MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF - 9. jul 2014.
20. zadatak

Ako sistem jednacina [inlmath]3x+2z=2;\;5x+2y=1;\;x-2y+bz=3[/inlmath] nema resenja onda je parametar [inlmath]b[/inlmath]?
Pretpostavim da ovaj sistem nece imate resenja kad je determinanta nula pa sledi da je determinanta
[dispmath]\begin{vmatrix}
3 & 0 & 2 & 3 & 0\\
5 & 2 & 0 & 5 & 2\\
1 &-2 & b & 1 & -2
\end{vmatrix}[/dispmath][dispmath]6b+0-20-(0+0+4)=0[/dispmath][dispmath]6b=24[/dispmath][dispmath]b=4[/dispmath]
ali to resenje nemam u ponudjenim, tako da mozda ima neka greska ali ne vidim gde
P.S. mozda nisam napisao determinantu dobro ali kapirate

ti imaš sistem
[dispmath]a_1\cdot x+b_1\cdot y+c_1\cdot z=t_1\\
a_2\cdot x+b_2\cdot y+c_2\cdot z=t_2\\
a_3\cdot x+b_3\cdot y+c_3\cdot z=t_3[/dispmath][dispmath]D=\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1\\
a_2 & b_2 & c_2\\
a_3 & b_3 & c_3
\end{vmatrix}[/dispmath]
pa primijeniš kramerovo pravilo po kojem imamo ako je [inlmath]D=0[/inlmath] i [inlmath]D_x\ne0\;\lor\;D_y\ne0\;\lor\;D_z\ne0[/inlmath], onda sistem nema rješenja
a ako je [inlmath]D=0[/inlmath] i [inlmath]D_x=D_y=D_z=0[/inlmath], onda je sistem neodređen tj. ima beskonačno mnogo rješenja
i treći slučaj je ako je [inlmath]D\ne0[/inlmath] onda sistem ima jedinstveno rješenje, tj [inlmath]x=\frac{D_x}{D}\quad y=\frac{D_y}{D}\quad z=\frac{D_z}{D}[/inlmath]
[dispmath]D_x=\begin{vmatrix}
t_1 & b_1 & c_1\\
t_2 & b_2 & c_2\\
t_3 & b_3 & c_3
\end{vmatrix}\quad D_y=\begin{vmatrix}
a_1 & t_1 & c_1\\
a_2 & t_2 & c_2\\
a_3 & t_3 & c_3
\end{vmatrix}\quad D_z=\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & t_1\\
a_2 & b_2 & t_2\\
a_3 & b_3 & t_3
\end{vmatrix}[/dispmath]
iz prethodnoga vidimo da nama treba da je [inlmath]D=0[/inlmath], i tu dobijamo kao što si i ti dobio
[dispmath]D=\begin{vmatrix}
3 & 0 & 2\\
5 & 2 & 0\\
1 & -2 & b
\end{vmatrix}=0[/dispmath][dispmath]6b-24=0\;\Rightarrow\;b=4[/dispmath]
i to nam je moguće rješenje za [inlmath]b[/inlmath], te sistem može biti neodređen ili da nema rješenja
ali kad uradimo [inlmath]D_x,\,D_y,\,D_z[/inlmath], i uvrstimo [inlmath]b=4[/inlmath] dobićemo slučaj da je
[dispmath]D_x=D_y=D_z=0[/dispmath]
te kažemo da za [inlmath]b=4[/inlmath] sistem ima beskonačno mnogo rješenja, a ako bi uzeli [inlmath]b\ne4[/inlmath] onda će sistem imati jedinstveno rješenje

Pošto nam se u zadatku traži za koje [inlmath]b[/inlmath] sistem neće imati rješenja, onda kažemo da takvo [inlmath]b[/inlmath] ne postoji

p.s. ti to kad imaš ponuđena rješenja, a siguran si da si dobro postavio početnu matricu [inlmath]D[/inlmath] možeš odmah zaključiti, u zavisnosti od raspoloživog vremena iako ti ne preporučujem da to radiš
p.p.s. nisam napiso determinante [inlmath]D_x,\,D_y,\,D_z[/inlmath] za ovaj zadatak, da ne bude kilometarski odgovor, a i ovako sam ga razvuko

