Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Sistemi linearnih jednacina s realnim parametrima

Matrice, determinante...

Sistemi linearnih jednacina s realnim parametrima

Postod Cisra » Nedelja, 17. Januar 2016, 02:17

Kaze zadatak ovako:
U zavisnosti od realnih parametara [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] diskutovati i resiti sistem jednacina:
[dispmath]−x+(a−2)y+az+(a+1)u=1\\
ax+(a−2)y+az−u=b\\
ax+(a−2)y−z+au=c[/dispmath] I sada kada taj sistem transformisem dobijem ovaj:

[inlmath](a−2)y−x+az+(a+1)u=1\\
(a+1)x−(a+2)u=b−1\\
−(a+1)z+(a+1)u=c−b[/inlmath]

Treba da odredim za koje vrednosti je taj sistem odredjen, za koje neodredjen (jednostruko, dvostruko), a za koje je kontradiktoran. Medjutim nisu mi najjasniji ti pojmovi i zbog toga ne mogu da nastavim sa resavanjem. U knjizi je objasnjeno ali ne najjasnije.
Kontradiktoran je kada nema resenja.
Odredjen kada ima tacno jedno resenje ali da li je to po svim promenjivim? (Znaci jedno resenje za [inlmath]x[/inlmath], za [inlmath]y[/inlmath]...).
Sta bi bilo neodredjen?
Koje vrednosti parametara da ispitujem?
I ako je neko toliko ljubazan da odradi zadatak do kraja?
Unapred sam zahvalan :)
Cisra  OFFLINE
 
Postovi: 18
Lokacija: Novi Sad
Zahvalio se: 13 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Sistemi linearnih jednacina s realnim parametrima

Postod Daniel » Nedelja, 17. Januar 2016, 13:43

Sistem je određen onda kada je za svaku nepoznatu moguće jednoznačno odrediti njenu vrednost. U slučaju kada postoji bar jedna promenljiva sistema za koju nije moguće naći jednoznačnu vrednost, tada je sistem neodređen.
Da bi sistem bio određen, neophodan (ali ne i dovoljan) uslov je da broj jednačina sistema bude najmanje onoliki koliki je i broj nepoznatih. Ako je broj jednačina manji od broja nepoznatih, tada sistem nikako ne može biti određen (može biti ili neodređen ili kontradiktoran).
Ako je ispunjen uslov da je broj jednačina sistema veći (ili jednak) broju nepoznatih, tada sistem može biti određen, neodređen, ili kontradiktoran.



Primer neodređenog sistema bio bi:
[dispmath]5x+2y=3\\
15x+6y=9[/dispmath] jer druga jednačina, deljenjem sa [inlmath]3[/inlmath], postaje identična prvoj jednačini,
[dispmath]5x+2y=3\\
5x+2y=3[/dispmath] tako da tada faktički imamo samo jednu (ponovljenu) jednačinu a dve nepoznate.
Uostalom, oduzimanjem jedne jednačine od druge dobili bismo [inlmath]0=0[/inlmath], što je neodređen oblik.
Ovo bi bio primer jednostruko neodređenog sistema, jer je kod njega jednu nepoznatu moguće izraziti preko druge: [inlmath]x=\frac{3-2y}{5}[/inlmath] ili [inlmath]y=\frac{3-5x}{2}[/inlmath].
Uopšte, kada je u neodređenom sistemu moguće jednu nepoznatu fiksirati i sve ostale nepoznate izraziti preko te jedne, tada je taj sistem jednostruko neodređen.
Kada to nije moguće, već je potrebno fiksirati dve nepoznate, a preostale nepoznate sistema izraziti preko te dve nepoznate, tada je taj sistem dvostruko neodređen.



Sistem je kontradiktoran onda kada dobiješ da su dve očigledno različite vrednosti – međusobno jednake. Evo na konkretnom primeru:
[dispmath]5x+2y=7\\
5x+2y=3[/dispmath] Očigledno je da je ovaj sistem kontradiktoran, jer su leve strane obe jednačine međusobno jednake, a desne nisu. Kada bi od prve jednačine oduzeo drugu, dobio bi [inlmath]0=4[/inlmath], što je kontradiktornost sama po sebi.

U opštem slučaju, kada u sistemu jednačina dobiješ dve jednačine oblika
[dispmath]a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b_1\\
a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b_2[/dispmath] gde je [inlmath]b_1\ne b_2[/inlmath], taj sistem je kontradiktoran.



