MATEMANIJA

Imamo sledeci sistem:
[dispmath]x-2y+z=1[/dispmath][dispmath]3x+2y+z=0[/dispmath][dispmath]5x-2y+3z=1[/dispmath]
Formiram matricu sistema [inlmath]A[/inlmath] i prosirenu matricu [inlmath]Ap[/inlmath]:
[dispmath]A=\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\\3 & 2 & 1\\5 & -2 & 3\end{bmatrix},\qquad Ap=\left[\begin{array}{ccc|c}1 & -2 & 1 & 1\\ 3 & 2 & 1 & 0\\ 5 & -2 & 3 & 1\end{array}\right][/dispmath]
Kada prosirenu matricu sistema svedem na trapeznu, dobijam:
[dispmath]Ap=\left[\begin{array}{ccc|c}1 & -2 & 1 & 1\\ 0 & 8 & -2 & -3\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right]\quad\Rightarrow\quad\begin{matrix}\text{rang }A=2\\ \text{rang }Ap=3\end{matrix}[/dispmath]
Posto je [inlmath]\text{rang }A<\text{rang }Ap[/inlmath], sledi da je sistem nesaglasan (nemoguc, kontradiktoran). Jesam li u pravu?

Jesi. Da je sistem kontradiktoran mogao si zaključiti i na osnovu poslednje vrste proširene matrice u trapeznoj formi, po kojoj ispada da je [inlmath]0=-1[/inlmath].

Ili, pomnozimo (u izvornom sistemu) prvu jednacinu sa [inlmath]2[/inlmath] i saberemo sa drugom, i onda uporedimo sa trecom.

Ilija je napisao:sledi da je sistem nesaglasan (nemoguc, kontradiktoran).

...iliti protivrečan (kad već navodimo sve izraze za takav sistem, eto još jednog ).

Ilija,
jedna primedba i jedan predlog:

primedba:
Ne može matrica biti ista nakon transformacije. Naime, ovako bi trebalo pisati:
[dispmath]Ap=\left[\begin{array}{ccc|c}1 & -2 & 1 & 1\\ 3 & 2 & 1 & 0\\ 5 & -2 & 3 & 1\end{array}\right][/dispmath][dispmath]Ap\sim\left[\begin{array}{ccc|c}1 & -2 & 1 & 1\\ 0 & 8 & -2 & -3\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right][/dispmath]
Naime, kod determinante (koja je uostalom uvek kvadratna i predstavlja čist broj) ne menja se vrednost nakon transformacija tipa množenje vrste ili kolone nekim brojem i dodavanjem drugoj vrsti ili koloni. Matrica je pravougaona šema brojeva i ne može se izračunati, takva je kakva je. Naravno da se pomenutim transformacijama menja polazna matrica, ali rang ostaje isti. Zato je neophodan simbol [inlmath]\sim[/inlmath]

predlog:
Ne znam koliko je korisnicima poznat "šahovski" princip kod određivanja ranga matrice.
Svodi se na sledeće: Prave se nule sve dok ne preostane određen broj elemenata koji nisu nule, tako da svaki od njih u sopstvenom redu i sopstvenoj koloni sadrži samo nule. Tj da su preostali "ne - nula" elementi nešto kao topovi na šahovskoj tabli koji se ne tuku. Ovo mi je svojevremeno pokazao jedan sjajan profesor, znajući za moje interesovanje za šah.
Onda je rang matrice jednak broju tih "topova".
Ovo je baš u skladu i s definicijom ranga matrice i meni je zanimljivije od svođenja na trapeznu formu.
Pokazao bih taj način i na ovom primeru, naravno ako bude interesovanja korisnika.

desideri je napisao:Ne može matrica biti ista nakon transformacije. Naime, ovako bi trebalo pisati:
[dispmath]Ap=\left[\begin{array}{ccc|c}1 & -2 & 1 & 1\\ 3 & 2 & 1 & 0\\ 5 & -2 & 3 & 1\end{array}\right][/dispmath][dispmath]Ap\sim\left[\begin{array}{ccc|c}1 & -2 & 1 & 1\\ 0 & 8 & -2 & -3\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right][/dispmath]

Ovde to napisah sa znakom jednakosti, a obicno kad radim zadatak ja to pisem na sledeci nacin:
[dispmath]Ap=\left[\begin{array}{ccc|c}1 & -2 & 1 & 1\\ 3 & 2 & 1 & 0\\ 5 & -2 & 3 & 1\end{array}\right]\sim\cdots\sim\left[\begin{array}{ccc|c}1 & -2 & 1 & 1\\ 0 & 8 & -2 & -3\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right][/dispmath]
Nadam se da je ovako ispravno (tako je, barem, pisala i profesorka na predavanjima).

desideri je napisao:Ne znam koliko je korisnicima poznat "šahovski" princip kod određivanja ranga matrice.

Nisam cuo za taj nacin odredjivanja ranga, pa me zanima kako to funckionise. Eto, mogao bi da objasnis.

