MATEMANIJA

Data je matrica [inlmath]A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
-3 & 2 & \lambda\\
2 & -3 & -6
\end{bmatrix}[/inlmath].
Odrediti:
a) Odrediti rang matice [inlmath]A[/inlmath] u zavisnosti od realnog parametra [inlmath]\lambda[/inlmath].
b) Za onu vrednost parametra [inlmath]\lambda[/inlmath] za koju je rang matrice najmanji odrediti medjusobnu zavisnost vrsta matrice.

Pozdrav. Ovo je moj prvi na forumu, tako da sam morao da posaljem zadatak u vidu slike. Moze li neko da mi objasni kako se radi pod b? Sto se tice odredjivanja parametra, to sam uradio. Ako je [inlmath]\lambda=5[/inlmath], [inlmath]\text{rang }A=2[/inlmath], ako je razlicito, rang je [inlmath]3[/inlmath]. Unapred se izvinjavam kao tema nije na pravom mestu

Pozdrav i dobrodoslica na forum od mene.

Zamolio bih te da procitas Pravilnik, jer si prekrsio par pravila. Zadaci se ne kace u vidu slika, bez obzira na sve, jer se na forumu koristi Latex (uputstvo ovde). Posto je prvi post, a i pitanje je postavljeno uz neki komentar, moze se istolerisati. Tako da, ubuduce koristi Latex i postuj Pravilnik.

Takodje, da li sto se zahteva pod b tice ne znas uopste kako se radi ili si negde zapeo u postupku?

Izvinjavam se jos jednom, sad cu pogledati kako se koristi Latex. Ne znam potupak kako se radi sto se tice zadatka pod b

Označimo vrste matrice sa [inlmath]v_1[/inlmath], [inlmath]v_2[/inlmath] i [inlmath]v_3[/inlmath] i zapišemo ih sa strane,
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
-3 & 2 & \lambda\\
2 & -3 & -6
\end{bmatrix}\!\begin{array}{l}
v_1\\
v_2\\
v_3
\end{array}[/dispmath]
i onda izvršimo elementarne transformacije radi svođenja na trougaonu formu, pri čemu sa strane obeležavamo linearnu kombinaciju koju smo izvršili. Npr. pošto ćemo drugoj vrsti dodati prvu vrstu pomnoženu sa [inlmath]3[/inlmath], sa strane tamo gde smo imali [inlmath]v_2[/inlmath] sada pišemo [inlmath]v_2+3v_1[/inlmath]. Slično i za treću vrstu:
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
-3 & 2 & \lambda\\
2 & -3 & -6
\end{bmatrix}\!\begin{array}{l}
v_1\\
v_2\\
v_3
\end{array}\;\sim\;\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 5 & \lambda+3\\
0 & -5 & -8
\end{bmatrix}\!\begin{array}{l}
v_1\\
v_2+3v_1\\
v_3-2v_1
\end{array}\;\sim\;\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 5 & \lambda+3\\
0 & 0 & \lambda-5
\end{bmatrix}\!\begin{array}{l}
v_1\\
v_2+3v_1\\
(v_3-2v_1)+(v_2+3v_1)
\end{array}[/dispmath]
U poslednjem koraku smo trećoj vrsti [inlmath](v_3-2v_1)[/inlmath] dodali drugu vrstu [inlmath](v_2+3v_1)[/inlmath].

[inlmath]\lambda[/inlmath] pri kojem je rang matrice najmanji iznosi [inlmath]5[/inlmath], do čega si već došao. Kada to uvrstimo, dobijemo da je treća vrsta nula-vrsta, pa [inlmath](v_3-2v_1)+(v_2+3v_1)[/inlmath] izjednačavamo s nulom, iz čega sledi
[dispmath](v_3-2v_1)+(v_2+3v_1)=0\\
\enclose{box}{v_3=-v_1-v_2}[/dispmath]
i to je ta međusobna zavisnost vrsta matrice, koja se tražila.

Zaista, ako vrste posmatraš kao vektore, pa napišeš tu relaciju,
[dispmath]\langle2,-3,-6\rangle=-\langle1,1,1\rangle-\langle-3,2,5\rangle[/dispmath]
videćeš da je ta relacija zadovoljena.

Jasno! Hvala

Mislim da je jednostavnije ovako:
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
-3 & 2 & \lambda\\
2 & -3 & -6
\end{bmatrix}[/dispmath]
Dodaću prvu kolonu matrice pomnoženu sa [inlmath]-1[/inlmath] drugoj i trećoj koloni čime pravim nule u prvoj vrsti.
To znači da su i elementi prve kolone automatski nule posle toga. Zašto?
Nakon toga dodajem treću vrstu drugoj vrsti i dobijam:
[dispmath]A\sim\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & \lambda-5\\
0 & -5 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath]
Odavde se jasno vidi koliki je minimalni rang, na osnovu "topova na šahovskoj tabli koji se ne tuku". Pisao sam o tome na Matemaniji.
Posvećujem ovaj post svom nažalost pokojnom profesoru Zoranu Šamiju koji me ovom i naučio.
p.s. A voleo je šah više od mene.

Da se korigujem, tj da pojasnim svoj prethodni post:
Mislio sam (u svom odgovoru) na pitanje korisnika pod a), tj na određivanje ranga.
Dalje, kada sam pisao o "automatskom" pravljenju nula to je sasvim tačno, no možda nije dovoljno jasno. Naime, u opisanom koraku prva vrsta množi se sa [inlmath]3[/inlmath] i dodaje drugoj, a isto tako se prva vrsta množi sa [inlmath]-2[/inlmath] i dodaje trećoj.
Element koji u svojoj vrsti ili koloni ima sve nule a sam je različit od nule pravi nule i u svojoj koloni ili vrsti. To sam uvek zamišljao kao neki ugaoni kamen.
p.s. Thanks Danielu na sugestiji u vezi s ovim zaista potrebnim pojašnjenjem.

desideri je napisao:Odavde se jasno vidi koliki je minimalni rang, na osnovu "topova na šahovskoj tabli koji se ne tuku". Pisao sam o tome na Matemaniji.

U pitanju je ovaj post, preporučujem zainteresovanima da i njega pogledaju.