Da li bi sada, za početak, mogao da odgovoriš da li sistem iz tvog zadatka može biti određen (i zašto)? Da li može (za određene vrednosti parametara) biti kontradiktoran?
Ajd prvo to da vidimo, pa onda idemo na neodređenost.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Sistemi linearnih jednacina s realnim parametrima

Postod Cisra » Nedelja, 17. Januar 2016, 21:51

Sistem ne moze biti odredjen jer je broj jednacina ocevidno manji od broja nepoznatih. Imamo tri jednacine, a cetiri nepoznate.
Ispitivao sam za:
[inlmath]a=-1\\
a=2\\
a=-2[/inlmath]

Za [inlmath]a=-1[/inlmath] dobijem:
[inlmath]-3y-x-z=1\\
u=1-b\\
c=b[/inlmath]

Sto bi znacilo da je za [inlmath]a=-1\;\land\;b\ne c[/inlmath] sistem kontradiktoran.
Ako se varam ispravite me.
Cisra  OFFLINE
 
Postovi: 18
Lokacija: Novi Sad
Zahvalio se: 13 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Sistemi linearnih jednacina s realnim parametrima

Postod Daniel » Ponedeljak, 18. Januar 2016, 09:37

Cisra je napisao:Sistem ne moze biti odredjen jer je broj jednacina ocevidno manji od broja nepoznatih. Imamo tri jednacine, a cetiri nepoznate.

Upravo tako. :correct:

Cisra je napisao:Ispitivao sam za:
[inlmath]a=-1\\
a=2\\
a=-2[/inlmath]

Da, treba ispitivati za [inlmath]a=-1[/inlmath] i za [inlmath]a=2[/inlmath], ali zbog čega za [inlmath]a=-2[/inlmath]?

Cisra je napisao:Sto bi znacilo da je za [inlmath]a=-1\;\land\;b\ne c[/inlmath] sistem kontradiktoran.

:correct: Tako je, a pokazaću i način koji bi objedinio sva ta ispitivanja.

Prvo napišemo proširenu matricu sistema,
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & a-2 & a & a+1 & 1\\
a & a-2 & a & -1 & b\\
a & a-2 & -1 & a & c
\end{array}\right][/dispmath] zatim je transformišemo u trapezni oblik tako što, za početak, i drugoj i trećoj vrsti dodamo prvu pomnoženu sa [inlmath]a[/inlmath] i dobijemo
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & a-2 & a & a+1 & 1\\
0 & \left(a+1\right)\left(a-2\right) & a\left(a+1\right) & a^2+a-1 & a+b\\
0 & \left(a+1\right)\left(a-2\right) & \left(a-1\right)\left(a+1\right) & a\left(a+2\right) & a+c
\end{array}\right][/dispmath] a zatim od treće vrste oduzmemo drugu i dobijemo
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & a-2 & a & a+1 & 1\\
0 & \left(a+1\right)\left(a-2\right) & a\left(a+1\right) & a^2+a-1 & a+b\\
0 & 0 & -\left(a+1\right) & a+1 & c-b
\end{array}\right][/dispmath] čime smo proširenu matricu sistema sveli na trapezni oblik.
Sada je, radi određivanja kada je sistem kontradiktoran a kada neodređen, potrebno diskutovati slučajeve kada su elementi u preseku [inlmath]k[/inlmath]-te vrste i [inlmath]k[/inlmath]-te kolone jednaki nuli, a kada različiti od nule.
Ti elementi su: [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]\left(a+1\right)\left(a-2\right)[/inlmath] i [inlmath]-\left(a+1\right)[/inlmath].
Prvi od ta tri elementa uvek je različit od nule, drugi i treći element će biti jednaki nuli za [inlmath]a=-1[/inlmath], a samo drugi element će biti jednak nuli za [inlmath]a=2[/inlmath]. Dakle, ovo su vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath] za koje je potrebno posebno razmatrati sistem.



Za [inlmath]a=-1[/inlmath] trapezni oblik proširene matrice sistema svodi se na:
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & -3 & -1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1 & b-1\\
0 & 0 & 0 & 0 & c-b
\end{array}\right][/dispmath] Ili, zapisano u obliku jednačina,
[dispmath]\begin{array}{rrrrl}
-x & -3y & -z & & =1\\
& & & -u & =b-1\\
& & & 0 & =c-b
\end{array}[/dispmath] Na osnovu poslednje (treće) jednačine odmah vidimo da mora biti [inlmath]c-b=0[/inlmath], tj. [inlmath]b=c[/inlmath], kako bi sistem uopšte mogao imati rešenja. U protivnom, za [inlmath]b\ne c[/inlmath], sistem je kontradiktoran.
Za [inlmath]b=c[/inlmath] moguće je jednoznačno odrediti vrednost za [inlmath]u[/inlmath] i ona iznosi [inlmath]u=1-b[/inlmath]. Međutim, za [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] nije moguće jednoznačno odrediti njihove vrednosti, već je jedino moguće vrednost svake od njih izraziti preko vrednosti preostale dve, npr. [inlmath]x=-3y-z-1[/inlmath]:
[dispmath]\left(x,y,z,u\right)=\left\{\left.\left(-3\alpha-\beta-1,\;\alpha,\;\beta,\;1-b\right)\;\right|\;\alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}[/dispmath] Zbog toga je za [inlmath]a=-1,\;b=c[/inlmath] ovaj sistem dvostruko neodređen.