Mozemo iskoristiti i Kroneker-Kapelija:
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
3 & 0 & 2\\
5 & 2 & 0\\
1 & -2 & b
\end{bmatrix},\qquad Ap=\left[\begin{array}{ccc|c}
3 & 0 & 2 & 2\\
5 & 2 & 0 & 1\\
1 & -2 & b & 3
\end{array}\right][/dispmath]
Sada ovu prosirenu svedemo na trapeznu, pa to ce biti:
[dispmath]Ap\sim\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & b & 3\\
0 & 6 & 2-3b & -7\\
0 & 0 & -4+b & 0
\end{array}\right][/dispmath]
Vidimo da ce rang matrice sistema i rang prosirene matrice za svako [inlmath]b[/inlmath] biti isti, s tim sto ako je [inlmath]b=4[/inlmath], rang obe matice bice [inlmath]2[/inlmath], sto je manje od broja nepoznatih u sistemu, pa ce tada sistem imati beskonacno mnogo resenja. Za [inlmath]b\ne4[/inlmath], rang obe matrice ce takodje biti isti, ali ce biti [inlmath]3[/inlmath], sto je jednako broju nepoznatih u datom sistemu - pa sledi da ce sistem tada imati jedinstveno resenje.

Ne znam da li ste ovo radili, ali eto nije na odmet napomenuti i ovaj nacin.

JohnLocke je napisao:ali to resenje nemam u ponudjenim,

Kad god imaš ponuđena rešenja, molim te da ih uz zadatak i napišeš. Tebi je to par sekundi vremena, a onima koji žele da ti pomognu može biti od koristi.

EDIT: Ovo je zadatak s prijemnog na MATF-u 2014. godine, dodao sam taj podatak u tvoj post.

Jel postoji neki drugi nacin da se uradi ovaj zadatak , da to ne bude preko determinante ?

Pa najcesce se za diskusiju sistema koristi ili Kramerov metod (sto je pokazao @bole) ili Kroneker-Kapelijeva teorema (sto sam pokazao ja). Kramerov metod, naravno, samo ako je u pitanju sistem jednacina sa istim brojem jednacina i nepoznatih velicina (tj. kvadratni), a Kroneker-Kapelijeva teorema na bilo koji sistem. Koliko ja znam, Kroneker-Kapeli se ne radi u srednjoj skoli, a posto je ovo zadatak sa prijemnog ispita, ne ocekuje se ni poznavanje te teoreme, rekao bih.

Sta je problematicno toliko u @boletovom postupku?

Probaću jedan deo tvog pitanja da odradim, uz opasku da nisam siguran u tačnost.

Posle sabiranja druge i treće jednačine dobijamo sistem:
[dispmath]3x+2z=2\\
6x+bz=4[/dispmath]
iz koga zaključujemo da je [inlmath]b=4[/inlmath] i da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] mogu uzeti bilo koje vrednosti.

Iz druge jednačine početnog sistema (koji je dat u zadatku) izrazimo [inlmath]y[/inlmath] preko [inlmath]x[/inlmath]. Pa kako [inlmath]x[/inlmath] "šeta" po skupu realnih brojeva, tako će i [inlmath]y[/inlmath] uzimati različite vrednosti.
Naravno, ako je ovo tačno, još treba dokazati da za ostale vrednosti datog parametra jednačina ima jedinstveno rešenje.

Bolje radi primenjujući metode koje su izložili moji prethodnici.

[inlmath]z[/inlmath] će takođe uzimati vrednost u zavisnosti od vrednosti [inlmath]x[/inlmath]. Nisam se lepo izrazio.

Malo sam slabiji nesto sa determinantom i matricama....Ja sam isto dobio da je [inlmath]b=4[/inlmath], jel sam mogu sad da umesto [inlmath]b[/inlmath] napisem [inlmath]4[/inlmath] i da onda opet radim sve kao sistem jednacina...verovatno bih dobio da je sistem neodredjen ?