---

Imam jedno pitanje, takodje vezano sa sisteme jednacina. Nadam se da ne smeta sto ga postavljam ovde. Kratko je, pa da ne otvaram novu temu.
Ako imamo neodredjen sistem (jednostruko ili dvostruko), da li je bitno koje promenljive cemo izraziti preko kojih ili je potpuno svejedno?

Evo, obećavam i "šahovski sistem određivanja ranga", koliko noćas ću postovati.
p.s. Da, tako kako je profesorka pisala je ispravno.
p.p.s. Na tvoje sledeće pitanje: "jednostruko ili dvostruko rešenje" mislim da je zaista svejedno preko koje promenljive izražavamo. Ako sam te dobro razumeo.

Ilija je napisao:Ako imamo neodredjen sistem (jednostruko ili dvostruko), da li je bitno koje promenljive cemo izraziti preko kojih ili je potpuno svejedno?

Sasvim svejedno. S tim, što ti je, ako si proširenu matricu sistema sveo na trapeznu formu, jednostavnije da nepoznate izražavaš preko neke od onih poslednjih, uz koje koeficijenti ni u jednoj jednačini nisu nula. Al' sam sad ovo zapetljao, biće razumljivije na primeru:
Npr. sveo si proširenu matricu sistema (ne u ovom tvom zadatku, već neki moj primer iz glave) na trapeznu formu:
[dispmath]\left[\begin{array}{ccc|c}
3 & -2 & 1 & 5\\
0 & 1 & -3 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right][/dispmath]
to jest, na sistem jednačina
[dispmath]\begin{array}{rrrl}
3x & -2y & +z & =5\\
& y & -3z & =2
\end{array}[/dispmath]
Svakako ti je tu jednostavnije da nepoznate izraziš ili preko [inlmath]z[/inlmath] ili preko [inlmath]y[/inlmath], nego da ih izraziš preko [inlmath]x[/inlmath] (možeš pokušati, pa uporediti postupke). Naravno, nije greška ni ako ih izraziš preko [inlmath]x[/inlmath], ali je neznatno (i nepotrebno) duži posao.

Evo obećanog "šahovskog" odgovora:
Posmatraću samo matricu [inlmath]A[/inlmath] mada sve isto važi i za proširenu:
[dispmath]A=\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\\ 3 & 2 & 1\\ 5 & -2 & 3\end{bmatrix}[/dispmath]
Dakle, "pravim" nule i dobijam recimo dodavanjem druge vrste matrice i prvoj i trećoj vrsti odjednom:
[dispmath]A\sim\begin{bmatrix}4 & 0 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ 8 & 0 & 4\end{bmatrix}[/dispmath]
E sada otkrivam i sjajan trik, koji sam davno otkrio, no verovatno je to poznato i ranije a da ja nisam znao, tako da se izvinjavam ako plasiram nešto kao svoje a nije tako, pošto sam ipak mlad čovek.
Naime, ako su u bilo kojoj koloni ili vrsti matrice sve same nule, moraju biti nule i u vrsti ili koloni. Ovo je verovatno nejasno.
Pogledajte centralni element tj [inlmath]2[/inlmath]. On je u samoj sredini matrice, to je ta dvojka.
E, pošto ta dvojka ima sve nule u svojoj koloni ona ih pravi i u svojoj vrsti, verujte da je ovo sjajno. Aj da ne objašnjavam dalje. Da ne bude zabune, mislim na centralnu dvojku matrice, u samoj sredini ili da cepidlačim (što bi rekao Daniel ), na element [inlmath]A(2,2)[/inlmath] Dalje je matrica s istim rangom a ne ista matrica:
[dispmath]A\sim\begin{bmatrix}4 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0\\ 8 & 0 & 4\end{bmatrix}[/dispmath]
Eto, i ovde se neki topovi tuku. Mislim na šahovsku tablu, top ide po vrsti ili po koloni. Ima elemenata različitih od nule koji su u istoj vrsti ili koloni, ako me razumete. Nastaviću ovako: množim prvu vrstu brojem [inlmath]-2[/inlmath] i dodajem je trećoj vrsti:
[dispmath]A\sim\begin{bmatrix}4 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}[/dispmath]
E sada treću kolonu množim s minus 2 i dodajem je prvoj koloni matrice. Ili što je isto, dvojka pravi nule u sopstvenoj vrsti pošto su joj nule u koloni. Dobijam:
[dispmath]A\sim\begin{bmatrix}0 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}[/dispmath]
Ostadoše dva "topa koja se ne tuku" tako da je rang ove matrice jednak [inlmath]2[/inlmath]

desideri je napisao:Dakle, "pravim" nule i dobijam recimo dodavanjem druge vrste matrice i prvoj i drugoj vrsti odjednom:
[dispmath]A\sim\begin{bmatrix}4 & 0 & 2\\3 & 2 & 1\\8 & 0 & 4\end{bmatrix}[/dispmath]

Zar ne bi trebalo da stoji trecoj vrsti?

p.s. Nisam siguran da sam ovo najbolje ukapirao, ali prostudiracu jos jednom sutra (malo detaljnije).