Za [inlmath]a=2[/inlmath] trapezni oblik proširene matrice sistema svodi se na:
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & 0 & 2 & 3 & 1\\
0 & 0 & 6 & 5 & b+2\\
0 & 0 & -3 & 3 & c-b
\end{array}\right][/dispmath] odakle odmah možemo videti da nepoznata [inlmath]y[/inlmath] može imati beskonačno mnogo rešenja i da pri tome ne zavisi ni od jedne druge nepoznate. Ostale nepoznate možemo izračunati sređivanjem ove matrice. Od prve vrste oduzmemo treću, a drugoj vrsti dodamo treću pomnoženu sa [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & 0 & 5 & 0 & b-c+1\\
0 & 0 & 0 & 11 & -b+2c+2\\
0 & 0 & -3 & 3 & c-b
\end{array}\right][/dispmath] Odatle dobijamo:
[dispmath]11u=-b+2c+2\quad\Longrightarrow\quad u=\frac{-b+2c+2}{11}\\
-3z+3u=c-b\quad\Longrightarrow\quad z=u+\frac{b-c}{3}=\frac{-b+2c+2}{11}+\frac{b-c}{3}=\frac{8b-5c+6}{33}\\
-x+5z=b-c+1\quad\Longrightarrow\quad x=5z-b+c-1=5\cdot\frac{8b-5c+6}{33}-b+c-1=\frac{7b+8c-3}{33}[/dispmath]
[dispmath]\Longrightarrow\quad\left(x,y,z,u\right)=\left\{\left.\left(\frac{7b+8c-3}{33},\;\alpha,\;\frac{8b-5c+6}{33},\;\frac{-b+2c+2}{11}\right)\;\right|\;\alpha\in\mathbb{R}\right\}[/dispmath] odakle vidimo da je za [inlmath]a=2[/inlmath] ovaj sistem jednostruko neodređen.



Dakle,
  • Za [inlmath]a=-1\;\land\;b\ne c[/inlmath] sistem je kontradiktoran;
  • Za [inlmath]a=-1\;\land\;b=c[/inlmath] sistem je dvostruko neodređen;
  • Za [inlmath]a=2[/inlmath] sistem je jednostruko neodređen.
Bi li umeo da dovršiš zadatak tako što bi, polazeći od trapeznog oblika proširene matrice sistema, odredio rešenja i utvrdio prirodu sistema za [inlmath]a\ne-1\;\land\;a\ne2[/inlmath]?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Sistemi linearnih jednacina s realnim parametrima

Postod Cisra » Ponedeljak, 18. Januar 2016, 20:30

Nije mi jasno zasto si mnozio prvu vrstu sa [inlmath]a[/inlmath] i tako sredjivao matricu.

Jos mi nije jasan ovaj zapis [inlmath]\left(x,y,z,u\right)=\left\{\left.\left(-3\alpha-\beta-1,\;\alpha,\;\beta,\;1-b\right)\;\right|\;\alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}[/inlmath]
Odakle se sad stvorila [inlmath]\alpha,\beta[/inlmath]?
Ili recimo ovako da dodjem do ispitivanja i dobijem (ovo je iz drugog zadatka ali cisto primera radi):
ispitujem za [inlmath]a=2\;\land\;b=2[/inlmath] (za [inlmath]a=2\;\land\;b\ne0[/inlmath] je kontradiktoran)
i dobijem [inlmath]x=1-u[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] izgubim pri sredjivanju jednacina, [inlmath]z=-3[/inlmath] i [inlmath]u=1-x[/inlmath]

da li bi ovo bio ispravan nacin zapisivanja ? ili bi umesto [inlmath]\beta[/inlmath] trebao pisati [inlmath]0[/inlmath] jer mi se [inlmath]y[/inlmath] izgubio?
[inlmath](x,y,z,u)=\{(1-\alpha,\;\beta,\;-3,\;\alpha)\;|\;\alpha,\beta\in\mathbb{R}\}[/inlmath]
i da li bi to znacilo da je sistem jednostruko neodredjen?

I ne bih umeo da zavrsim zadatak. Ne znam kako bih poceo, da uzmem nasumicne vrednosti za [inlmath]a[/inlmath]? Ili bih trebao gledati da dodatno sredim jednacine?
Cisra  OFFLINE
 
Postovi: 18
Lokacija: Novi Sad
Zahvalio se: 13 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +2

Re: Sistemi linearnih jednacina s realnim parametrima

Postod Ilija » Utorak, 19. Januar 2016, 10:25

Cisra je napisao:Nije mi jasno zasto si mnozio prvu vrstu sa [inlmath]a[/inlmath] i tako sredjivao matricu.

Zato sto je potrebno da ispod glavne dijagonale dobijemo [inlmath]0[/inlmath].

Cisra je napisao:Jos mi nije jasan ovaj zapis [inlmath]\left(x,y,z,u\right)=\left\{\left.\left(-3\alpha-\beta-1,\;\alpha,\;\beta,\;1-b\right)\;\right|\;\alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}[/inlmath]
Odakle se sad stvorila [inlmath]\alpha,\beta[/inlmath]?

Kada imamo neodredjen sistem i kada nije moguće jednoznačno odrediti njihove vrednosti promenljivih, kao sto rece Daniel, uzimamo jednu ili dve promenljive za neke realne parametre [inlmath]\alpha,\beta[/inlmath] i ostale promenljive izrazavamo preko njih (zavisno od toga da li je sistem jednostruko ili dvostruko neodredjen). U Danielovom objasnjenju, promenjljive [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] uzete su za realne parametre [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath], a preostale dve promenljive ([inlmath]z[/inlmath] i [inlmath]u[/inlmath]) izrazene su preko tih realnih parametara.
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

  • +1

Re: Sistemi linearnih jednacina s realnim parametrima

Postod Daniel » Utorak, 19. Januar 2016, 11:39

Ilija je napisao:
Cisra je napisao:Nije mi jasno zasto si mnozio prvu vrstu sa [inlmath]a[/inlmath] i tako sredjivao matricu.

Zato sto je potrebno da ispod glavne dijagonale dobijemo [inlmath]0[/inlmath].

...to jest, da svedemo proširenu matricu sistema na trapeznu formu.

Cisra je napisao:Ili recimo ovako da dodjem do ispitivanja i dobijem (ovo je iz drugog zadatka ali cisto primera radi):
ispitujem za [inlmath]a=2\;\land\;b=2[/inlmath] (za [inlmath]a=2\;\land\;b\ne0[/inlmath] je kontradiktoran)
i dobijem [inlmath]x=1-u[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] izgubim pri sredjivanju jednacina, [inlmath]z=-3[/inlmath] i [inlmath]u=1-x[/inlmath]

da li bi ovo bio ispravan nacin zapisivanja ? ili bi umesto [inlmath]\beta[/inlmath] trebao pisati [inlmath]0[/inlmath] jer mi se [inlmath]y[/inlmath] izgubio?
[inlmath](x,y,z,u)=\{(1-\alpha,\;\beta,\;-3,\;\alpha)\;|\;\alpha,\beta\in\mathbb{R}\}[/inlmath]

Da, dobro si zapisao. Znači, nepoznatoj [inlmath]u[/inlmath] si pridružio neku realnu vrednost [inlmath]\alpha[/inlmath], a nepoznatu [inlmath]x[/inlmath] si izrazio preko nepoznate [inlmath]u[/inlmath].
Takođe, ispravno si promenljivoj [inlmath]y[/inlmath] (koja nit je određena, nit zavisi od bilo koje druge nepoznate) dodelio neku drugu realnu vrednost [inlmath]\beta[/inlmath]. Da si stavio nulu, to bi značilo da si za [inlmath]y[/inlmath] dobio jednoznačnu vrednost [inlmath]y=0[/inlmath], a to, koliko sam te razumeo, nije slučaj.

Cisra je napisao:i da li bi to znacilo da je sistem jednostruko neodredjen?

Ne, nego da je dvostruko određen, jer si dve nepoznate posmatrao kao parametre, tj. dvema nepoznatama si dodelio realne vrednosti, [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath].
Da si samo jednoj nepoznatoj pridružio neku realnu vrednost [inlmath]\alpha[/inlmath], a ostale ili izrazio preko te nepoznate ili im jednoznačno odredio vrednost, tada bi sistem bio jednostruko neodređen.

