Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Rang matrice

Matrice, determinante...

Rang matrice

Postod Acim » Ponedeljak, 20. Decembar 2021, 22:32

Zdravo,
Zadatak glasi: Ispod svake matrice napisati broj koji predstavlja njen rang. Hteo sam da pitam da li je kod ovog zadatka greška u rešenju. Matrica glasi:
[dispmath]\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & 4\\
2 & 3 & 1 & 2\\
1 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}[/dispmath]
U rešenju piše da je njen rang [inlmath]3[/inlmath], ali kako to može biti tačno? Jer, ako uzmem proizvoljnu [inlmath]3\times3[/inlmath] matricu, npr: [inlmath]\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/inlmath] dobijam da je matrica jednaka [inlmath]0[/inlmath] (a mora da bude različita od nule da bi uopšte mogla da ima rang kao veličina matrice koja je po defaultu postavljena). Onda sam uzeo drugu mogućnost, tj. [inlmath]\begin{bmatrix} 0 & 0 & 4\\ 3 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/inlmath] opet dobijam da je matrica [inlmath]0[/inlmath], što bi valjda značilo da njen rang nikako ne može biti [inlmath]3[/inlmath]? :think1:
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Rang matrice

Postod Daniel » Utorak, 21. Decembar 2021, 16:40

Nije greška u rešenju, rang jeste [inlmath]3[/inlmath].
Da bi rang bio manji od [inlmath]3[/inlmath], nije dovoljno da postoji samo jedna podmatrica [inlmath]3\times3[/inlmath] čija je determinanta jednaka nuli, već moraju sve podmatrice [inlmath]3\times3[/inlmath] imati determinante koje su nule.
Uzmi na primer podmatricu [inlmath]\begin{bmatrix} 2 & 0 & 4\\ 2 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/inlmath]. Ta podmatrica jeste [inlmath]3\times3[/inlmath], ali njena determinanta nije nula. A čim postoji makar jedna podmatrica [inlmath]3\times3[/inlmath] čija determinanta nije nula, znači da je rang ove matrice jednak [inlmath]3[/inlmath].

Do istog si rezultata mogao doći i svođenjem zadate matrice na stepenastu formu, pri čemu bi video da broj nenultih vrsta iznosi [inlmath]3[/inlmath], pa je samim tim to i rang matrice.

Acim je napisao:[inlmath]\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/inlmath] dobijam da je matrica jednaka [inlmath]0[/inlmath]

Moraš razlikovati pojmove matrica i determinanta. Ova matrica očigledno nije jednaka [inlmath]0[/inlmath] (već je jednaka [inlmath]\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/inlmath], kao što si i napisao). Nuli je jednaka njena determinanta.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Rang matrice

Postod Acim » Utorak, 21. Decembar 2021, 18:08

Sada shvatam. Samo, ako tako zamenimo mesta vrednosti matrice, zar se tako ne menja njena cela vrednost, ili to svakako nije bitno u ovom slučaju, pošto je ne računamo celu?
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Re: Rang matrice

Postod Daniel » Utorak, 21. Decembar 2021, 18:25

Nisam razumeo pitanje, šta znači „zamena mesta vrednosti matrice“?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Rang matrice

Postod Acim » Ponedeljak, 17. Januar 2022, 21:58

Pogrešno sam se izrazio bio. Uglavnom sam skapirao zadatak. Zanima me još da li bih smeo da uradim sledeće (pretpostavljam da je greška ali opet da budem siguran) - da zamenim npr kolone [inlmath]1\;0\;0\;1[/inlmath] i [inlmath]2\;0\;0\;4[/inlmath] i da uokviru nje nalazim odgovarajuće podmatrice?
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Re: Rang matrice

Postod Daniel » Ponedeljak, 24. Januar 2022, 11:29

Verovatno si hteo reći vrste – [inlmath]1\;0\;0\;1[/inlmath] i [inlmath]2\;0\;0\;4[/inlmath] su vrste, a ne kolone.
Naravno da smeš, jer se ekvivalentnim transformacijama matrice (u koje spadaju i zamene dve vrste ili zamene dve kolone) ne menja njen rang. Ali, ne vidim zašto bi to radio, ništa time posebno ne dobijaš.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 56 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 17:02 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs