mathrm{NZS}\left(n,m,k\right)[/inlmath]...

mariana je napisao:Sad se pitam sta bi onda bila unija? Intuitivno nekako [inlmath]2\, \mathbb{Z}[/inlmath], ali on onda ima visak elemenata, iako s druge strane, pogadja sve elemente iz oba skupa :think1:

Presek dve podgrupe je uvek podgrupa, zato ima smisla govoriti o preseku. Za uniju to ne važi. Ali zato možemo da posmatramo podgrupu [inlmath]\left\langle 4\,\mathbb Z\cup 6\,\mathbb Z\right\rangle[/inlmath] odnsno najmanju podgrupu koja sadrži skup [inlmath]4\,\mathbb Z\cup6\,\mathbb Z[/inlmath]. To će biti [inlmath]2\, \mathbb Z[/inlmath] kao što si primetila.

Probaj da dokažeš sledeću činjenicu: unija dve podgrupe [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]K[/inlmath] grupe [inlmath]G[/inlmath] je podgrupa grupe [inlmath]G[/inlmath] ako i samo ako [inlmath]H\subseteq K[/inlmath] ili [inlmath]K\subseteq H[/inlmath].
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 571
Zahvalio se: 371 puta
Pohvaljen: 566 puta

Re: Presek količničkih podgrupa

Postod mariana » Nedelja, 14. Februar 2021, 20:34

ubavic je napisao:Probaj da dokažeš sledeću činjenicu: unija dve podgrupe [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]K[/inlmath] grupe [inlmath]G[/inlmath] je podgrupa grupe [inlmath]G[/inlmath] ako i samo ako [inlmath]H\subseteq K[/inlmath] ili [inlmath]K\subseteq H[/inlmath].


Krenut su s ovim posto se sa prvim jos malo mucim.

Pretpostavimo suprotno: [inlmath]\neg (H\subseteq K) \land \neg (K\subseteq H)[/inlmath] , ali: [inlmath](H \cup K) \subseteq G[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow \exists h \in H[/inlmath] takav da [inlmath]h\notin K[/inlmath] i [inlmath]\exists k \in K[/inlmath], t.d. [inlmath]k \notin H[/inlmath]
No, s obzirom da [inlmath](H \cup K) \subseteq G \Rightarrow hk \in H \cup K \Rightarrow hk \in H \lor hk \in K[/inlmath]
Neka je sad [inlmath]hk \in H \land h \in H \land h^-1 \in H \Rightarrow h^-1 hk = k \in H[/inlmath] sto je kontradikcija [inlmath]\Rightarrow \Leftarrow[/inlmath]

Lici li ovo na ista? :)


ubavic je napisao:Tako je. Probaj sad da dokažeš da to važi u opštem slučaju, odnosno da za svako [inlmath]m,n[/inlmath] važi [inlmath]n\,\mathbb Z\cap m\,\mathbb Z = \mathrm{NZS}\left(n,m\right)[/inlmath]. Vidi zatim da li važi još opštiji slučaj [inlmath]n\,\mathbb Z\cap m\,\mathbb Z\cap k\,\mathbb Z = \mathrm{NZS}\left(n,m,k\right)[/inlmath]


E sad ovaj :think1:

[inlmath]n\, \mathbb{Z} = \{\dots -2n,-n,0,n,2n,\dots\}[/inlmath]
i [inlmath]m\, \mathbb{Z} = \{\dots -2m,-m,0,m,2m,\dots\}[/inlmath] , a
[inlmath]{NZS}\left(n,m\right) = k[/inlmath] , takav da [inlmath]n\vert k \land m\vert k[/inlmath]
I neka nam skup [inlmath]S = n\,\mathbb Z\cap m\,\mathbb Z[/inlmath]
Onda je neki [inlmath]x \in S \iff x\vert k[/inlmath]
[inlmath]x \in S \Rightarrow x\vert k \land x \vert n \land x\vert m \Rightarrow x \in n\,\mathbb Z\cap m\,\mathbb Z[/inlmath] ,a ovo je samo moguce ako je x NZS ... :?:

I sad sam se negde pogubila tu na kraju :D
Ali bi ovaj jos opstiji slucaj bio samo malo duzi niz ... ako sam uopce u dobrom smeru krenula
mariana  OFFLINE
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Presek količničkih podgrupa

Postod ubavic » Utorak, 16. Februar 2021, 12:27

mariana je napisao:Pretpostavimo suprotno: [inlmath]\neg (H\subseteq K) \land \neg (K\subseteq H)[/inlmath] , ali: [inlmath](H \cup K) \subseteq G[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow \exists h \in H[/inlmath] takav da [inlmath]h\notin K[/inlmath] i [inlmath]\exists k \in K[/inlmath], t.d. [inlmath]k \notin H[/inlmath]
No, s obzirom da [inlmath](H \cup K) \subseteq G \Rightarrow hk \in H \cup K \Rightarrow hk \in H \lor hk \in K[/inlmath]
Neka je sad [inlmath]hk \in H \land h \in H \land h^-1 \in H \Rightarrow h^-1 hk = k \in H[/inlmath] sto je kontradikcija [inlmath]\Rightarrow \Leftarrow[/inlmath]

Ovaj dokaz je dobar, ali je loše zapisan. Prvo obrati pažnju da za označavanje podgrupa koristimo [inlmath]\le[/inlmath] a ne [inlmath]\subseteq[/inlmath] (ovo je veoma važno). Zatim obrati pažnju kako se eksponenti pišu u Latex-u: [inlmath]h^{-1}[/inlmath] a ne [inlmath]h^-1[/inlmath]. Osim ove dve (tehničke) greške, potrebno je još malo da poradiš na stilu. Na primer koristi više reči a manje simbola kao što su [inlmath]\land, \Rightarrow[/inlmath]. Poslednja rečenica bi ovako mogla da glasi: Kako je [inlmath]H\le G[/inlmath] i [inlmath]h\in H[/inlmath], sledi da [inlmath]h^{-1}\in H[/inlmath]. Kako i [inlmath]hk\in H[/inlmath] sledi da [inlmath]k = h^{-1}hk \in H[/inlmath], što je kontradikcija sa pretpostavkom da [inlmath]k\not\in H[/inlmath].

Drugi dokaz nisam uspeo da shvatim.
Dokaži da [inlmath]x\in n\,\mathbb Z \cap m\,\mathbb Z[/inlmath] ako i samo ako [inlmath]x\in k\,\mathbb Z[/inlmath] gde je [inlmath]k=\mathrm{NZS}(n,m)[/inlmath]. Na ovaj način se dokazuje jednakost skupova.
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 571
Zahvalio se: 371 puta
Pohvaljen: 566 puta

Re: Presek količničkih podgrupa

Postod mariana » Četvrtak, 18. Februar 2021, 15:01

Moze! Hvala!
Ali, pozabavit cu se ovim opet za otprilike 2 tjedna i otipkati progres. Nadam se da nije problem. Odlucila sam lin.alg ostaviti za rok u aprilu, a izaci na jedan drugi, nadam se laksi, ispit sada
mariana  OFFLINE
 
Postovi: 12
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 1 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 05. Mart 2021, 18:16 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs