MATEMANIJA

Dakle, imam detrminantu koju treba rjesiti preko njenih osobina:
[dispmath]\begin{vmatrix}
1& 1 & 1\\
x^2 & y^2 & z^2\\
x^3 & y^3 & z^3
\end{vmatrix}[/dispmath]
i treba da se dobije rjesenje [inlmath](xy+xz+yz)(y-x)(z-x)(z-y)[/inlmath].....Meni nije jasno ovo grupisanje, i ako neko moze da mi objasni kako se dobija ovo rjesenje

OVO JE DETERMINANTA

@GileN,
Dakle, nisi pročitao Pravilnik foruma Matemanija.
Molim te da pročitaš i postaviš pitanje u skladu s našim pravilima.
I dobićeš odgovor .
Naime, za pisanje formula koristimo Latex (tačka 13. Pravilnika).
No pošto su ovo tvoji prvi postovi, videću u dogovoru s moderatorskim timom da ti prepravimo ovu determinantu.
Znam šta si hteo, vidim da si u drugom postu pokušao jasnije da prikažeš determinantu.
No neko će ovu tvoju determinantu shvatiti kao tri apsolutne vrednosti .
p.s. Zadatak je inače interesantan. I sasvim je korektno i u skladu s Pravilnikom to što si naveo rezultat, kao i to da nemaš početnu ideju.

Latex uputstvo je ovde, mada imaš link i u tački 13. Pravilnika, a i sa desne strane, ispod smajlija.

Moram, ali stvarno moram i po treći put da postujem iako se postavljač teme ne javlja. I to, naravno, nije njegova obaveza.
Ovo je čuvena Vandermondova determinanta (Vandermonde determinant) u prostom obliku tri puta tri.
Spremam i tutorijal na tu temu, no evo uputstva za ostale korisnike za ovaj prosti zadatak koji je ipak od izuzetnog značaja i koji je po mom mišljenju konfuzno postavljen, tako da ga ja postavljam u Latexu.
Dakle: Izračunati vrednost determinante koristeći elementarne osobine i transformacije vrsta i kolona determinante (ne znam da li može jasnije):
[dispmath]\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\\
x^2 & y^2 & z^2\\
x^3 & y^3 & z^3
\end{vmatrix}[/dispmath]
Da li je toliko teško iskoristiti svima dostupno Latex uputstvo i sa copy-paste nacrtati determinantu?

Elem, prva kolona se množi brojem [inlmath]-1[/inlmath] i dodaje drugoj, potom i trećoj koloni. Dobijamo preko elementarnih osobina determinante:
[dispmath]\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0\\
x^2 & y^2-x^2 & z^2-x^2\\
x^3 & y^3-x^3 & z^3-x^3
\end{vmatrix}[/dispmath]
Sada se prva vrsta ove nove determinante množi sa [inlmath]-x^2[/inlmath] i dodaje drugoj. Potom se množi sa [inlmath]-x^3[/inlmath] i dodaje trećoj vrsti. I ovo su elementarne transformacije determinante, determinanta ostaje ista kao i početna. Tačno je da je transformisana, no determinanta je samo broj i ništa više. Broj. Broj! Broj!! Počeću da vičem, pa ću se samobanovati . Na svu sreću, ne upotrebih tri znaka uzvika na kraju rečenice .

Da vidimo šta smo dobili:
[dispmath]\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & y^2-x^2 & z^2-x^2\\
0 & y^3-x^3 & z^3-x^3
\end{vmatrix}[/dispmath]
Hajde sada vi malo dalje, skoro da završih zadatak, ljutim se na samog sebe!

