MATEMANIJA

Rešiti sistem:
[dispmath]x-3y+2z+t=-5\\
2x+3y+4z+8t=-1\\
3x+3y+6z+11t=-3\\
-2x-4z+(m-6)t=5[/dispmath]
Rešavao sam pomoću Kroneker-Kapelijeve teoreme i dobio da je proširena matrica, posle elementarnih transformacija
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -3 & 2 & 1 & -5\\
0 & 9 & 0 & 6 & 9\\
0 & 0 & 0 & 2m & 2\\
0 & 0 & 0 & m & 1
\end{array}\right][/dispmath]
Rang matrice sistema je , ako je [inlmath]m\ne0[/inlmath] je , [inlmath]3[/inlmath] ili [inlmath]4[/inlmath]? , a ukoliko je [inlmath]m=0[/inlmath] rang iznosi [inlmath]2[/inlmath]. Da li je dobro nešto od ovoga?

Matricu koju si dobio možeš još srediti tako da glasi
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -3 & 2 & 1 & -5\\
0 & 9 & 0 & 6 & 9\\
0 & 0 & 0 & m & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right][/dispmath]
i tada vrlo lako možeš očitati rang matrice sistema, budući da je rang trougaone matrice jednak broju njenih ne-nula vrsta. Kod ove trougaone matrice sistema uočavaš da je broj ne-nula vrsta jednak [inlmath]2[/inlmath] kada je [inlmath]m=0[/inlmath], odnosno [inlmath]3[/inlmath] kada je [inlmath]m\ne0[/inlmath].

---

Da rang matrice sistema nikako ne može biti [inlmath]4[/inlmath] možeš odmah zaključiti i na osnovu toga što su u matrici sistema koju si dobio,
[dispmath]\begin{bmatrix}
1 & -3 & 2 & 1\\
0 & 9 & 0 & 6\\
0 & 0 & 0 & 2m\\
0 & 0 & 0 & m
\end{bmatrix}[/dispmath]
treća i četvrta vrsta međusobno proporcionalne. Samim tim, rang ove matrice mora biti bar za jedan manji od broja njenih vrsta. Znači, rang matrice sistema može biti najviše [inlmath]3[/inlmath].

Takođe, drugi način da zaključiš da je za [inlmath]m\ne0[/inlmath] rang ove matrice jednak [inlmath]3[/inlmath] jeste taj da uočiš bilo koju njenu regularnu podmatricu čiji je red [inlmath]3[/inlmath]. Jedna takva regularna podmatrica bila bi [inlmath]\begin{bmatrix}-3 & 2 & 1\\9 & 0 & 6\\0 & 0 & m\end{bmatrix}[/inlmath] (determinanta te matrice bila bi [inlmath]-18m[/inlmath], što je različito od nule za [inlmath]m\ne0[/inlmath], pa je i ta matrica regularna), što znači da je za [inlmath]m\ne0[/inlmath] rang matrice sistema jednak [inlmath]3[/inlmath].

A koliko je rang proširene matrice kada je [inlmath]m=0[/inlmath], tj. da li je isti kao i rang matrice sistema koji iznosi [inlmath]2[/inlmath]?

A kako bi išlo diskutovanje rešenja u zavisnosti od parametra [inlmath]m[/inlmath]?

Rang proširene matrice je [inlmath]3[/inlmath], nezavisno od vrednosti parametra [inlmath]m[/inlmath].

To znači, da će u slučaju [inlmath]m\ne 0[/inlmath], rang matrice sistema biti jednak rangu proširene matrice [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] sistem će imati rešenja. Pošto je rang manji od broja nepoznatih, sistem će imati beskonačno mnogo rešenja, a pošto je rang za [inlmath]1[/inlmath] manji od broja nepoznatih, to znači da jednu nepoznatu možemo „fiksirati“, a ostale promenljive izraziti u zavisnosti od te „fiksirane“ promenljive.

U slučaju [inlmath]m=0[/inlmath], rang matrice sistema neće biti jednak rangu proširene matrice [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] sistem neće imati rešenja.

Hvala. Ovde se rang proširene matrice ne očitava kao broj ne nula elemenata na glavnoj dijagonali, jer na glavnoj dijagonali imamo samo [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]9[/inlmath]?

Dobijamo:
[dispmath]\begin{array}{l}
x-3y+2z+t= -5\\
9y+6t=9\\
m\cdot t =1
\end{array}[/dispmath]
Kako bi se sad sve izrazilo preko jedne "fiksirane" promenljive? Ako uzmemo da je ta promenljiva [inlmath]y[/inlmath] onda nam u prvoj jednačini ostaju i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] tj. dobijamo da kroz jednu jednačinu izrazimo dve promenljive.

Miladin Jovic je napisao:Hvala. Ovde se rang proširene matrice ne očitava kao broj ne nula elemenata na glavnoj dijagonali, jer na glavnoj dijagonali imamo samo [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]9[/inlmath]?

Sorry, moja greška, to da je rang matrice jednak broju nenultih elemenata na glavnoj dijagonali važi za dijagonalne, a ne za trougaone matrice. Ispraviću sad to, da ne bude zabune. Kod trougaonih matrica je rang jednak broju nenultih vrsta matrice. Ako matrica nije kvadratna, tada rang možemo očitati svođenjem na stepenastu formu (kod koje je prvi nenulti element u svakoj vrsti pomeren bar za jednu kolonu udesno u odnosu na prvi nenultni element u prethodnoj koloni), tako što je kod te stepenaste forme rang jednak broju nenultih vrsta.

Miladin Jovic je napisao:Dobijamo:
[dispmath]\begin{array}{l}
x-3y+2z+t= -5\\
9y+6t=9\\
m\cdot t =1
\end{array}[/dispmath]
Kako bi se sad sve izrazilo preko jedne "fiksirane" promenljive? Ako uzmemo da je ta promenljiva [inlmath]y[/inlmath] onda nam u prvoj jednačini ostaju i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] tj. dobijamo da kroz jednu jednačinu izrazimo dve promenljive.

U ovom slučaju za [inlmath]t[/inlmath] se, iz treće jednačine, dobije tačno određeno rešenje, [inlmath]t=\frac{1}{m}[/inlmath] (pod uslovom da je [inlmath]m\ne 0[/inlmath]). Uvrštavanjem u drugu jednačinu, nađeš tačno određeno rešenje i za [inlmath]y[/inlmath]. I, kad to uvrstiš u prvu jednačinu, tada možeš ili [inlmath]x[/inlmath] izraziti u zavisnosti od [inlmath]z[/inlmath], ili [inlmath]z[/inlmath] izraziti u zavisnosti od [inlmath]x[/inlmath].

Hvala. Nas su učili da kod svake matrice gledamo broj linearno nezavisnih vrsta i da taj broj predstavlja rang matrice, bez obzira na to da li je dijagonlna ili trougaona.

OK, ali kako ćeš utvrditi koje su vrste linearno nezavisne, nego svođenjem na neki od ta dva oblika matrice? Lako je kad su dve vrste međusobno linearno zavisne – tada se lako primeti da su im koeficijenti proporcionalni. Ali, šta kad postoje tri ili više vrsta koje su međusobno linearno zavisne? Tada njihova linearna zavisnost već nije tako očigledna na prvi pogled...