Miladin Jovic je napisao:Posle sabiranja druge i treće jednačine dobijamo sistem:
[dispmath]3x+2z=2\\
6x+bz=4[/dispmath]
iz koga zaključujemo da je [inlmath]b=4[/inlmath] i da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] mogu uzeti bilo koje vrednosti.

Zapravo, ne zaključujemo da je [inlmath]b=4[/inlmath], već zaključujemo da, ako je [inlmath]b=4[/inlmath], tada su ove dve jednačne linearno zavisne, tj. jedna sledi iz druge i, samim, tim, predstavlja suvišan podatak, pa bi [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] mogli uzeti bilo koje vrednosti, tj. sistem bi bio neodređen.
Ali, [inlmath]b[/inlmath] može biti i različito od [inlmath]4[/inlmath], odakle bi sledilo da je [inlmath]z=0[/inlmath], a zatim se na osnovu ostalih jednačina zadatog sistema odrede i (jednoznačne) vrednosti [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath].
Mada, ti si nešto kasnije upravo to i rekao, tako da mislim da se u ovom delu nisi baš najpreciznije izrazio, pa eto da pojasnim, zbog drugih.

---

Ajd da napišem, dakle, od početka do kraja ovu Miladinovu ideju (znači, nema nikakvih matrica, nikakvih determinanti, samo sabiranje i oduzimanje jednačina).
Početni sistem je
[dispmath]\begin{array}{rrrcl}
3x & & +2z & = & 2\\
5x & +2y & & = & 1\\
x & -2y & +bz & = & 3
\end{array}[/dispmath]
Nakon dodavanja druge jednačine trećoj, sistem postaje
[dispmath]\begin{array}{rrrcl}
3x & & +2z & = & 2\\
5x & +2y & & = & 1\\
6x & & +bz & = & 4
\end{array}[/dispmath]
zatim od treće jednačine oduzmemo prvu pomnoženu sa [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{rrrcl}
3x & & +2z & = & 2\\
5x & +2y & & = & 1\\
& & +\left(b-4\right)z & = & 0
\end{array}[/dispmath]
Kada je [inlmath]b=4[/inlmath] poslednja jednačina se svodi na [inlmath]0=0[/inlmath], te je možemo eliminisati i onda nam ostaje sistem od samo dve jednačine s tri nepoznate, a pošto je broj jednačina manji od broja nepoznatih, odmah znamo da takav sistem ne može imati jednoznačna rešenja. Tada jednu od promenljivih (bilo koju) možemo izabrati tako da sve ostale promenljive izrazimo preko nje.
Npr. ako [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] izrazimo preko [inlmath]x[/inlmath] (što je kod ovog sistema i najjednostavnije učiniti), tada je na osnovu druge jednačine [inlmath]y=\frac{1}{2}\left(1-5x\right)[/inlmath], a na osnovu prve je [inlmath]z=\frac{1}{2}\left(2-3x\right)[/inlmath].

Ali, ako je [inlmath]b\ne4[/inlmath], tada su rešenja jednačine jednoznačna. Iz treće jednačine dobijamo [inlmath]z=0[/inlmath], zatim uvrštavanjem [inlmath]z=0[/inlmath] u prvu jednačinu dobijamo [inlmath]x=\frac{2}{3}[/inlmath] i uvrštavanjem [inlmath]x=\frac{2}{3}[/inlmath] u drugu jednačinu dobijamo [inlmath]y=-\frac{7}{6}[/inlmath].

Zaključujemo da sistem može biti ili neodređen (za [inlmath]b=4[/inlmath]) ili određen (za [inlmath]b\ne4[/inlmath]), ali da ni za koju vrednost parametra [inlmath]b[/inlmath] ne može biti nemoguć.

filip998 je napisao:jel sam mogu sad da umesto [inlmath]b[/inlmath] napisem [inlmath]4[/inlmath] i da onda opet radim sve kao sistem jednacina...verovatno bih dobio da je sistem neodredjen ?

Tako je.