Ja se duboko izvinjavam zbog nepravilnosti, hvala Vam na razumijevanju i obavezno cu postovati Latex pravila u sledecim postovima

p.s. Ako mi vjerujete, ovakve zadatke uopste nijesmo radili na predavanjima i pokusavao sam da pronadjem nesto o ovome na internetu ali bezuspjesno, drago mi je sto sam dobio odgovor, iako nezasluzen

@GileN,
ma sve je ovo ok, ni ja nisam odmah koristio Lateks u svojim prvim postovima. Posle sam naučio, a stvarno je lako uz Latex uputstvo.
Naime, naučni radovi koji se objavljuju na SCI listi (Science Citation Index) pišu se u Latexu, da ne pominjem udžbenike, sajtove itd. Bolji je od bilo kog programa za pisanje formula, pregledan je, kao da je rukom pisano, i to veštom rukom.
Nema potrebe ni za izvinjavanjem, sve je u redu.
Nego mogli bismo i da završimo zadatak .

Jos jedno pitanje, da li sad treba da dobijemo [inlmath]0[/inlmath] i da pomnozimo po glavnoj dijagonali?

Hajde da ga dovršimo:
[dispmath]D=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & y^2-x^2 & z^2-x^2\\ 0 & y^3-x^3 & z^3-x^3 \end{vmatrix}[/dispmath][dispmath]D=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 &(y-x)(y+x) & (z-x)(z+x)\\ 0 &(y-x)\left(y^2+xy+x^2\right) & (z-x)\left(z^2+zx+x^2\right) \end{vmatrix}[/dispmath]
Korišćeno je elementarno razlaganje razlike kvadrata i kubova.

A sada se koristi osobina da, ako je neka vrsta ili kolona determinante pomnožena istim brojem, taj broj se može izvući ispred determinante. Ovde imamo dva takva broja, i u drugoj i u trećoj koloni:
[dispmath]D=(y-x)(z-x)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (y+x) & (z+x)\\ 0 &\left(y^2+xy+x^2\right) & \left(z^2+zx+x^2\right) \end{vmatrix}[/dispmath]
Sada je potrebno pomnožiti drugu kolonu brojem [inlmath]-1[/inlmath] i dodati je trećoj koloni (zar nije zanimljivo ):
[dispmath]D=(y-x)(z-x)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (y+x) & (z-y)\\ 0 & \left(y^2+xy+x^2\right) & (z-y)(z+y+x) \end{vmatrix}[/dispmath]
Priznajem, sređivanje poslednjeg člana nisam baš detaljno obrazložio, no potrudi se malo i ti

Sada opet izvlačimo ispred determinante zajednički faktor iz treće kolone:
[dispmath]D=(y-x)(z-x)(z-y)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (y+x) & 1\\ 0 & \left(y^2+xy+x^2\right) & (z+y+x) \end{vmatrix}[/dispmath]
Nastavljamo bodro i čilo da koristimo osobine determinante!
Pomnožimo drugu vrstu faktorom [inlmath]-y[/inlmath] i dodajmo je trećoj vrsti. Zar nije uzbudljivo?
Dobijamo:
[dispmath]D=(y-x)(z-x)(z-y)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (y+x) & 1\\ 0 & x^2 & (x+z) \end{vmatrix}[/dispmath]
Možda će neko primetiti da imam višak zagrada i to je tačno, no smatrao sam da će ovako biti preglednije. Molim kolege iz moderatorskog tima da ne uklanjaju moje zagrade. Noli tangere "zagrade" meos! Što bi rekao Arhimed, ili nešto tako

E sada drugu vrstu množim brojem [inlmath]-x[/inlmath] i dodajem je trećoj vrsti.
[dispmath]D=(y-x)(z-x)(z-y)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (y+x) & 1\\ 0 & -xy & z \end{vmatrix}[/dispmath]
Krajnje je vreme da razvijemo ovu determinantu, svedena je na dva puta dva:
[dispmath]D=(y-x)(z-x)(z-y)(xy+xz+yz)[/dispmath]
p.s. Naravno da se zadatak može i kraće algebarski uraditi, prostim razvijanjem početne determinante, no poenta zadatka (kako sam ga ja shvatio) jeste da se baš-baš koriste osobine i elementarne transformacije determinante.

Hahhaha bas je zanimljiv zadatak, ako uspijem da ga odbranim sjutra bice dobro Hvala puno

@desideri, A šta da radim ako ne bih smeo da elementarno transformišem matricu po kolonama pošto na našem fakultetu smem samo da elementarno transformišem matricu po vrstama?