Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Komutiranje matrica

Matrice, determinante...

Komutiranje matrica

Postod lattok » Sreda, 13. Oktobar 2021, 20:55

Pozdrav, imam zadatak koji glasi ovako: Odredi sve matrice koje komutiraju s matricom [dispmath]A=\begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{bmatrix}.[/dispmath]

Ono što znam da kod komutacije mora da vrijedi jeste [inlmath]AX=XA[/inlmath], gdje je [inlmath]X[/inlmath] tražena matrica (odnosno sve tražene matrice ali zapisane u općenitom obliku). A [inlmath]X[/inlmath] matrica mi je npr.
[dispmath]X=\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}[/dispmath] Nakon množenja obje strane, dobijem nešto ovako
[dispmath]\begin{bmatrix}
a+2c & b+2d\\
3a+4c & 3b+4d
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
a+3b & 2a+4b\\
c+3d & 2c+4d
\end{bmatrix}[/dispmath] Dalje, da bi dvije matrice bile jednake moraju im i elementi biti jednaki, ali kako riješiti ovaj sistem i zapisati ga u općenitom obliku.
Ako neko može pomoći, bilo bi super.

Hvala unaprijed
lattok  OFFLINE
 
Postovi: 17
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Komutiranje matrica

Postod Daniel » Ponedeljak, 18. Oktobar 2021, 19:03

Nakon što napišeš sistem, možeš odmah uočiti da su prva i četvrta jednačina sistema međusobno linearno zavisne, tako da jednu od njih možeš eliminisati. Iz bilo koje od njih nađeš vezu [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath].
Uvrštavanjem u drugu (ili treću), takođe će i druga i treća jednačina postati linearno zavisne, što znači da nam ostaju samo dve linearno nezavisne jednačine.
Ako si sve ispravno uradio, treba da dobiješ jednačine [inlmath]3b=2c[/inlmath] i [inlmath]a+c=d[/inlmath].
Pošto je broj nepoznatih veći od broja linearno nezavisnih jednačina, to znači da rešenja ima beskonačno mnogo, pri čemu svaku od nepoznatih možemo izraziti preko dva promenljiva parametra. Neka su ti parametri [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]u[/inlmath] ([inlmath]t,u\in\mathbb{R}[/inlmath]).
Možemo npr. uzeti da je [inlmath]t=a[/inlmath] i da je [inlmath]u=c[/inlmath] (ovo smo mogli učiniti na više načina, ali nekako napipavamo najzgodniji). Tada je [inlmath](a,b,c,d)=\left(t,\;\frac{2}{3}u,\;u,\;t+u\right)[/inlmath], pa je [inlmath]X=\begin{bmatrix} t & \frac{2}{3}u\\ u & t+u \end{bmatrix}[/inlmath].
Ili, ako ne želimo razlomke, možemo uzeti [inlmath]t=a[/inlmath] i [inlmath]u=3c[/inlmath], tada bi bilo [inlmath](a,b,c,d)=\left(t,\;2u,\;3u,\;t+3u\right)[/inlmath], pa je [inlmath]X=\begin{bmatrix} t & 2u\\ 3u & t+3u \end{bmatrix}[/inlmath].
Provera bilo kog od ova dva zapisa rezultata može se izvršiti uvrštavanjem u [inlmath]AX=XA[/inlmath], čime se, nakon izračunavanja, možemo uveriti da je jednakost zadovoljena, tj. da matrice jesu komutativne.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8842
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4896 puta
Pohvaljen: 4732 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 07. Decembar 2021, 06:47 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs