MATEMANIJA

Naci Vandermondovu determinatu:
[dispmath]D_n=\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-2} & x_1^{n-1}\\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-2} & x_2^{n-1}\\
1 & x_3 & x_3^2 & \cdots & x_3^{n-2} & x_3^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-2} & x_{n-1}^{n-1}\\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-2} & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}[/dispmath] Rjesenje je
[dispmath]\prod_{n\geq l>k\geq1}(x_l-x_k)[/dispmath] medjutim ja nikako ne mogu da shvatim kako se do tog rjesenja dolazi.
Pokusavao sam da razumijem uz pomoc ove teme medjutim ovdje je daleko lakse zato sto je determinanta reda [inlmath]3[/inlmath], ja se malo izgubim u svemu ovom posto je reda [inlmath]n[/inlmath]. Ako moze neko malo da mi pojasni kako se dolazi do ove formule za rjesenje determinante.

Krenimo tako što ćemo poslednju vrstu pomnoženu sa [inlmath](-1)[/inlmath] dodati svim preostalim vrstama (dakle, počev od prve pa do [inlmath](n-1).[/inlmath] vrste). Dobijamo:
[dispmath]D_n=\begin{vmatrix}
0 & x_1-x_n & x_1^2-x_n^2 & \cdots & x_1^{n-2}-x_n^{n-2} & x_1^{n-1}-x_n^{n-1}\\
0 & x_2-x_n & x_2^2-x_n^2 & \cdots & x_2^{n-2}-x_n^{n-2} & x_2^{n-1}-x_n^{n-1}\\
0 & x_3-x_n & x_3^2-x_n^2 & \cdots & x_3^{n-2}-x_n^{n-2} & x_3^{n-1}-x_n^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & x_{n-1}-x_n & x_{n-1}^2-x_n^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-2}-x_n^{n-2} & x_{n-1}^{n-1}-x_n^{n-1}\\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-2} & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}_{n\times n}[/dispmath] Razvijemo po prvoj koloni:
[dispmath]D_n=(-1)^{n-1}\begin{vmatrix}
x_1-x_n & x_1^2-x_n^2 & \cdots & x_1^{n-2}-x_n^{n-2} & x_1^{n-1}-x_n^{n-1}\\
x_2-x_n & x_2^2-x_n^2 & \cdots & x_2^{n-2}-x_n^{n-2} & x_2^{n-1}-x_n^{n-1}\\
x_3-x_n & x_3^2-x_n^2 & \cdots & x_3^{n-2}-x_n^{n-2} & x_3^{n-1}-x_n^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
x_{n-1}-x_n & x_{n-1}^2-x_n^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-2}-x_n^{n-2} & x_{n-1}^{n-1}-x_n^{n-1}
\end{vmatrix}_{(n-1)\times(n-1)}[/dispmath] Sada primenimo rastavljanje razlike [inlmath]n[/inlmath]-tih stepena, pomoću formule koja glasi
[dispmath]a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)=\left(a-b\right)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^k[/dispmath] Nakon toga će se u prvoj vrsti kao zajednički faktor svih elemenata pojaviti [inlmath](x_1-x_n)[/inlmath], u drugoj vrsti [inlmath](x_2-x_n)[/inlmath], u trećoj [inlmath](x_3-x_n)[/inlmath] itd. do [inlmath](n-1).[/inlmath] vrste u kojoj ćemo imati zajednički faktor [inlmath](x_{n-1}-x_n)[/inlmath]. Svi ovi zajednički faktori mogu da izađu ispred determinante, pa imamo
[dispmath]D_n=\underbrace{(-1)^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}(x_k-x_n)}_{\prod\limits_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)}{\small\begin{vmatrix}
1 & x_1+x_n & x_1^2+x_1x_n+x_n^2 & \cdots & \sum\limits_{k=0}^{n-3}x_1^{n-3-k}x_n^k & \sum\limits_{k=0}^{n-2}x_1^{n-2-k}x_n^k\\
1 & x_2+x_n & x_2^2+x_2x_n+x_n^2 & \cdots & \sum\limits_{k=0}^{n-3}x_2^{n-3-k}x_n^k & \sum\limits_{k=0}^{n-2}x_2^{n-2-k}x_n^k\\
1 & x_3+x_n & x_3^2+x_3x_n+x_n^2 & \cdots & \sum\limits_{k=0}^{n-3}x_3^{n-3-k}x_n^k & \sum\limits_{k=0}^{n-2}x_3^{n-2-k}x_n^k\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
1 & x_{n-1}+x_n & x_{n-1}^2+x_{n-1}x_n+x_n^2 & \cdots & \sum\limits_{k=0}^{n-3}x_{n-1}^{n-3-k}x_n^k & \sum\limits_{k=0}^{n-2}x_{n-1}^{n-2-k}x_n^k
\end{vmatrix}}_{(n-1)\times(n-1)}[/dispmath] Izraz za element [inlmath]i[/inlmath]-te vrste i [inlmath]j[/inlmath]-te kolone glasiće [inlmath]a_{i,j}=\sum\limits_{k=0}^{j-1}x_i^{j-1-k}x_n^k[/inlmath]. Radi pronalaženja veze između elemenata iste vrste a susednih kolona, nađimo sada izraz za element [inlmath]i[/inlmath]-te vrste i [inlmath](j+1).[/inlmath] kolone:
[dispmath]a_{i,j+1}=\sum_{k=0}^jx_i^{j-k}x_n^k=x_i^j+\sum_{k=1}^jx_i^{j-k}x_n^k\;\overset{l=k-1}{=\!=\!=\!=}\;x_i^j+\sum_{l=0}^{j-1}x_i^{j-1-l}x_n^{l+1}\;\overset{k=l}{=\!=}\;x_i^j+x_n\underbrace{\sum_{k=0}^{j-1}x_i^{j-1-k}x_n^k}_{a_{i,j}}\\
\Longrightarrow\quad a_{i,j+1}=x_i^j+x_na_{i,j}[/dispmath] a to nam govori sledeće: ukoliko [inlmath](j+1).[/inlmath] koloni dodamo [inlmath]j[/inlmath]-tu kolonu pomnoženu sa [inlmath](-x_n)[/inlmath], u [inlmath]i[/inlmath]-toj vrsti i [inlmath](j+1).[/inlmath] koloni dobićemo [inlmath]x_i^j[/inlmath]. Sad ovaj postupak primenimo na svake dve susedne kolone, idući zdesna nalevo, tj. tako što prvo [inlmath](n-2).[/inlmath] kolonu pomnožimo sa [inlmath](-x_n)[/inlmath] i dodamo [inlmath](n-1).[/inlmath] koloni, zatim [inlmath](n-3).[/inlmath] kolonu pomnožimo sa [inlmath](-x_n)[/inlmath] i dodamo [inlmath](n-2).[/inlmath] koloni... itd... pa sve do prve kolone koju pomnožimo sa [inlmath](-x_n)[/inlmath] i dodamo drugoj koloni. Dobićemo determinantu [inlmath](n-1)\times(n-1)[/inlmath] koja u [inlmath]i[/inlmath]-toj vrsti i [inlmath]j[/inlmath]-toj koloni ima element [inlmath]x_i^{j-1}[/inlmath] – a to je upravo Vandermondova determinanta dimenzija [inlmath](n-1)\times(n-1)[/inlmath].
Ovime smo došli do rekurentne veze,
[dispmath]D_n=\prod\limits_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)D_{n-1}[/dispmath] Koristeći ovu formulu, [inlmath]D_{n-1}[/inlmath] napišemo preko [inlmath]D_{n-2}[/inlmath], zatim [inlmath]D_{n-2}[/inlmath] preko [inlmath]D_{n-3}[/inlmath]... itd... sve do [inlmath]D_2[/inlmath] preko [inlmath]D_1[/inlmath]:
[dispmath]D_n=\prod_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)\prod_{k=1}^{n-2}(x_{n-1}-x_k)D_{n-2}\\
D_n=\prod_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)\prod_{k=1}^{n-2}(x_{n-1}-x_k)\prod_{k=1}^{n-3}(x_{n-2}-x_k)D_{n-3}\\
\vdots\\
D_n=\prod_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)\prod_{k=1}^{n-2}(x_{n-1}-x_k)\prod_{k=1}^{n-3}(x_{n-2}-x_k)\cdots\prod_{k=1}^2(x_3-x_k)D_2\\
D_n=\prod_{k=1}^{n-1}(x_n-x_k)\prod_{k=1}^{n-2}(x_{n-1}-x_k)\prod_{k=1}^{n-3}(x_{n-2}-x_k)\cdots\prod_{k=1}^2(x_3-x_k)\prod_{k=1}^1(x_2-x_k)D_1[/dispmath] I, pošto je [inlmath]D_1=1[/inlmath], ovime smo došli do konačne formule. Prethodno napisani proizvodi mogu se skupiti u jednu formulu,
[dispmath]\enclose{box}{D_n=\prod_{n\ge l>k\ge1}(x_l-x_k)}[/dispmath]