Ako je [inlmath]A[/inlmath] matrica čiji je karakteristični polinom jednak
[dispmath]\lambda^2\left(\lambda^2-1\right)\left(\lambda^2-2\right),[/dispmath] može li se tada matrica [inlmath]A[/inlmath] dijagonalizovati? Nisam siguran oko ovog zadatka, da li ovdje treba tražiti minimalan polinom?

Određivanje minimalnog polinoma kvadratne matrice [inlmath]A[/inlmath] reda [inlmath]n[/inlmath] nad poljem [inlmath]\mathbb{F}[/inlmath] sastoji se od sljedećih koraka:
[inlmath]1.[/inlmath] Prvo odredimo karakteristični polinom [inlmath]P_n(\lambda)=|A-\lambda\cdot I|[/inlmath].
[inlmath]2.[/inlmath] Izvršimo faktorizaciju polinoma [inlmath]P_n(\lambda)[/inlmath] na nerastavljive faktore.
[inlmath]3.[/inlmath] Formirajmo sve moguće djelitelje karakterističnog polinoma tako da sadrže sve korjene karakterističnog polinoma i da su jediničnog vodećeg koeficijenta.
[inlmath]4.[/inlmath] Među prethodno određenim djeliteljima, izdvajamo one polinome koji se anuliraju u matrici [inlmath]A[/inlmath].
[inlmath]5.[/inlmath] Minimalni polinom je polinom najnižeg stepena među polinomima određenim u prethodnom koraku.

---

[inlmath]1.[/inlmath]
[dispmath]\lambda^2\left(\lambda^2-1\right)\left(\lambda^2-2\right)=\lambda^{6}-3\lambda^{4}+2\lambda^{2}[/dispmath]
[inlmath]2.[/inlmath]
[dispmath]\lambda^{2}(\lambda^{4}-3\lambda^{2}+2)=\lambda\cdot\lambda((\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-\sqrt{2})(\lambda+\sqrt{2}))[/dispmath]
[inlmath]3.[/inlmath]
[dispmath]g(x)=\lambda((\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-\sqrt{2})(\lambda+\sqrt{2}))=\lambda((\lambda^{2}-1)(\lambda^{2}-2))\\f(x)=\lambda^{2}((\lambda^{2}-1)(\lambda^{2}-2))[/dispmath]
[inlmath]4.[/inlmath] Oba polinoma [inlmath]f(x)[/inlmath] i [inlmath]g(x)[/inlmath] se anuliraju u matrici [inlmath]A[/inlmath].
[inlmath]5.[/inlmath] Minimalan polinom je [inlmath]m(\lambda)=g(\lambda)=\lambda((\lambda^{2}-1)(\lambda^{2}-2))=\lambda^{5}-3\lambda^{3}+2\lambda[/inlmath].

---

Nule ovog karakterističnog polinoma su: [inlmath]\lambda_1=0,\lambda_2=1,\lambda_3=-1,\lambda_4=\sqrt{2},\lambda_5=-\sqrt{2}[/inlmath].
Nule ovog karakterističnog polinoma su različite. Prema teoremi koja kaže da različitim sopstvenim vrijednostima, odgovaraju linearno nezavisni sopstveni vektori,ova matrica se može dijagonalizovati.
Mislim da se zadatak, mogao riješiti i bez da tražimo minimalan polinom.

Slobodno neka me neko ispravi u vezi ovog zadatka, ako nešto nije ispravno, ni ja sam nisam siguran u njegovu tačnost.