Cisra je napisao:Sistem ne moze biti odredjen jer je broj jednacina ocevidno manji od broja nepoznatih. Imamo tri jednacine, a cetiri nepoznate.
Upravo tako.
Cisra je napisao:Ispitivao sam za:
[inlmath]a=-1\\
a=2\\
a=-2[/inlmath]
Da, treba ispitivati za [inlmath]a=-1[/inlmath] i za [inlmath]a=2[/inlmath], ali zbog čega za [inlmath]a=-2[/inlmath]?
Cisra je napisao:Sto bi znacilo da je za [inlmath]a=-1\;\land\;b\ne c[/inlmath] sistem kontradiktoran.
Tako je, a pokazaću i način koji bi objedinio sva ta ispitivanja.
Prvo napišemo proširenu matricu sistema,
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & a-2 & a & a+1 & 1\\
a & a-2 & a & -1 & b\\
a & a-2 & -1 & a & c
\end{array}\right][/dispmath] zatim je transformišemo u trapezni oblik tako što, za početak, i drugoj i trećoj vrsti dodamo prvu pomnoženu sa [inlmath]a[/inlmath] i dobijemo
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & a-2 & a & a+1 & 1\\
0 & \left(a+1\right)\left(a-2\right) & a\left(a+1\right) & a^2+a-1 & a+b\\
0 & \left(a+1\right)\left(a-2\right) & \left(a-1\right)\left(a+1\right) & a\left(a+2\right) & a+c
\end{array}\right][/dispmath] a zatim od treće vrste oduzmemo drugu i dobijemo
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & a-2 & a & a+1 & 1\\
0 & \left(a+1\right)\left(a-2\right) & a\left(a+1\right) & a^2+a-1 & a+b\\
0 & 0 & -\left(a+1\right) & a+1 & c-b
\end{array}\right][/dispmath] čime smo proširenu matricu sistema sveli na trapezni oblik.
Sada je, radi određivanja kada je sistem kontradiktoran a kada neodređen, potrebno diskutovati slučajeve kada su elementi u preseku [inlmath]k[/inlmath]-te vrste i [inlmath]k[/inlmath]-te kolone jednaki nuli, a kada različiti od nule.
Ti elementi su: [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]\left(a+1\right)\left(a-2\right)[/inlmath] i [inlmath]-\left(a+1\right)[/inlmath].
Prvi od ta tri elementa uvek je različit od nule, drugi i treći element će biti jednaki nuli za [inlmath]a=-1[/inlmath], a samo drugi element će biti jednak nuli za [inlmath]a=2[/inlmath]. Dakle, ovo su vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath] za koje je potrebno posebno razmatrati sistem.
Za [inlmath]a=-1[/inlmath] trapezni oblik proširene matrice sistema svodi se na:
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & -3 & -1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1 & b-1\\
0 & 0 & 0 & 0 & c-b
\end{array}\right][/dispmath] Ili, zapisano u obliku jednačina,
[dispmath]\begin{array}{rrrrl}
-x & -3y & -z & & =1\\
& & & -u & =b-1\\
& & & 0 & =c-b
\end{array}[/dispmath] Na osnovu poslednje (treće) jednačine odmah vidimo da mora biti [inlmath]c-b=0[/inlmath], tj. [inlmath]b=c[/inlmath], kako bi sistem uopšte mogao imati rešenja. U protivnom, za [inlmath]b\ne c[/inlmath], sistem je kontradiktoran.
Za [inlmath]b=c[/inlmath] moguće je jednoznačno odrediti vrednost za [inlmath]u[/inlmath] i ona iznosi [inlmath]u=1-b[/inlmath]. Međutim, za [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] nije moguće jednoznačno odrediti njihove vrednosti, već je jedino moguće vrednost svake od njih izraziti preko vrednosti preostale dve, npr. [inlmath]x=-3y-z-1[/inlmath]:
[dispmath]\left(x,y,z,u\right)=\left\{\left.\left(-3\alpha-\beta-1,\;\alpha,\;\beta,\;1-b\right)\;\right|\;\alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}[/dispmath] Zbog toga je za [inlmath]a=-1,\;b=c[/inlmath] ovaj sistem
dvostruko neodređen.
Za [inlmath]a=2[/inlmath] trapezni oblik proširene matrice sistema svodi se na:
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & 0 & 2 & 3 & 1\\
0 & 0 & 6 & 5 & b+2\\
0 & 0 & -3 & 3 & c-b
\end{array}\right][/dispmath] odakle odmah možemo videti da nepoznata [inlmath]y[/inlmath] može imati beskonačno mnogo rešenja i da pri tome ne zavisi ni od jedne druge nepoznate. Ostale nepoznate možemo izračunati sređivanjem ove matrice. Od prve vrste oduzmemo treću, a drugoj vrsti dodamo treću pomnoženu sa [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & 0 & 5 & 0 & b-c+1\\
0 & 0 & 0 & 11 & -b+2c+2\\
0 & 0 & -3 & 3 & c-b
\end{array}\right][/dispmath] Odatle dobijamo:
[dispmath]11u=-b+2c+2\quad\Longrightarrow\quad u=\frac{-b+2c+2}{11}\\
-3z+3u=c-b\quad\Longrightarrow\quad z=u+\frac{b-c}{3}=\frac{-b+2c+2}{11}+\frac{b-c}{3}=\frac{8b-5c+6}{33}\\
-x+5z=b-c+1\quad\Longrightarrow\quad x=5z-b+c-1=5\cdot\frac{8b-5c+6}{33}-b+c-1=\frac{7b+8c-3}{33}[/dispmath]
[dispmath]\Longrightarrow\quad\left(x,y,z,u\right)=\left\{\left.\left(\frac{7b+8c-3}{33},\;\alpha,\;\frac{8b-5c+6}{33},\;\frac{-b+2c+2}{11}\right)\;\right|\;\alpha\in\mathbb{R}\right\}[/dispmath] odakle vidimo da je za [inlmath]a=2[/inlmath] ovaj sistem
jednostruko neodređen.
Dakle,
- Za [inlmath]a=-1\;\land\;b\ne c[/inlmath] sistem je kontradiktoran;
- Za [inlmath]a=-1\;\land\;b=c[/inlmath] sistem je dvostruko neodređen;
- Za [inlmath]a=2[/inlmath] sistem je jednostruko neodređen.
Bi li umeo da dovršiš zadatak tako što bi, polazeći od trapeznog oblika proširene matrice sistema, odredio rešenja i utvrdio prirodu sistema za [inlmath]a\ne-1\;\land\;a\ne2[/inlmath]?