Cisra je napisao:I ne bih umeo da zavrsim zadatak. Ne znam kako bih poceo, da uzmem nasumicne vrednosti za [inlmath]a[/inlmath]? Ili bih trebao gledati da dodatno sredim jednacine?

Krećeš od trapeznog oblika na koji smo sveli proširenu matricu sistema:
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & a-2 & a & a+1 & 1\\
0 & \left(a+1\right)\left(a-2\right) & a\left(a+1\right) & a^2+a-1 & a+b\\
0 & 0 & -\left(a+1\right) & a+1 & c-b
\end{array}\right][/dispmath] I sad to napišeš u obliku jednačina:
[dispmath]\begin{array}{rrrrl}
-x & +\left(a-2\right)y & +az & +\left(a+1\right)u & =1\\
& \left(a+1\right)\left(a-2\right)y & +a\left(a+1\right)z & +\left(a^2+a-1\right)u & =a+b\\
& & -\left(a+1\right)z & +\left(a+1\right)u & =c-b
\end{array}[/dispmath] Ovde ti je najzgodnije da nepoznatu [inlmath]u[/inlmath] posmatraš kao parametar, a da ostale promenljive izraziš preko nje. Krećeš od donje jednačine i zatim ideš prema gore. Na osnovu te donje (poslednje) jednačine, izraziš [inlmath]z[/inlmath] preko [inlmath]u[/inlmath]. Treba da dobiješ
[dispmath]-\left(a+1\right)z=-\left(a+1\right)u+c-b\quad\Longrightarrow\quad z=u+\frac{b-c}{a+1}[/dispmath] Zatim tako dobijenu vrednost za [inlmath]z[/inlmath] uvrstiš u drugu jednačinu (u kojoj figurišu [inlmath]y[/inlmath], [inlmath]z[/inlmath] i [inlmath]u[/inlmath]), čime ćeš je svesti na jednačinu u kojoj figurišu samo [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]u[/inlmath]. Odatle izraziš [inlmath]y[/inlmath] preko [inlmath]u[/inlmath].
I, na kraju, u prvu jednačinu (u kojoj figurišu sve četiri nepoznate) uvrstiš tako dobijene vrednosti za [inlmath]y[/inlmath] i za [inlmath]z[/inlmath], čime tu jednačinu svedeš na jednačinu u kojoj figurišu samo [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]u[/inlmath]. Odatle izraziš [inlmath]x[/inlmath] preko [inlmath]u[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Sistemi linearnih jednacina s realnim parametrima

Postod Cisra » Utorak, 19. Januar 2016, 21:54

U zavrsnoj fazi odnosno ispitivanje kada je [inlmath]a\ne-1\;\land\;a\ne2[/inlmath] svodi se na tu "sredjenu" matricu nasih jednacina i dobija se sistem koji je jednosturko neodredjen, kao sto ti rece, najzgodnije po [inlmath]u[/inlmath]. Nadam se da sam upravu :)
Sada mi je sve jasno, ako naidjem na jos nesto, pitacu ovde.
Cisra  OFFLINE
 
Postovi: 18
Lokacija: Novi Sad
Zahvalio se: 13 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Sistemi linearnih jednacina s realnim parametrima

Postod Daniel » Sreda, 20. Januar 2016, 09:06

Cisra je napisao:i dobija se sistem koji je jednosturko neodredjen, kao sto ti rece, najzgodnije po [inlmath]u[/inlmath]. Nadam se da sam upravu :)

Jesi, u pravu si (piše se rastavljeno), dakle, jednostruko neodređen sistem dobijamo za slučaj [inlmath]a\ne-1\;\land\;a\ne2[/inlmath] i za slučaj [inlmath]a=2[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Sistemi linearnih jednacina s realnim parametrima

Postod Acim » Sreda, 15. Decembar 2021, 07:35

U vezi neodređenih jednačina, nije mi najjasnije kako bih znao kako da završim postupak kod sledećeg sistema:
[inlmath]x+2y-z=-2\\
3x+y+2z=4[/inlmath]

Ovaj sistem je neodređen jer imamo 3 nepoznate a 2 jednačine. E sad, nisam baš najbolje shvatio kako bih mogao da utvrdim da li je jednostruko ili dvostruko neodređen. Što ne bih smeo da pomnožim prvu sa [inlmath]-2[/inlmath] i saberem sa drugom? Utvrdio sam posle da je to greška, jer sam dobio celobrojne vrednosti i za [inlmath]x,z,y[/inlmath].
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Sledeća

Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 42 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 10:03 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs